第二章 點(diǎn)、直線與平面的投影

1、畫法幾何及機(jī)械制圖（機(jī)類）武漢化工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院工程及計(jì)算機(jī)圖學(xué)教研室第二章 點(diǎn)、直線、平面的投影 問題的提出問題的提出n如何用二維平面圖反映三維空間物體？n解決要求：一一對(duì)應(yīng)性直觀性度量性n解決方法：o將復(fù)雜的問題分解成簡(jiǎn)單的問題o將具體的問題抽象成幾何模型 投影法投影法 n實(shí)例：物體在光的照射下就會(huì)產(chǎn)生影子在墻上。n討論：墻上影子可以反映一個(gè)物體的實(shí)際形狀嗎？n只能反映部分形狀n只在特殊情況下反映真實(shí)尺寸 n可以通過投影想象實(shí)際物體形狀n結(jié)論：通過投影將三維物體轉(zhuǎn)換成二維平面物體，但還不能完全反映真實(shí)情況。n問題：是否可以通過投影解決二維平面反映三維物體？投影法投影法n通過空間點(diǎn)A的直線

2、L稱為投射線。 n通過空間任一點(diǎn)A的投射線與投影面的交點(diǎn)a為A點(diǎn)的投影。n利用投射線使物體在指定面上產(chǎn)生圖象的方法就是投影法投影法的分類投影法的分類投影法中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法的分類投影法的分類n投射中心S為一點(diǎn)n投射中心S為無限遠(yuǎn) 成影現(xiàn)象成影現(xiàn)象:光源光源光線光線被投影物體被投影物體影子影子地面地面new中心投影中心投影:S中心投影中心投影投射線投射線被投影物體被投影物體投影面投影面Hnew斜投影斜投影:new正投影正投影:本教材所學(xué)的主要內(nèi)容本教材所學(xué)的主要內(nèi)容 投射線投射線的方向垂的方向垂直于直于投影投影面面H H且彼此且彼此平行平行. .newnew平行投影的基本性質(zhì)

3、平行投影的基本性質(zhì)( (正投影的基本性質(zhì)正投影的基本性質(zhì)) )5. 5. 積聚性積聚性1.1.從屬性從屬性2.2.平行性平行性3.3.定比性定比性4. 4. 顯實(shí)性顯實(shí)性new1.1.從屬性從屬性: :直線上的點(diǎn)的投影仍在直線的投影上直線上的點(diǎn)的投影仍在直線的投影上. .C CB BA Aa ac cb bE Ef fF Fe enew2.平行性平行性:a ac cb bd dD DA AC CB B 兩平行直線兩平行直線 的的投影仍相互平行投影仍相互平行.new3.類似性：new4.4.顯實(shí)性顯實(shí)性 若線段和平面圖形平行于投影面若線段和平面圖形平行于投影面, ,則則其投影反映實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭?。其?/p>

4、影反映實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭?。new 5.5.積聚性積聚性 若線段和平面的圖形垂直于投影面，若線段和平面的圖形垂直于投影面，其投影積聚為一點(diǎn)或一直線段。其投影積聚為一點(diǎn)或一直線段。new工程上常用的投影法工程上常用的投影法 n1、透視圖：用中心投影法生成的投影圖n優(yōu)點(diǎn)：直觀性好，多用于效果圖、廣告圖n缺點(diǎn)：作圖困難，度量性差；不用于施工圖n2、軸測(cè)圖：用平行投影法生成的單面投影圖（正斜兩種）n度量性和作圖便利性比透視圖好，直觀和立體感好，有一定度量性 n多用于補(bǔ)充圖、構(gòu)思圖工程上常用的投影法工程上常用的投影法 n3、多面正投影圖：用正投影法將物體向多個(gè)投影面投影后將多個(gè)投影圖展開到同一平面上所形成的圖。n

5、作圖方便，度量性好，多用于施工圖。n4、標(biāo)高投影圖 投影的可逆要求投影的可逆要求 n問題：由一一對(duì)應(yīng)性提出通過投影可以唯一確定物體在空間形狀和位置。n如果能夠通過投影確定每個(gè)點(diǎn)的空間位置，就一定可以確定這個(gè)物體在空間的位置。n如果在一個(gè)面上投影不能反映點(diǎn)在空間的位置，那么再引入一個(gè)投影面是否可以？ 第二章第二章 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影S SA AB Ba a1.1.點(diǎn)的單面投影點(diǎn)的單面投影(b)(b)newnew點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的兩面投影一、兩面投影體系一、兩面投影體系new第一角投影的二面投影板第一角投影的二面投影板軸軸軸軸軸軸正面投影正面投影坐標(biāo)圓點(diǎn)坐標(biāo)圓點(diǎn)水平投影水平投影H Hnew二面投影板的

6、展開二面投影板的展開new二、點(diǎn)的兩面投影二、點(diǎn)的兩面投影Aaaaxnew點(diǎn)的正面投影點(diǎn)的正面投影aa點(diǎn)的水平點(diǎn)的水平投影投影a aaaA空間點(diǎn)空間點(diǎn)newaaXO點(diǎn)的兩面投影圖點(diǎn)的兩面投影圖axaa投影連線垂直于投影連線垂直于軸軸new點(diǎn)在兩投影面體系中的投影點(diǎn)在兩投影面體系中的投影 n正立投影面（V）和水平投影面（H）的引入n四分角象限的劃定n為確立點(diǎn)在空間的位置，引入H 面和V面，將空間劃分成四個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域稱為一個(gè)分角，逆時(shí)針順序稱為、分角。n求第一分角內(nèi)一點(diǎn)A在H面和V面的投影a和a/。a稱為水平投影，a/稱為正面投影。點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律 n點(diǎn)

7、的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸。n點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離，反映該點(diǎn)到H面的距離；點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離，反映該點(diǎn)到V面的距離。n點(diǎn)的水平投影在OX軸下方（上方），表示空間該點(diǎn)在V面的前方（或后方）。點(diǎn)的正面投影在OX軸的上方（或下方），表示空間該點(diǎn)在H面的上方或（下方）。 點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律 n點(diǎn)的三面投影體系是在兩投影面體系的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)側(cè)立投影面W構(gòu)成的。n過空間任一點(diǎn)A向三個(gè)投影面做垂線，求得點(diǎn)A三個(gè)投影面上的投影。n利用三個(gè)投影面上投影，可以唯一確定點(diǎn)A在空間的位置。 點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律點(diǎn)

8、在三投影面體系中的投影規(guī)律點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律 n點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸：n點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸：n點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ的距離。 點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 n討論：三投影面體系中投影和點(diǎn)的坐標(biāo)的討論：三投影面體系中投影和點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系關(guān)系n點(diǎn)的X坐標(biāo)等于點(diǎn)的正面投影到OZ的距離也等于點(diǎn)的水平投影到OYH軸的的距離；n點(diǎn)的Y坐標(biāo)等于點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離及點(diǎn)的側(cè)面投影到OZV的距離；n點(diǎn)的Z坐標(biāo)等于點(diǎn)的正平投影到OX軸的距離及點(diǎn)的側(cè)面投影到OYW軸的距離。 例一：已知點(diǎn)的坐標(biāo)求三面投影例一：題解

9、利用點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三個(gè)投影n如果知道點(diǎn)的兩個(gè)投影，則該點(diǎn)在空間的位置就確定了，因此它的第三投影也唯一確定。 點(diǎn)在投影面和投影軸上的投影規(guī)律點(diǎn)在投影面和投影軸上的投影規(guī)律 n點(diǎn)在投影面上； 點(diǎn)在投影軸上點(diǎn)的兩個(gè)投影落在投影軸上； 點(diǎn)的三個(gè)投影和其本身重合兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置n兩點(diǎn)的正面投影反映兩點(diǎn)的上下、左右位置關(guān)系：n兩點(diǎn)的水平投影反映兩點(diǎn)的左右、前后位置關(guān)系。 n兩點(diǎn)的側(cè)面投影反映兩點(diǎn)的上下、前后位置關(guān)系。n空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，由它們的坐標(biāo)差所確定。例二：兩點(diǎn)的相對(duì)位置例二：兩點(diǎn)的相對(duì)位置例二：題解例二：題解無軸投影圖n沒有標(biāo)識(shí)投影軸的投影圖無軸投影圖n

10、利用45度輔助線作圖n利用相對(duì)坐標(biāo)作圖重影點(diǎn)及投影可見性重影點(diǎn)及投影可見性nA，B兩點(diǎn)位于垂直某投影面的同一條投射線上時(shí)，兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，則該兩點(diǎn)叫做重影點(diǎn)。n不可見的點(diǎn)的投影用投影點(diǎn)外加括號(hào)方式表達(dá)。n根據(jù)重影點(diǎn)針對(duì)不同投影面，分別叫對(duì)H面重影點(diǎn)，對(duì)V面重影點(diǎn)，對(duì)W面重影點(diǎn)。重影點(diǎn)及投影可見性重影點(diǎn)及投影可見性n如何判斷重影點(diǎn)的可見性？n正面投影-前遮后n水平投影-上遮下n側(cè)面投影-左遮右例：重影點(diǎn)及投影可見性例：重影點(diǎn)及投影可見性例：題解例：題解例：例：兩交叉直線的重影點(diǎn)問題兩交叉直線的重影點(diǎn)問題點(diǎn)的坐標(biāo)大于點(diǎn)的坐標(biāo)大于點(diǎn)，故點(diǎn)，故點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)的正前方。點(diǎn)的正前方。正面投影重影點(diǎn)

11、正面投影重影點(diǎn)水平投影重影點(diǎn)水平投影重影點(diǎn)點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)大于大于點(diǎn)，故點(diǎn)，故點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)的點(diǎn)的正上正上 方方。直線對(duì)平面相對(duì)位置直線對(duì)平面相對(duì)位置 n投影面平行線投影面平行線n平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面 n投影面垂直線投影面垂直線 n垂直于一個(gè)投影，平行于另二個(gè)投影面 n一般位置直線一般位置直線 n傾斜于三個(gè)投影面的直線。 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性 n投影面平行線種類投影面平行線種類n正平線：V，對(duì)H、W面傾斜。n水平線：H，對(duì)V、W傾斜。n側(cè)平線：W對(duì)H、V傾斜。 n投影面平行線投影特性投影面平行線投影特性n在直線所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)；n且其投影與投影

12、軸的夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角；n在另外兩個(gè)投影面上的投影小于實(shí)長(zhǎng)，且平行于相應(yīng)的投影軸。 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 n投影面垂直線種類投影面垂直線種類n正垂線：V面，H，Wn鉛垂線：H面，V，Wn側(cè)垂線：W面，H，V 。 n投影面垂直線投影特性投影面垂直線投影特性n當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影ab變成一個(gè)點(diǎn)ab。直線上任一點(diǎn)M的投影m也重合在這個(gè)點(diǎn)上，這種性質(zhì)叫積聚性積聚性；n在另外兩個(gè)投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)AA正平線正平線

13、NEW反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)正平線投影圖正平線投影圖NEW投影面平行線的投影面平行線的投影特性投影特性水平線水平線eff ef e 反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)abcNEWEF實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)f efe f e水平線投影圖水平線投影圖NEW投影面平行線的投影面平行線的投影特性投影特性側(cè)平線側(cè)平線反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)DCcdc d cdNEW實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)dcdc d c側(cè)平線投影圖側(cè)平線投影圖NEW總結(jié)總結(jié):投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性 在所平行的投影面上的投影反在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)；映實(shí)長(zhǎng)； 其它兩投影平行于相應(yīng)的投影其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。 NEW投影面垂直線的投

14、影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性鉛垂線鉛垂線 水平投影積水平投影積聚為聚為 一點(diǎn)；其一點(diǎn)；其它兩個(gè)投影平行它兩個(gè)投影平行于軸，并反于軸，并反映直線實(shí)長(zhǎng)映直線實(shí)長(zhǎng)；直線與；直線與H面的夾角面的夾角 90實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)NEWNEW投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性鉛垂線鉛垂線NEW鉛垂線的投影鉛垂線的投影NEW投影面垂直線的投影面垂直線的投影特性投影特性正垂線正垂線)(dcdcc d CDNEW正垂線的投影正垂線的投影)(dcc cdd NEW投影面垂直線的投投影面垂直線的投影特性影特性側(cè)垂線側(cè)垂線ef)( fe ef NEWNEW側(cè)垂線的投影側(cè)垂線的投

15、影ef ef)( fe NEW一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性n直線的各投影均對(duì)投影軸傾斜；n直線的各投影與投影軸的夾角并不反映空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。n當(dāng)直線AB傾斜于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影ab長(zhǎng)度小于實(shí)長(zhǎng)，縮短多少，根據(jù)對(duì)投影面夾角大小確定。 討論：如何判斷直線于投影面關(guān)系n投影面平行線：n有一個(gè)平行于投影軸的投影n投影面垂直線：n有兩個(gè)垂直于投影軸的投影n有一個(gè)投影積聚成一點(diǎn)n一般位置直線：n有兩個(gè)不平行于投影軸的投影直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及傾角直角三角形法求直線實(shí)長(zhǎng)及傾角 n以直線段在某一投影面上的投影長(zhǎng)度為一直角邊，直線段兩端與這個(gè)投影面的坐標(biāo)差為另一直角邊，

16、所形成的直角三角形的斜邊就是該直線段的實(shí)長(zhǎng)該直線段的實(shí)長(zhǎng)。斜邊與投影長(zhǎng)度直角邊的夾角就是該直線對(duì)這個(gè)投影面的傾角。n直角三角形法中有四個(gè)參數(shù)，即線段的實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)度、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。只要知道其中任兩個(gè)參數(shù)即可作出直角三角形而求出其它兩個(gè)參數(shù)。也就是說，用直角形法不僅可由直線段兩投影求實(shí)長(zhǎng)及傾角，還可以已知一投影實(shí)長(zhǎng)(或傾角)求線段的另一投影及傾角(或?qū)嶉L(zhǎng))。 一般位置直線一般位置直線對(duì)面的傾對(duì)面的傾角角ABbaa b baNEWNEW例例：（在投影中）在直線上求距點(diǎn)在投影中）在直線上求距點(diǎn)為為mm的點(diǎn)的點(diǎn)NEW 一般位置直一般位置直線對(duì)面的線對(duì)面的傾角傾角aba b abBANEW

17、例例：求求一般位置直線對(duì)面的傾角一般位置直線對(duì)面的傾角yy實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)NEW 一般位置直一般位置直線對(duì)面的線對(duì)面的傾角傾角abbaAa b BNEW例例：求求一般位置直線對(duì)面的傾角一般位置直線對(duì)面的傾角x實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)xb a NEW例：直角三角形法例：直角三角形法例例：找出AB、CD、DE直線的第三投影，判斷空間位置。鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線正平線正平線NEWNEW直線與點(diǎn)的相對(duì)位置直線與點(diǎn)的相對(duì)位置一、點(diǎn)在直線上一、點(diǎn)在直線上二、點(diǎn)不在直線上二、點(diǎn)不在直線上三、直線的跡點(diǎn)三、直線的跡點(diǎn)一、 C點(diǎn)在點(diǎn)在直線上直線上ABa bab baCcc cNEW點(diǎn)在直線上上。點(diǎn)在直線上上。NEWabcc ca b

18、 ba 點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，并點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，并符合點(diǎn)的投影規(guī)律。符合點(diǎn)的投影規(guī)律。 C點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線上NEWABa bab ba 二、點(diǎn)不在二、點(diǎn)不在 直線上。直線上。dd dDNEW例：例：判斷點(diǎn)是否在直線判斷點(diǎn)是否在直線 上上解法：解法： 點(diǎn)的投影不符合點(diǎn)在直線上的投影規(guī)律，點(diǎn)的投影不符合點(diǎn)在直線上的投影規(guī)律，故點(diǎn)不在直線上。故點(diǎn)不在直線上。NEWd0M0解法解法例：例：判斷點(diǎn)是否在直線判斷點(diǎn)是否在直線 上上O O 點(diǎn)的投影不符合直線上點(diǎn)定比性，故點(diǎn)點(diǎn)的投影不符合直線上點(diǎn)定比性，故點(diǎn)不在直線上。不在直線上。NEWBbaba 三、直線的跡點(diǎn)。三、直線的跡點(diǎn)。mnNM

19、m 直線的正直線的正面跡點(diǎn)。面跡點(diǎn)。 直線的直線的水平跡水平跡點(diǎn)。點(diǎn)。nA ANEWnNmMm n直線的跡點(diǎn)直線的跡點(diǎn) 直線的正直線的正面跡點(diǎn)面跡點(diǎn)。 直線的水平跡點(diǎn)。直線的水平跡點(diǎn)。直線上點(diǎn)投影的特性直線上點(diǎn)投影的特性 n從屬性：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影在直線的同面投影上。n定比性：點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段的投影之比 。例：直線上點(diǎn)投影的特性例：直線上點(diǎn)投影的特性 例：直線上點(diǎn)投影的特性例：直線上點(diǎn)投影的特性 空間兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置同面直線異面直線平行相交交叉平行兩直線投影特性 q兩直線的同面投影相互平行，且其長(zhǎng)度之比等于投影長(zhǎng)度之比。q如何利用投影特性根據(jù)投影判斷兩直線

20、是否平行？q如果兩直線都不平行于投影軸，則有兩個(gè)投影面投影平行則可以認(rèn)為直線平行。q如果兩直線都平行于某投影軸，則必須根據(jù)第三投影或比例關(guān)系判斷。 2已知直線AB平行直線CD，試完成直線AB和CD的三面投影。例例：已知直線已知直線ABAB平行直線平行直線CDCD，試完成直線，試完成直線ABAB和和CDCD的三面投影。的三面投影。 題解：題解：a ac cb bbbd daaccddddaaccbbNEW例：平行兩直線投影特性 acbdcdab相交兩直線投影特性 q相交兩直線同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律 q如何利用投影特性根據(jù)投影判斷兩直線是否相交？q投影上交點(diǎn)連線垂直于投影軸 。q相

21、交直線可能成為某一投影面的重影線 例：相交兩直線投影特性 acbdcdab交叉兩直線投影特性 q既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性 q交叉直線的同面投影若相交，其交點(diǎn)并非一個(gè)點(diǎn)的投影，而是兩條直線上的兩個(gè)點(diǎn)的重影。其重影點(diǎn)的可見性應(yīng)根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置來判別。 兩交叉直線兩交叉直線正面投影重影點(diǎn)正面投影重影點(diǎn)水平投影重影點(diǎn)水平投影重影點(diǎn)dcdc d c交叉兩直線的投影交叉兩直線的投影 兩側(cè)兩側(cè)平線平線的投的投影反影反映映和和的線的線段實(shí)段實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)ghg h hg直角投影定理直角投影定理 n如果兩直線在空間上垂直(垂直相交或垂直交叉)，當(dāng)其中一條直線平行于某一投影面時(shí)，則兩

22、直線在該投影面上的投影垂直。 n利用直角投影定理，可完成過點(diǎn)作投影面平行線的垂線，或與其相關(guān)的求點(diǎn)到直線距離，求直角三角形、等腰三角形等平面圖形投影的作圖問題。 相交成直角的兩直線，只要其相交成直角的兩直線，只要其中有一條直線平行于某投影面，則中有一條直線平行于某投影面，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队叭苑从持彼鼈冊(cè)谠撏队懊嫔系耐队叭苑从持苯?。角。abc水平線水平線NEWabba例例：過點(diǎn)作直線垂直于：過點(diǎn)作直線垂直于,為為任意長(zhǎng)度。任意長(zhǎng)度。XONEWabba題意分析：題意分析：XO水平線（實(shí)長(zhǎng)）水平線（實(shí)長(zhǎng)）有無窮多解，可任意做一解。有無窮多解，可任意做一解。NEWabcbca解：解： 例：例：過

23、點(diǎn)作直線垂直于過點(diǎn)作直線垂直于,為任意長(zhǎng)度為任意長(zhǎng)度XONEWNEW 例例: :判定下列圖中兩直線的相對(duì)位置（平行判定下列圖中兩直線的相對(duì)位置（平行、相交、垂直相交、交叉）、相交、垂直相交、交叉） 1.1.交叉交叉2.2.垂直相交垂直相交3.3.相交相交NEW例：直角投影定理例：直角投影定理 例：直角投影定理例：直角投影定理 小結(jié)n1熟練掌握點(diǎn)在第一分角中的投影特性及作圖方法。n2熟練掌握點(diǎn)的投影與該點(diǎn)直角坐標(biāo)的關(guān)系。n3掌握兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)的可見性判別。n4熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法。n5掌握直線上點(diǎn)的投影特性。n6熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾

24、角的方法，并能靈活運(yùn)用直角三角形法。n7掌握兩直線各種相對(duì)位置的投影特性及作圖方法和判別方法。n8掌握直角投影定理及其應(yīng)用。 平面的表示方法平面的表示方法 n幾何元素表示平面： 不在同一直線上的三點(diǎn)； 一直線和直線外一點(diǎn)； 相交兩直線； 平行兩直線； 平面圖形。n跡線表示平面： 平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。 平面的跡線有水平跡線、正面跡線、側(cè)面跡線。 平面可以用相應(yīng)的跡線表示其位置。 PV PW PH水平跡線水平跡線PH正面跡線正面跡線PV側(cè)面跡線側(cè)面跡線PW 用跡線表示的用跡線表示的一般位置的平面：一般位置的平面：new各種位置的平面各種位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂

25、直面投影面平行面投影面垂直面投影特性投影面垂直面投影特性n垂直于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面。 正垂面：垂直于V面，對(duì)H，W面傾斜 鉛垂面：垂直于H面，對(duì)V，W面傾斜 側(cè)垂面：垂直于W面，對(duì)H，V面傾斜n投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性： 平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線，與投影軸的夾角，分別反映平面對(duì)另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。（積聚性）（積聚性） 在另外兩個(gè)投影面上的投影均為縮小的平面圖形。（類似性）類似性） 鉛垂面的投影鉛垂面的投影new投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性鉛垂面鉛垂面new鉛垂面鉛垂面newppp正垂面正垂面的投影的投影qqq投影面垂直面的投影特

26、性投影面垂直面的投影特性new正垂面正垂面qqqnew側(cè)垂面?zhèn)却姑鍾的投影的投影rrr投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性r側(cè)垂面?zhèn)却姑娴耐队暗耐队皉rnew投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性n平行于一個(gè)投影面，垂直于另兩個(gè)投影面。 正平面：平行于V面，對(duì)H，W面垂直 水平面：平行于H面，對(duì)V，W面垂直 側(cè)平面：平行于W面，對(duì)H，V面垂直n n投影面平行面投影特性：投影面平行面投影特性： 平面所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（實(shí)形性）（實(shí)形性） 平面在另外兩個(gè)投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。 （積聚性）（積聚性）水平面水平面的投影的投影qqq投影面平行面的投影特

27、性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性水平面水平面qqqqqq水平面水平面的三面投影的三面投影投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性正平面正平面正平面的三面投影的三面投影側(cè)平面?zhèn)绕矫娴耐队暗耐队癛rrr投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性rrrnew一般位置平面投影特性一般位置平面投影特性n對(duì)V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點(diǎn)構(gòu)成的平面。n投影特性投影特性 一般位置平面的投影特性：三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來形狀類似的圖形。（類似性）（類似性） cbaabcbacACB一般位置平面的投影一般位置平面的投影投影為空間平面的類似

28、形投影為空間平面的類似形newYW c aY PW一般位置平面的投影一般位置平面的投影 c b a b a b c投影為小于三角形實(shí)形的類似形投影為小于三角形實(shí)形的類似形new平面和直線投影特點(diǎn)平面和直線投影特點(diǎn)n實(shí)形性：投影反映實(shí)形。 直線或平面平行于投影面時(shí)。n積聚性：投影積聚成一點(diǎn)或一條線。 直線或平面垂直于投影面時(shí)。n類似性：投影成為縮小的類似形。直線或平面傾斜于投影面時(shí)。例：例：已知平面的兩投影，求第三投影。已知平面的兩投影，求第三投影。new例：找出圖中所標(biāo)各例：找出圖中所標(biāo)各面的第三投影，并判斷面的第三投影，并判斷它們的空間位置。它們的空間位置。new1322水平面水平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)?/p>

29、平面鉛垂平面鉛垂平面實(shí)形實(shí)形PQBFECp 例：找出投影圖中所標(biāo)的平面、平面及、例：找出投影圖中所標(biāo)的平面、平面及、直線的三投影，并判斷它們的空間位置。直線的三投影，并判斷它們的空間位置。qqq pp平面為一般位置平面；平面為一般位置平面；平面為正平面。平面為正平面。直線為正平線；直線為正平線；直線為水平線。直線為水平線。實(shí)實(shí)形形實(shí)實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)new總結(jié)總結(jié)n在平面作圖中要注意利用實(shí)形性、積聚性和類似性的性質(zhì)。n平面的三個(gè)投影中，必然有一個(gè)是封閉線框。一般情況下投影圖上的一個(gè)封閉線框表示空間一個(gè)面的投影。 平面上的點(diǎn)和直線平面上的點(diǎn)和直線 n點(diǎn)和直線在于面上的幾何條件是： (1)點(diǎn)在于面上，則該點(diǎn)必

30、定在于面上的一條直線上。 (2)直線在于面上，則該直線必定通過這個(gè)平面上的兩個(gè)點(diǎn)；或者通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。n上述幾何條件，是解決有關(guān)平面上點(diǎn)和直線的作圖和判別等習(xí)題的依據(jù)?？梢越鉀Q三類問題： 判別已知點(diǎn)、線是否屬于平面； 完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影； 完成多邊形的投影。 cb ba aaabcbbaaccAC CB B平面內(nèi)的點(diǎn)和直線平面內(nèi)的點(diǎn)和直線M Maabcmmmmm m 若一直線若一直線通過平面上的通過平面上的兩點(diǎn)，則此直兩點(diǎn)，則此直線在該平面上線在該平面上。此直線上的。此直線上的任意點(diǎn)都在該任意點(diǎn)都在該平面在上。平面在上。new例：判別已知點(diǎn)、線是否屬于平面

31、例：判別已知點(diǎn)、線是否屬于平面例：完成多邊形的投影例：完成多邊形的投影YW c aY c b a b a b c m m m 例：例：已知點(diǎn)在平面三角形上，作已知點(diǎn)在平面三角形上，作出點(diǎn)的三面投影。出點(diǎn)的三面投影。 3 求 作 平 面 梯 形ABCD的 梯 形EFGH的 水 平 投 影 。 例例：求作平面梯形：求作平面梯形ABCDABCD上的梯形上的梯形EFGHEFGH的水平投影。的水平投影。 題解：題解：adegfh1c2bdefc1ag2hb例：已知平面四邊形例：已知平面四邊形ABCDABCD的水平投影的水平投影abcdabcd和正面和正面投影投影a a b b d d ，試完成四邊形的，

32、試完成四邊形的正面投影正面投影。new平面內(nèi)的特殊位置直線平面內(nèi)的特殊位置直線 一、平面內(nèi)的投影面平行線一、平面內(nèi)的投影面平行線. .平面內(nèi)的水平線平面內(nèi)的水平線. .平面內(nèi)的正平線平面內(nèi)的正平線. .平面內(nèi)的側(cè)平線平面內(nèi)的側(cè)平線new PV PW PH平面內(nèi)的水平線平面內(nèi)的水平線平面內(nèi)的平面內(nèi)的正平線正平線平面內(nèi)的平面內(nèi)的側(cè)平線側(cè)平線平面內(nèi)的投影面平行線平面內(nèi)的投影面平行線new20例：在平面內(nèi)作一條距例：在平面內(nèi)作一條距H H面為面為20mm20mm的水平線。的水平線。水平線水平線20例：在水平面內(nèi)作一條距面為例：在水平面內(nèi)作一條距面為20mm20mm的正平線。的正平線。正平線正平線例：過

33、例：過N N點(diǎn)作一正平線點(diǎn)作一正平線MNMN與已知平面與已知平面ABCABC平行平行。coXaabbcnnnabcaXbcnommcoXaabbcnnnabcaXbcnomm題解：題解：例：求作直線例：求作直線ABAB的水平投影，并在直線的水平投影，并在直線 ABAB上求上求一點(diǎn)一點(diǎn)C C，使，使C C點(diǎn)距點(diǎn)距H H、V V面等距離。面等距離。YHXZYwobbaaabYHaXobZbYwpwaccc45new4545Cc ccV/HV/H的中垂面的中垂面YHXZYwoaaaaabYHaXobZbYwpwaccc45題解：題解：new例：求作直線例：求作直線MNMN，使其與直線，使其與直線 A

34、BAB、CDCD、EFEF相交，相交，并與直線并與直線CDCD垂直垂直。 c(b)adfeaXecbfdoPHcd(b)afXacedbefomnmnc(b)adfeaXecbfdoPHcd(b)afXacedbefomnmn題解：題解：例：例：完成正方形完成正方形ABCDABCD的兩面投影。的兩面投影。題解：題解： yy二、平面內(nèi)對(duì)投影面的最大斜度線。二、平面內(nèi)對(duì)投影面的最大斜度線。平面內(nèi)垂直于該投影面內(nèi)任平面內(nèi)垂直于該投影面內(nèi)任意一條投影面平行線的直線，稱意一條投影面平行線的直線，稱為平面內(nèi)對(duì)相應(yīng)投影面的最大斜為平面內(nèi)對(duì)相應(yīng)投影面的最大斜度線。度線。new平面內(nèi)對(duì)投影面的最大斜度線有三種平

35、面內(nèi)對(duì)投影面的最大斜度線有三種. .垂直于平面內(nèi)水平線的直線，是平面垂直于平面內(nèi)水平線的直線，是平面內(nèi)對(duì)水平面的最大斜度線。內(nèi)對(duì)水平面的最大斜度線。. .垂直于平面內(nèi)正平線的直線，是平面垂直于平面內(nèi)正平線的直線，是平面內(nèi)對(duì)正平面的最大斜度線。內(nèi)對(duì)正平面的最大斜度線。. .垂直于平面內(nèi)側(cè)平線的直線，是平面垂直于平面內(nèi)側(cè)平線的直線，是平面內(nèi)對(duì)側(cè)平面的最大斜度線。內(nèi)對(duì)側(cè)平面的最大斜度線。new 平面內(nèi)對(duì)投影面的最平面內(nèi)對(duì)投影面的最大斜度線用大斜度線用于一般位置平于一般位置平面對(duì)投影面傾角的求法面對(duì)投影面傾角的求法new1 PHa1平面平面P P對(duì)水平面對(duì)水平面H H的最大斜度線的最大斜度線A A1.

36、1.作平面內(nèi)的水平線；作平面內(nèi)的水平線；2.2.作對(duì)作對(duì)H H面的最大斜度線；面的最大斜度線；3.3.用直角三角形法求最大斜度線對(duì)用直角三角形法求最大斜度線對(duì)H H面的傾角。面的傾角。求一般位置平面對(duì)求一般位置平面對(duì)H H面傾角面傾角例：例：求三角形對(duì)面的傾角求三角形對(duì)面的傾角最大斜度最大斜度線實(shí)長(zhǎng)線實(shí)長(zhǎng)最大斜度線最大斜度線水平投影水平投影new例：例：求三角形對(duì)面的傾角求三角形對(duì)面的傾角最大斜度線最大斜度線正面投影正面投影最大斜度最大斜度線實(shí)長(zhǎng)線實(shí)長(zhǎng)直線與平面平行直線與平面平行 n直線與平面平行直線與平面平行 平面外的一直線若與平面上的一直線平行，到此直線與平面相互平行。即該直線投影和該平面

37、上某直線投影相平行。 若一平面上兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面上兩相交直線，則兩平面互相平行。n直線與投影面垂直面平行直線與投影面垂直面平行 直線的投影平行平行于平面有積聚性的同名投影，或者直線亦積聚為一點(diǎn)。 L LK KL L A AB BD DC C .若直線平行于平面內(nèi)某一直若直線平行于平面內(nèi)某一直線，則直線與該平面平行線，則直線與該平面平行直線與平面平行作圖問題直線與平面平行作圖問題n判別已知線面是否平行；n作直線與已知平面平行；n包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 判別判別已知線面是否平行判別判別已知線面是否平行判別判別已知線面是否平行判別判別已知線面是否平行 c a c b a

38、 b d d 例：例：判別直線與平面是否平行。判別直線與平面是否平行。 e e 直線與平面不平行。直線與平面不平行。 c a c b a b m m 例：例：過點(diǎn)作直線與已知三角形平面平行過點(diǎn)作直線與已知三角形平面平行 作直線與已知平面平行作直線與已知平面平行作直線與已知平面平行作直線與已知平面平行包含已知直線作平面與另一已知直線平行包含已知直線作平面與另一已知直線平行平面與平面平行平面與平面平行 n若平面上的兩相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個(gè)平面相互平行。 兩平面平行的作圖問題兩平面平行的作圖問題 n判別兩已知平面是否相互平行；n過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；n已知兩平面平

39、行，完成其中一平面的投影。 c a c b a b d 例：例：過點(diǎn)作已知平面的平行面。過點(diǎn)作已知平面的平行面。 e e df ff c a c b a b d d 例：例：判別平行直線與所確定的平面與平行判別平行直線與所確定的平面與平行直線和所決定的平面是否相互平行。直線和所決定的平面是否相互平行。 e e f kgg k f兩平面不平行兩平面不平行直線與平面相交直線與平面相交 n直線與平面不平行就會(huì)相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。n直線與平面相交的問題就是求直線和平面的交點(diǎn)，難點(diǎn)是判斷直線的可見性。 線面的交點(diǎn)線面的交點(diǎn)線面的交點(diǎn)線面的交點(diǎn)平面與平面相交平面與平面相交 n平面與平面相交，其交線是平面與平面的共有線。n求兩平面交線的基本方法是求出兩個(gè)共有點(diǎn)或求出一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 線、面相交作圖方法線、面相交作圖方法 n（1）一般位置直線與有積聚性平面相交，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一投影可在直線的投影上找到