11論文正文致謝參考文獻(xiàn)

1、0引言數(shù)學(xué)分析12（理科數(shù)學(xué)專業(yè)）及高等數(shù)學(xué)34（理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)）這兩門課程是高校數(shù)學(xué)課程中最基礎(chǔ)最重要的分支之一，其主要內(nèi)容都是微積分.而極限、定積分、二重積分這三個(gè)數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)這兩門課程中基本的抽象的數(shù)學(xué)概念.極限、定積分、二重積分這三個(gè)數(shù)學(xué)概念的精確定義在上述數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)兩種教材中都有精確的描述，在正文中將給出.這里首先是探討一下極限、定積分、二重積分這三個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，讓讀者先搞清楚這三個(gè)數(shù)學(xué)概念，對這三個(gè)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)正確的理解.然后主要是根據(jù)這三個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義以及各種教材、參考資料及考試中常見的有代表性的問題或?qū)嵗忍接戇@三個(gè)數(shù)學(xué)概念相互之間的多方位，多

2、角度，多層次的關(guān)系（歸根揭底還是由概念相互之間的關(guān)系決定的）并總結(jié)得出一套新的系統(tǒng)的理論與方法技巧為高校數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)概念教學(xué)特別是數(shù)學(xué)概念相互之間關(guān)系的教學(xué)提供理論方法技巧及參考價(jià)值，也可供高校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大學(xué)生參考借鑒.在極限、定積分、二重積分的概念教學(xué)過程中運(yùn)用哲學(xué)思想，引用歷史典故和邏輯思維及直觀圖象等方式方法，變抽象數(shù)學(xué)概念為學(xué)生易于接受的信息，使學(xué)生更容易掌握新概念，新理論5.數(shù)學(xué)是概念的鏈條，總是用原有的概念解釋新的概念.這里一是說在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)程中概念之多，其二是說概念間的連續(xù)性之強(qiáng).所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門課程時(shí)，如果學(xué)生不能準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)理解掌握運(yùn)用概念，學(xué)生也就不能正確的掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)

3、這門知識(shí)技能.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中講清概念至關(guān)重要.比如說，極限概念135611是數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)最重要也是最難掌握的一個(gè)概念，是整個(gè)數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，它是研究微分學(xué)與積分學(xué)的必備工具，對它的理解與掌握直接關(guān)系到對數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)這兩門課程掌握的好壞，直接關(guān)系到后繼課程的理解程度.數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)中的許多概念都可歸結(jié)為極限，例如本文將要探討的定積分、二重積分都是積分和（也叫黎曼和，是一種特殊的和式，后面將給出其精確定義）的極限.由此可見弄清極限的概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)的核心所在.比如說，定積分概念1351216就是用極限定義的，而二重積分概念1

4、3517也是用極限定義的，定積分、二重積分的概念都是用積分和的極限來定義的，這就是定積分與極限、二重積分與極限這兩對數(shù)學(xué)概念之間的根本性的關(guān)系.所以可以利用定積分定義來計(jì)算形如積分和的極限1821.而二重積分也可以用定積分來解釋，它可以轉(zhuǎn)化為二次積分（也叫累次積分，分為先積x后積y與先積y后積x兩種，后面將給出其精確定義）或兩個(gè)定積分的乘積來計(jì)算或證明，而二次積分就是兩次定積分.反過來，定積分也可以轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算或證明.對于某些結(jié)構(gòu)特殊的被積函數(shù)，文獻(xiàn)24還給出了五個(gè)將低維數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為高維數(shù)的二重積分的例子，文獻(xiàn)25也給出了一種特殊的利用二重積分解決有關(guān)定積分問題的方法（一個(gè)命題）及

5、兩個(gè)有代表性的例子.也就是說二重積分與定積分可以互化來計(jì)算或證明.這就是二重積分與定積分這一對概念之間的關(guān)系之一2225.由此可見，探討數(shù)學(xué)概念相互之間的關(guān)系則更顯得重要，因?yàn)樗軒椭鷮W(xué)生更深刻地更全面地更清晰地認(rèn)識(shí)理解掌握數(shù)學(xué)概念，更熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，并且總結(jié)得出一套新的系統(tǒng)的理論與方法技巧供學(xué)生學(xué)習(xí)參考借鑒運(yùn)用，也可供數(shù)學(xué)教師教學(xué)參考借鑒.高等數(shù)學(xué)中的概念往往是很抽象的，內(nèi)容理論性很強(qiáng)有時(shí)是很枯燥的.在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，我們總是力求創(chuàng)建一些易于引起美感的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)與形式，如使用精致直觀的數(shù)學(xué)圖形，嚴(yán)謹(jǐn)有趣的數(shù)學(xué)算式，幽默風(fēng)趣的數(shù)學(xué)語言，生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)故事等，都可變抽象概念為直觀，變

6、深?yuàn)W理論為通俗，變枯燥內(nèi)容為有趣，使學(xué)生接受數(shù)學(xué)信息的思維活動(dòng)寓于愉悅之中，輕松愉悅地掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)和技能.而運(yùn)用這些富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)方法技巧講授數(shù)學(xué)概念并通過實(shí)例探討總結(jié)數(shù)學(xué)概念相互之間的關(guān)系則更能幫助學(xué)生理解接受掌握數(shù)學(xué)概念及其相互之間的關(guān)系并熟練地運(yùn)用它們解決與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，也為數(shù)學(xué)教師講授數(shù)學(xué)概念特別是其相互之間的關(guān)系提供了有用的方法技巧及參考價(jià)值.數(shù)列極限，函數(shù)極限概念都是很抽象的，不論從定義的描述形式還是從定義內(nèi)容上學(xué)生初次接觸都會(huì)感覺很陌生.所以我們不必急于給出概念，而是從生活中的實(shí)例讓學(xué)生自己在思想上建立極限的概念.莊子云：“1尺之槌，日取其半，萬世不竭.”意思是說：“1

7、尺的桿子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一半，第三天截去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，？依此下去， 永遠(yuǎn)不能截完.”如果我們把每次的剩余用數(shù)順次表示出來， 就得到一個(gè)公比為1/2的數(shù)列：1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128?那么，當(dāng)天數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列Xn）將趨于一個(gè)常數(shù)（零）.這一闡述，既貼近生活現(xiàn)實(shí)又能體會(huì)到其中辯證的哲學(xué)思想，言之有物，對學(xué)生理解變量（天數(shù)）的變化過程和數(shù)列的變化趨勢這一極限概念，印象深刻.會(huì)認(rèn)識(shí)到極限概念并不是空穴來風(fēng)，而是實(shí)實(shí)在在存在于生活之中，會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.再結(jié)合書中幾個(gè)引例，給出定義.這樣，有一種水到渠成，自

8、然流暢之感.初學(xué)極限的人，都感覺極限概念難以掌握，極限概念的精確定義難以理解，弄不清為什么要這樣定義表現(xiàn)出多方面的困惑.學(xué)生從小學(xué)到高中學(xué)習(xí)的都是常量數(shù)學(xué)，被研究的量都是固定不變的，且都是有限的.學(xué)生沒有遇到過無限的數(shù)學(xué)模型，習(xí)慣用一種靜態(tài)不變的觀點(diǎn)來分析問題.而極限是一個(gè)無限過程，需用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來考察問題.初學(xué)極限者，最難解決的是從有限到無限的轉(zhuǎn)變.公元263年，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在求圓的周長時(shí)使用的“割圓求周”的方法，就使用了極限方法.劉徽借助圓的內(nèi)接正多邊形的周長來求圓的周長.其作法是：依次作圓的內(nèi)接正六邊形、圓的內(nèi)接正十二邊形、圓的內(nèi)接正二十四邊形？，每個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形周長都可

9、求得.圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，其周長就與圓的周長越接近，正如劉徽所說“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.”這個(gè)方法蘊(yùn)涵了極限思想.通過這兩個(gè)學(xué)生在生活學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的實(shí)例引出極限的精確定義，便于學(xué)生接受理解，也便于教師的講解.這兩個(gè)實(shí)例也是極限概念產(chǎn)生的歷史背景.這兩個(gè)實(shí)例說明極限概念在我國古代的文獻(xiàn)中早有記載，極限概念產(chǎn)生的歷史背景源遠(yuǎn)流長.張景中院士創(chuàng)立了“非語言”.為數(shù)學(xué)教育方便，稱這種“非語言”為“z語言”.“z語言”把“邏輯語言”變成代數(shù)運(yùn)算，解決了“語言”難教難學(xué)問題.用“z語言”講極限理論，這是數(shù)學(xué)分析課程的一次重大改革.從全國實(shí)驗(yàn)看來，應(yīng)用效果很

10、好，應(yīng)該把教育數(shù)學(xué)的研究成果轉(zhuǎn)化到教學(xué)中去.數(shù)學(xué)分析課程的這次重大改革，符合“數(shù)學(xué)大眾”(Mathmaticsforall)的思想.可喜可賀，通過實(shí)驗(yàn)已經(jīng)看到z語言應(yīng)用效果明顯，使用z語言,極限理論不用語言,數(shù)學(xué)分析教材就要進(jìn)行一次重大的改革.筆者認(rèn)為，張景中院士的科研成果z語言在高校數(shù)學(xué)教育界要形成共識(shí)，方能普遍推廣.這是極限概念爭論的焦點(diǎn).定積分概念是工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，無論從概念本身到實(shí)際應(yīng)用，還是從計(jì)算方法到思想方法，均有著舉足輕重的地位.文獻(xiàn)12以教學(xué)實(shí)踐為出發(fā)點(diǎn)，納眾取精，分析探討了定積分教學(xué).張景中院士提出了定積分的一個(gè)不依賴極限概念的新的定義.新的定義比黎曼積分的定義更為簡

11、單并且更容易掌握.基于這個(gè)新的定義，證明了連續(xù)函數(shù)定積分的唯一性和微積分基本定理.本文的結(jié)果表明，不用極限概念也能夠定義定積分，從而可以完整地建立基于初等數(shù)學(xué)的微積分學(xué).這些工作從理論上證明，微積分學(xué)的理論和方法并不依賴于實(shí)數(shù)系統(tǒng)和極限理論.這與150年來形成的傳統(tǒng)看法不同.基于初等數(shù)學(xué)而建立的微積分學(xué)，理論的展開和基本命題的論證變得更為簡捷.這對未來高等數(shù)學(xué)教學(xué)的影響是不言而喻的.將這方面的研究成果寫成教材并用于教學(xué)實(shí)踐，還需要大量的理論與實(shí)踐的工作.這為數(shù)學(xué)教育的改革提供了機(jī)遇和挑戰(zhàn).這些工作有沒有必要和可能推廣到多元微積分，有待進(jìn)一步的討論和研究.這是定積分概念爭論的焦點(diǎn).二重積分概念是

12、數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，二重積分的定義在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)書上都有詳盡的敘述，二重積分的定義中對被積函數(shù)要求的條件過高，適當(dāng)降低條件也是可以的.本文首先對數(shù)學(xué)分析中極限、定積分、二重積分的概念教學(xué)進(jìn)行探討，讓讀者先搞清楚這三個(gè)數(shù)學(xué)概念，對這三個(gè)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)正確的理解.然后主要是根據(jù)其概念以及各種教材、參考資料及考試中常見的有代表性的問題或?qū)嵗忍接懣偨Y(jié)其相互之間的多方位，多角度，多層次的關(guān)系(歸根揭底還是由概念之間的相互關(guān)系決定的)，并總結(jié)歸納出一套新的系統(tǒng)的理論與方法，以此來幫助學(xué)生更深刻地更全面地更清晰地認(rèn)識(shí)理解掌握數(shù)學(xué)概念并熟練地運(yùn)用它們解決與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)也為數(shù)

13、學(xué)教師的數(shù)學(xué)概念特別是其相互之間的關(guān)系的教學(xué)提供了有用的方法技巧及理論.1極限、定積分、二重積分概念探討在極限、定積分、二重積分的概念教學(xué)過程中運(yùn)用哲學(xué)思想，引用歷史典故和邏輯思維及直觀圖象等方式方法，變抽象數(shù)學(xué)概念為學(xué)生易于接受的信息，使學(xué)生更容易掌握新概念，新理論.極限概念探討自然流暢引入數(shù)列的極限概念：數(shù)列極限，函數(shù)極限概念都是很抽象的，不論從定義的描述形式還是從定義內(nèi)容上學(xué)生初次接觸都會(huì)感覺很陌生.所以我們不必急于給出概念，而是從生活中的實(shí)例讓學(xué)生自己在思想上建立極限的概念.莊子云：“1尺之槌，日取其半，萬世不竭.”意思是說：“1尺的桿子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一半，第三天截

14、去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，？依此下去，永遠(yuǎn)不能截完.”如果我們把每次的剩余用數(shù)順次表示出來，就得到一個(gè)公比為1/2的數(shù)列：1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128?那么，當(dāng)天數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列4）將趨于一個(gè)常數(shù)（零）.這一闡述，既貼近生活現(xiàn)實(shí)又能體會(huì)到其中辯證的哲學(xué)思想，言之有物，對學(xué)生理解變量（天數(shù)）的變化過程和數(shù)列的變化趨勢這一極限概念，印象深刻.會(huì)認(rèn)識(shí)到極限概念并不是空穴來風(fēng)，而是實(shí)實(shí)在在存在于生活之中，會(huì)激發(fā)學(xué)生白學(xué)習(xí)興趣.再結(jié)合書中幾個(gè)引例， 給出定義.這樣， 有一種水到渠成， 自然流暢之感.極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國早在2

15、000年前就已能算出方形、圓形、廁柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來近似計(jì)算圓周率的，并指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”，這就是早期的極限思想.通過這兩個(gè)學(xué)生在日常生活和學(xué)習(xí)中遇到過的實(shí)例引出極限的精確定義，下面給出極限的精確定義：極限的-語言定義為:liman=A,o,NN,nN,anA,用n符號語言表示，語言簡潔，蘊(yùn)涵多層次的邏輯結(jié)構(gòu).極限的精確定義在數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)兩教材中都有精確的描述， 這里不再重復(fù).下面主要是借花獻(xiàn)佛地幫助讀者理解一下極限這一數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵及外延以及對極限這一數(shù)學(xué)概

16、念教學(xué)的現(xiàn)狀及思考，以此拋磚引玉.極限概念教學(xué)的現(xiàn)狀目前，對極限概念教學(xué)的重要性以及困難是基本達(dá)成共識(shí)的，因此探索如何有效地進(jìn)行極限概念的課堂教學(xué)一直是高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的一個(gè)熱點(diǎn)問題.現(xiàn)時(shí)在普通院校中，對中、多學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程，極限概念的教學(xué)太多采用以下幾種教學(xué)方案：將極限內(nèi)容的教學(xué)一步到位.即在一開始就投入很大的精力和較多的學(xué)時(shí)， 強(qiáng)化極限理論的教學(xué)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的極限理論基礎(chǔ)和應(yīng)用.”語言的能力.與之相適應(yīng)的教材如同濟(jì)大學(xué)編的高等數(shù)學(xué)第四版、第五版等.若能達(dá)到這樣的教學(xué)效果，無疑能使學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中具有了一個(gè)良好的開端.為扎實(shí)地掌握后繼內(nèi)容和再學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)

17、習(xí)素質(zhì)的差距很大，要取得這樣的教學(xué)效果在普通高等學(xué)校中難度較大.往往是教師化了大力氣，但能較好地掌握極限理論的學(xué)生面不廣，大部分學(xué)生只能停留于能背誦”語言.在教學(xué)中，調(diào)整教材內(nèi)容順序，將極限教學(xué)分成兩步進(jìn)行.第一步先在描述性極限概念的基礎(chǔ)上解決微積分計(jì)算，第二步再反過頭來補(bǔ)上極限的精確定義這一課.但往往在進(jìn)行第二步時(shí)仍會(huì)碰到很大困難，原因仍在于第一步和第二步的研究方法和表達(dá)方式上有很大的區(qū)別.在講解極限的描述性定義的基礎(chǔ)上，對用“”語言給出的極限定義只做介紹，許多定理的結(jié)果依靠幾何直觀認(rèn)可.按照這個(gè)方案，依靠對極限的描述性定義的理解，雖然大部分學(xué)生在強(qiáng)化訓(xùn)練下能利用公式進(jìn)行微積分的基本運(yùn)算，但

18、由于在極限的描述性定義基礎(chǔ)上無法講透極限的基本理論，對于介紹性地給出的“”語言學(xué)生不理解，因此在處理涉及極限理論的問題和應(yīng)用問題時(shí)就顯現(xiàn)出較大的困難.如在教學(xué)中，常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)上連續(xù)性、可導(dǎo)性時(shí)出問題，分析其原因，問題往往出在對極限概念的理解上，當(dāng)然對后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)是不利的.筆者認(rèn)為，在中、多學(xué)時(shí)的高等數(shù)學(xué)課程中，是否采用“”語言進(jìn)行極限教學(xué)應(yīng)取決于具體的專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo).而對極限理論要求較強(qiáng)的物理、信息工程等類專業(yè)，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中“”語言是應(yīng)該掌握的.一方面，它能加深對極限概念的理解，并在此基礎(chǔ)上建立起連續(xù)，可微，斂散，可積等概念，完成被稱為：”分析的算術(shù)化”的f極限理論

19、，給微積分理論以堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).另一方面， 只有真正掌握了“極限”的動(dòng)態(tài)實(shí)質(zhì)， 才能應(yīng)用于解決實(shí)際問題.在這些專業(yè)中，系統(tǒng)地采用“”語言教學(xué)對學(xué)生打下厚實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是必要的.同時(shí)，反思教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，筆者認(rèn)為，極限概念的教學(xué)無論是采用一步到位或分兩步進(jìn)行，一個(gè)共同點(diǎn)是都需要解決在思維上從形象到抽象、在研究方法上從“靜止”到“動(dòng)態(tài)”，在語言表達(dá)上從粗略到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘w躍.需要我們下功夫的是探索怎樣進(jìn)行課堂教學(xué)才能夠更有效地實(shí)現(xiàn)這種飛躍.極限概念教學(xué)的思考：對于學(xué)生來說，極限概念以及“”語言的學(xué)習(xí)是全新的，是一種探索，而眾所周知沒有相應(yīng)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，任何探索都是不現(xiàn)實(shí)的.因此我們必須把教學(xué)活動(dòng)建

20、立在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知能力和現(xiàn)有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上.對于掌握極限的概念，學(xué)生往往感到困難.造成這種困難的原因主要來自于兩方面，一是對極限概念所表達(dá)的內(nèi)涵理解不深，二是對“”語言的表達(dá)邏輯不理解.因此，為克服這兩方面的困難，在教學(xué)中應(yīng)注重以下幾個(gè)環(huán)節(jié).1.2定積分概念探討通俗易懂闡釋定積分的概念：在中學(xué)， 我們學(xué)習(xí)了矩形面積公式：S小x寬.提出問題， 如何計(jì)算由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和y=0所圍成的曲邊梯形面積呢？由于曲邊梯形在底邊a,b上各點(diǎn)處的高f(x)是變化的，不使用原有的面積公式求它的面積，所以我們必須尋求新的方法，也就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容-定積分下面利用極限的方法求曲邊梯

21、形的面積.(1)分割：在區(qū)間a,b內(nèi)任意插入分點(diǎn)a=x。xix2-xn1xn=b,把區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間x。,xi,xi,x2,x2,xa,，xn1,xn第i個(gè)子區(qū)間的長度為xixixi1(i=1,2,，n)(2)以常代變：在每一個(gè)小曲邊梯形中，在底邊Ixr，Xi上任取一點(diǎn)i,以高為f(i),底邊長為Xi的小矩形面積是，f(i)4Xi.當(dāng)分割很細(xì)，則第i個(gè)小曲邊梯形的面積可用小矩形面積來近似代替，即Af(i)Xi,(i=1,2,n)(3)近似求和：把n個(gè)小曲邊梯形的面積相加，得到曲邊梯形面積的近似值，即A=AiA2Anf(1)Xif(2)X2f(n)x(i=1,2,n)(4)取極限：把Xi

22、,X2,，Xn中的最大者maXXi,X2,，Xn記為，當(dāng)0時(shí)，取上式右端的極限，就得到所求曲邊梯形的面積nA=lim0f(i)Xi1為加深學(xué)生對以上思維方法的理解與認(rèn)可，我們引用曹沖稱象這一歷史典故，曹沖稱象可稱得上是歷史上一個(gè)智慧火花的閃現(xiàn)，就當(dāng)時(shí)的衡量器不可能稱出大象的重量，而曹沖利用了化整為零的方法，依據(jù)零尚可稱，累積求和的思維解決了這一難題.那么，我們以上通過對區(qū)間a,b作分割；求面積的n近似值A(chǔ)f(i)Xi；近似求和人=AiA2+An；取極限limf(i)Xi得0i1到曲邊梯形的面積，我們也是依據(jù)小矩形面積可求，當(dāng)分割很細(xì)小矩形面積可近似替代小曲邊梯形的面積，二者的思維有異曲同工之處

23、.在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)f(X)bn0在區(qū)間a,b上的定積分的概念，即f(X)dX=limf(i)Xia0i1定積分是工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，無論從概念本身到實(shí)際應(yīng)用，還是從計(jì)算方法到思想方法，均有著舉足輕重的地位.文獻(xiàn)12以教學(xué)實(shí)踐為出發(fā)點(diǎn)，納眾取精，分析探討了定積分教學(xué).從歷史發(fā)展來看， 數(shù)學(xué)首先是歷史的.“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧.”所以我們要講一點(diǎn)歷史，并且，將力量集中在劃時(shí)代學(xué)科的誕生與重要概念的發(fā)展上微積分的理論從發(fā)展到成熟，前后經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間，這說明古人發(fā)展和接受這個(gè)理論并不順利，今天的學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生理解上的困難是

24、毫不奇怪的，他們也許可以憑借公式熟練地進(jìn)行求極限、導(dǎo)數(shù)與積分的計(jì)算，但卻可能不知道這種表面化計(jì)算的內(nèi)在含義.近年來人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，如果不從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度來組織教學(xué)的體系與內(nèi)容，就難以讓學(xué)生真正理解課本上形式化推理體系的背后所包含的實(shí)際內(nèi)涵.人們發(fā)現(xiàn)，歷史上數(shù)學(xué)家們的一些樸素的想法和解決過的一些相對簡單的問題極具教育上的價(jià)值，國外的一些大學(xué)數(shù)學(xué)教材已經(jīng)開始運(yùn)用數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)與材料來組織高等數(shù)學(xué)（尤其是微積分）的教學(xué)體系與內(nèi)容，提出要用“歷史線索”和“歷史原形”來指導(dǎo)微積分的教學(xué)，所以教師必須懂點(diǎn)數(shù)學(xué)歷史.用內(nèi)接多邊形接近圓的想法最早來自于古希臘的安提豐和歐多克斯，古希臘最偉大的數(shù)學(xué)

25、家阿基米德把這種思想發(fā)揚(yáng)光大，從而為微積分這一數(shù)學(xué)中最重要學(xué)科的產(chǎn)生奠定了思想基礎(chǔ)，他用無窮逼近的方法求出了一些曲線（例如圓和拋物線）所包圍的而積和一些曲面（例如球面）所包圍的體積，這其中就包含了積分概念的萌芽.而近代微分積分的醞釀和發(fā)展，主要是17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì).從信息化教育來看，依筆者之見，首先在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該信息化：高職數(shù)學(xué)理應(yīng)是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)造者和推廣者，數(shù)學(xué)教師有責(zé)任、有義務(wù)承擔(dān)這一任務(wù)，更使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)了解了其他與軟件相關(guān)的信息技術(shù)，這無疑對學(xué)生是大有裨益的，特別是數(shù)學(xué)思想的熏陶、建模能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)計(jì)算的軟件處理等.其次，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中可以信息化：高

26、職學(xué)校有優(yōu)于高中的硬件設(shè)備，更重要的是有熱衷于研究的教師，特別是數(shù)學(xué)軟件方面的研究，更重要的是學(xué)生愿意聽，也愿意嘗試，無疑有益于課堂效果的提高和學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).周木生、王庚在數(shù)學(xué)軟件融人微積分教學(xué)中的模式初探一文中也有其獨(dú)到的描述.定積分是相當(dāng)有個(gè)性的一個(gè)概念，我們的教學(xué)應(yīng)該從概念學(xué)習(xí)出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，從歷史角度出發(fā)，從教育技術(shù)出發(fā)，多方位、多角度、多層次來處理這個(gè)概念，使得教學(xué)更貼近實(shí)際、教學(xué)更還原真實(shí)、教學(xué)更收獲成果.1. 3二重積分概念探討通俗易懂闡釋重積分的概念：在講授二重積分引例，計(jì)算曲頂柱體體積時(shí)也是將區(qū)域Dffi意分成n個(gè)小區(qū)域i以每個(gè)小區(qū)域?yàn)榈?，以它的邊界線為準(zhǔn)線作母線

27、平行于z軸的柱面，把曲頂柱體分割為n個(gè)小曲頂柱體，曲頂柱體的體積就等于這n個(gè)小曲頂柱體的體積之和對于每個(gè)小曲頂柱體，由于i很小，又f(x,y)是連續(xù)變化的，故f(x,y)在i上變化很小.因此小曲頂柱體的體積可近似地等于以i為底，以在i上任取一點(diǎn)(i,i)的函數(shù)值f(i,i)為高的平頂柱體的體積(類似于我們站在地面上，總是感覺地球表面是平面.而航海家在航行時(shí)會(huì)只能看見前面遠(yuǎn)處行駛船只的桅桿，發(fā)現(xiàn)地球表面是圓的一樣，當(dāng)曲面區(qū)域很小則近似于平面.Vif(i,i)i.n整個(gè)曲頂柱體的體積的近似值為Vlimf(i,i)i.iin顯然區(qū)域吩割越細(xì)，和式f(i,i)i越接近曲頂柱體體積V.當(dāng)0上ii述和式的

28、極限就是曲頂柱體的體積V,即nVlimf(i,i)iiin然后，引進(jìn)二重積分的概念f(x,y)d=limf(i,i)iDi1在這里同樣可以借助曹沖稱象這一典故培養(yǎng)學(xué)生的思維方法和解決問題的能力.對學(xué)生認(rèn)識(shí)概念、把握概念可起到事半功倍的作用.二重積分概念是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一， 二重積分的定義在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)書上都有詳盡的敘述，二重積分的定義中對被積函數(shù)要求的條件過高，適當(dāng)降低條件也是可以的.首先，二重積分的定義中，對函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界的條件要求過強(qiáng)，事實(shí)上，只要函數(shù)f(x,y)在D上有定n義即可.其次，要求當(dāng)limf(i,i)i存在時(shí)，該極限值稱為函數(shù)f(

29、x,y)在區(qū)0iin域D上的二重積分也不妥當(dāng)，應(yīng)該是無論極限limf(i,i)i存在與否，極限0i1limof(i,i)i都應(yīng)稱為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分.只不過極限存在0i1時(shí)，稱f(x,y)在區(qū)域D上可積，極限不存在時(shí)，稱f(x,y)在區(qū)域D上不可積.2極限、定積分、二重積分關(guān)系探討定積分、二重積分的概念都是用積分和(也叫黎曼和)的極限來定義的，這就是定積分與極限、二重積分與極限這兩對數(shù)學(xué)概念之間的根本性的關(guān)系.所以可以利用定積分定義來計(jì)算形如積分和的極限.而二重積分也可以用定積分來解釋，它可以轉(zhuǎn)化為二次積分(也叫累次積分)或兩個(gè)定積分的乘積來計(jì)算或證明，而二次積分就是兩次定積

30、分，這就是二重積分與定積分這一對概念之間的關(guān)系之一.反過來，定積分也可以轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算或證明.也就是說二重積分與定積分可以互化來計(jì)算或證明.對于某些結(jié)構(gòu)特殊的被積函數(shù)，文獻(xiàn)24還給出了五個(gè)將低維數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為高維數(shù)的二重積分的例子，文獻(xiàn)25也給出了一種特殊的利用二重積分解決有關(guān)定積分問題的方法(一個(gè)命題)及兩個(gè)有代表性的例子.也就是說二重積分與定積分可以互化來計(jì)算或證明.這就是二重積分與定積分這一對概念之間的關(guān)系之一.2. 1極限、定積分關(guān)系探討文獻(xiàn)18討論了應(yīng)用定積分定義求數(shù)列極限的方法，并給出了確定被積函數(shù)及積分上、下限的具體步驟.極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要概念，若有數(shù)列是某個(gè)可積函

31、數(shù)特殊的一列積分和，那么計(jì)算此數(shù)列的極限可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分，這是計(jì)算這類數(shù)列極限的一個(gè)簡便、有效方法！由于數(shù)學(xué)分析教材對這一知識(shí)點(diǎn)只提及一二例.許多教師在講此內(nèi)容時(shí)將例題一帶而過，導(dǎo)致大部分學(xué)生做習(xí)題不知從何下手，基礎(chǔ)較好的學(xué)生也只是模仿例題，但對該方法理解不深！本文對利用定積分定義求數(shù)列極限的方法步驟及如何確定被積函數(shù)積分上下限予以探討總結(jié)！，利用定積分求極限步驟：(1)通過恒等變形，將an化為特殊形式的積分和.(2)尋找被積函數(shù)f確定積分下限及上限：令i/n=x,被積函數(shù)f(i/n)=f(x).積分下限：a=limk/n(k為i的第一個(gè)取值)；積分上限：b=limm/n(m為i的第一個(gè)取

32、值).n(3)根據(jù)定積分定義，將liman寫成定積分：nbliman=f(x)dxna(4)計(jì)算定積分，得所求極限利用定積分求極限關(guān)鍵：(1)尋找被積函數(shù)f;(2)確定積分下限a及上限b.極限、二重積分關(guān)系探討n二重積分的概念f(x,y)d=limf(i,i)i本身也是用積分和的極限定Di1義的，這就是極限、二重積分這一對數(shù)學(xué)概念之間的根本性的關(guān)系.所以也可以利用二重積分的這一定義式將二重積分與極限互化來進(jìn)行計(jì)算或證明.定積分、二重積分關(guān)系探討化定積分為二重積分：一般而言，定積分的計(jì)算無論是利用直接積分法、換元積分法、分部積分法還是綜合利用上述各種方法，歸根到底最后都要用到牛頓一一萊布尼茲公式

33、和它的推廣形式.推廣形式主要用于解決廣義積分問題.表面上看，化定積分為二重積分是將問題復(fù)雜化了，但是對于某些特殊結(jié)構(gòu)的被積函數(shù)而言，卻可以使定積分問題大大簡化.利用二重積分可以計(jì)算某些定積分.甚至于利用二重積分還可以證明某些定積分不等式.這表明二重積分是借助于定積分而建立起來.但它也開拓了定積分的計(jì)算和證明途徑.化二重積分為定積分:計(jì)算二重積分， 通常是將二重積分化為累次積分.累次積分中積分變量的次序有兩種.一種是先x后y,另一種是先Ytx.一般而言， 由于積分區(qū)域不是矩形區(qū)域， 選擇不同積分次序的累次積分.積分變量和積分上下限是不同的.很多情況下，兩種不同次序的累次積分都可以計(jì)算出相應(yīng)的二重

34、積分.不過由于受被積函數(shù)和積分區(qū)域幾何形狀的影響.可能一種情況下計(jì)算簡單而另一種情況下計(jì)算卻很復(fù)雜.當(dāng)被積函數(shù)中含有e:sinx2,晅x,-,Jsinx等時(shí),由于這些函數(shù)的xlnx原函數(shù)都不是初等函數(shù).在這種情況下，先x后Y的累次積分是不可行的，只能選擇先Y后x的累次積分.一般情況下.選擇合適的累次積分的原則是既要使計(jì)算可行又要使得計(jì)算簡單.關(guān)于這個(gè)問題在文已有研究.但是利用累次積分計(jì)算二重積分也有一定的缺陷.經(jīng)驗(yàn)不足時(shí)不能正確選擇積分次序.即使積分次序的選擇正確也可能不能熟練地根據(jù)積分區(qū)域確定積分變量的上下限.積分區(qū)域的幾何形狀復(fù)雜時(shí)有時(shí)還要對積分區(qū)域進(jìn)行分割.這些缺陷使我們想到.不如直接將

35、二重積分化為一次定積分，用定積分的分部積分法，從而使問題變得簡潔明了，易于計(jì)算.若要計(jì)算二重積分edxdy,其中D1由直線x=0,x=1,y=x,y=l圍成.對D2于這個(gè)問題，從被積函數(shù)ey可以看出選擇先x后Y的累次積分計(jì)算是可行的，先Y后x的累次積分是不可行的，并且此時(shí)不能應(yīng)用定積分的分部積分法.這也就說明了不是所有的二重積分問題都可以化為定積分從而應(yīng)用定積分的分部積分法.該方法有時(shí)雖然好用，但有局限性.不是萬能的.能不能用該方法歸根到底與被積函數(shù)和積分區(qū)域的幾何形狀有關(guān).3結(jié)束語通過大量閱讀參考文獻(xiàn)，我知道了定積分、二重積分的概念都是用積分和（也叫黎曼和）的極限來定義的，這就是定積分與極限

36、、二重積分與極限這兩對數(shù)學(xué)概念之間的根本性的關(guān)系.所以可以利用定積分定義來計(jì)算形如積分和的極限.而二重積分也可以用定積分來解釋，它可以轉(zhuǎn)化為二次積分（也叫累次積分）或兩個(gè)定積分的乘積來計(jì)算或證明，而二次積分就是兩次定積分.反過來，定積分也可以轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算或證明.也就是說二重積分與定積分可以互化來計(jì)算或證明.對于某些結(jié)構(gòu)特殊的被積函數(shù)，文獻(xiàn)24還給出了五個(gè)將低維數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為高維數(shù)的二重積分的例子，文獻(xiàn)25也給出了一種特殊的利用二重積分解決有關(guān)定積分問題的方法（一個(gè)命題）及兩個(gè)有代表性的例子.也就是說二重積分與定積分可以互化來計(jì)算或證明.這就是二重積分與定積分這一對概念之問的關(guān)系之一.致謝：在本論文的