排列組合方法大全

1、排列組合方法歸納大全復(fù)習(xí)穩(wěn)固1 .分類計(jì)數(shù)原理加法原理完成一件事,有n類方法,在第1類方法中有ml不同的方法,在第2類方法中有m2種不同的方法,一在第n類方法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有：N m1 m2 L mn種不同的方法.2 .分步計(jì)數(shù)原理乘法原理完成一件事,需要分成 n個(gè)步驟,做第1步有mi種不同的方法,做第 2步有m2種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有：N m1m2 L mn種不同的方法.3 .分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立,任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一個(gè)階段,不能完成

2、整個(gè)事件.解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：1 .認(rèn)真審題弄清要做什么事2 .怎樣做才能完成所要做的事 ,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類.3 .確定每一步或每一類是排列問(wèn)題 有序還是組合無(wú)序問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.4 .解決排列組合綜合性問(wèn)題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解題策略一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求 ,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了一q.先排末位共有C3婦 1I 一廠|然后排首位共有c4|c1 a4 c3最后排其它位置共有

3、A3由分步計(jì)數(shù)原理得C4c3A；288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最根本的方法,假設(shè)以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.假設(shè)以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里,假設(shè)兩種葵花不種在中間,也不種在兩端的花盆里,問(wèn)有多少不同的種法二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素,同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,再與其它元素進(jìn)52 2行排列,同時(shí)對(duì)相鄰兀素內(nèi)部進(jìn)行自排.由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A5A2A2 480種不同的排法要求

4、某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并練習(xí)題：某人射擊8槍,命中4槍,4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為203 .不相鄰問(wèn)題插空策略例3. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),那么節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種解：分兩步進(jìn)行第一步排 2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A5種,第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A6不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 A5A4 種元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前又增加了

5、兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰,那么不同插法的種數(shù)為04 .定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：倍縮法對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),那么共有不同排法種數(shù)是：a7/ a3空位法設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A4種方法,其余的三個(gè)位置甲乙丙共有二種坐法,那么共有A4種方法.思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎插入法先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問(wèn)題可以用倍縮法,還可轉(zhuǎn)化為占位插 練習(xí)題：10人身高

6、各不相等,排成前后排,每排5人,要求從左至右身高逐漸增加,共有多少排法Ci502第2頁(yè)共9頁(yè)五.重排問(wèn)題求哥策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到 7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 乙種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有 7種分依 此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有 76種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個(gè)元素的位置,一般地n 不同的元素沒(méi)有PM制地安排在m個(gè)位置,的排歹U數(shù)為 mn種練習(xí)題：1 .某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原 節(jié)目單中,那么不

7、同插法的種數(shù)為422 .某8層大樓一樓電梯上來(lái) 8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法786 .環(huán)排問(wèn)題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于,坐成圓形沒(méi)有首尾之分,所以固定一人A：并從此位置把圓形展成直線其余7人共有8-1 !種排法即7 !CKXXXXXXX3ABCDEFGHA一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有n-1!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作1圓形排列共有Am n練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石,可穿成幾種鉆石圈1207 .多排問(wèn)題直排策略例人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法2解：8人排前后兩排,相

8、當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊兀素有 A4種,再排后4個(gè)位15215置上的特殊兀素丙有 A4種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有 A5種,那么共有A4A4A5種一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題 ,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研練習(xí)題：有兩排座位,前排11個(gè)座位,后排12個(gè)座位,現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的 3個(gè)座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是3468 .排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個(gè)元素包含一個(gè)復(fù)合元素裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有

9、A4種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C：A4解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最根本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎練習(xí)題：一個(gè)班有 6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù), 且正副班長(zhǎng)有且只有 1人參加,那么不同的選法有192種9 .小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 5在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè) 2_ 2 _ 2解：把1 , 5 , 2 , 4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有A2種排法,再排小集團(tuán)內(nèi)部共有A2A2種排法,由分步計(jì)數(shù)原理共有 A2A2A2種排法.1524A.

10、3,小集團(tuán)排列問(wèn)題中,先整體后局部,再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理.練習(xí)題：1 .方案展出10幅不同的畫(huà),其中1幅水彩畫(huà),4幅油畫(huà),5幅國(guó)畫(huà),排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起,并且水彩畫(huà)不在兩端,那么共有陳列方式的種數(shù)為A2A5A42552. 5男生和5女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 A2 A5 A5種十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)名額,分給 7個(gè)班,每班至少一個(gè),有多少種分配方案解：由于10個(gè)名額沒(méi)有差異,把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個(gè)空隙.在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板,可把名額分成7份,對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí),每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C；種分法.o

11、lo ololo ololo oloI I I I g g I將n個(gè)相同的元素分成 m份n, m為正整數(shù),每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板, 4第4頁(yè)共9頁(yè)插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中,所有分法數(shù)為-C練習(xí)題：1 . io個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法c42 . x y z w 100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)Ci3o3十一.正難那么反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法.這十個(gè)數(shù)字中有 5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)

12、含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C3,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有c5cJ和為偶數(shù)的取法共有c5c| C；.再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種,符合條件的取法共有c5c； C； 9有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求練習(xí)題：我們班里有 43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解：分三步取書(shū)得CjcjC；種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF假設(shè)第一步取AB,第二步取 CD,第三步取 EF該分法記為(AB,CD,EF),那么 C(2cjC；中還有

13、(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A3 種取法,而這些分法僅是 222 . _ 3(AB,CD,EF) 一種分法,故共有C6C4C2/A3種分法.平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A： (n為均分練習(xí)題：1將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì),有多少分法(C；3C；C：/A2)名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法(1540)3 .某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí),現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名

14、,那么不同的安排方案種數(shù)為 C：C；A：/ A； 90 十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌,2人只會(huì)跳舞3人為全能演員.選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有C-C32種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員c5c3c：種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有c；c：種,由分類計(jì)數(shù)原理共有_ 2_ 2C3c32422C5C5 種.解含有約束條件的排列組合問(wèn)題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步,做練習(xí)題：1 .從4名男生和3名

15、女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì),假設(shè)這4人中必須既有男生又有女生,那么不同的選法共有34_2 . 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人,2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27此題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：* 以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種解：把

16、此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮夕T的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有 C；種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊(duì)模型,裝盒練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位,假設(shè)4人就坐,每人左右兩邊都有空位,那么不同的坐法有多少種120十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球,并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法2解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 C5種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng),利用實(shí)際操作法,如果剩下 3,4,5 號(hào)球,3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí),那

17、么4,5號(hào)球有只有1種裝法,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有 2C；種3號(hào)盒4 號(hào)盒5 號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題,不易用公式進(jìn)行運(yùn)算,往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收練習(xí)題：1 .同一寢室4人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡,那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種92 .給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,那么不同的著色方法有 72種十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2 X 3X 5 X 7 X 11 X 13依題意可知偶因數(shù)必

18、先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取假設(shè)干個(gè)組成乘積,所有的偶因數(shù)為：c5 C； C5 C； c55練習(xí)：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線4解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共 C84 12 58,每個(gè)四面體有分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最根本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)/B閘題23對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3 58 174對(duì)異面直線逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成、燦彳#到5 十七.化歸策略例17. 25人排成5X 5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種解：將這個(gè)問(wèn)題退化成 9人排成3X3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續(xù)下111.去.從3X3萬(wàn)隊(duì)中選3人的萬(wàn)法有C3c2C1種.再?gòu)?X5方陣選出3X3方陣便可解決問(wèn)題.從533x 5萬(wàn)隊(duì)中選取3行3列有C5 c5選法所以從5X 5方陣選不在