2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)學(xué)案：3.2.2 奇偶性 Word版含解析

1、3.2.2奇偶性【素養(yǎng)目標(biāo)】1理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)2掌握判斷某些函數(shù)奇偶性的方法(邏輯推理)3掌握奇偶函數(shù)的圖象特征(直觀想象)4會(huì)根據(jù)概念和圖象判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性(邏輯推理)【學(xué)法解讀】1學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)要注意結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí)，如單調(diào)性、函數(shù)圖象、解析式等，加強(qiáng)它們的聯(lián)系2學(xué)生應(yīng)理解“奇偶性”的實(shí)質(zhì)，也就是圖象的對(duì)稱性：是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱還是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性前提函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閕，xi，都有xi條件f(x)_f(x)_f(x)_f(x)_結(jié)論函數(shù)f(x)叫_偶函數(shù)_函數(shù)f(x)叫_奇函數(shù)_思考1：(1)如果定義域內(nèi)

2、存在x0，滿足f(x0)f(x0)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎？(2)函數(shù)的奇偶性定義中，對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，滿足f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？提示：(1)不一定，必須對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立(2)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)2圖象特征(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于_y_軸對(duì)稱(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于_原點(diǎn)_對(duì)稱思考2：奇函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)嗎？提示：若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義，則f(0)0，圖象經(jīng)過原點(diǎn)；若奇函數(shù)f(x)在x0處無意義，圖象就不經(jīng)過原點(diǎn)基礎(chǔ)自測(cè)1下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(b)2下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(a)ay2x23byx3c

3、yx2，x0,1dyx解析對(duì)于a：f(x)2(x)232x23f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，b，d都為奇函數(shù)，c中定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不具備奇偶性3(2020·南陽市高一期中測(cè)試)已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，則ab的值為(b)a0bc1d2解析由題意得，ab.4已知yf(x)，x(a，a)，f(x)f(x)f(x)，則f(x)是(b)a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既奇又偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù)解析f(x)f(x)f(x)又x(a，a)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是偶函數(shù)5已知函數(shù)f(x)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)(1)求a的值；(2)判斷f(x)的奇偶性解析(1)點(diǎn)(2,

4、1)在函數(shù)f(x)的圖象上，12，a2.(2)由(1)知f(x)x，定義域?yàn)?，0)(0，)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)xx(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x).分析(1)函數(shù)具備奇偶性時(shí)，函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？(2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)把握好哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？解析(1)函數(shù)f(x)x1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集r，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)閒(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)x1既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(

5、2)使函數(shù)有意義滿足，定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)為非奇非偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)|x2|x2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集r，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因?yàn)閒(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函數(shù)f(x)|x2|x2|是偶函數(shù)(4)函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)21(x21)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)21x21(x21)f(x)綜上可知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)注意由于這里的x0，因此應(yīng)將x代入f(x)x21；由于這里的x0，因此應(yīng)將x代入f(x)x21.歸納提升判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：即若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6、，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)此法多用在解選擇題、填空題中【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)3x21；(3)f(x)；(4)f(x)0；(5)f(x)2x1；(6)f(x).解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(2)函數(shù)f(x)3x21的定義域?yàn)閞，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)3(x)213x21f(x)，f(x)3x21是偶函數(shù)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x>0時(shí)，x<0，f(x)x2x(xx2)f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)xx

7、2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(4)由于f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(5)函數(shù)f(x)2x1的定義域?yàn)閞，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(1)3，f(1)1，f(1)3，f(1)f(1)，y2x1不是偶函數(shù)，又f(1)f(1)，y2x1不是奇函數(shù)，y2x1既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)(6)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)不具有奇偶性題型二奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例2 設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，若當(dāng)x0,5時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，求不等式f(x)<0的解集分析利用奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，畫出函

8、數(shù)f(x)在5,0上的圖象，再根據(jù)圖象寫出不等式f(x)<0的解集解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在5，5上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱根據(jù)f(x)在0,5上的圖象畫出在5,0上的圖象，如圖中虛線所示由圖象知不等式f(x)<0的解集為x|2<x<0或2<x5歸納提升已知函數(shù)的奇偶性及部分圖象，根據(jù)對(duì)稱性可補(bǔ)出另一部分圖象，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 已知函數(shù)yf(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示(1)請(qǐng)補(bǔ)全完整函數(shù)yf(x)的圖象；(2)根據(jù)圖

9、象寫出函數(shù)yf(x)的增區(qū)間分析函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性作出函數(shù)yf(x)在x>0時(shí)的圖象解析(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(1,0)，(1，)題型三利用函數(shù)的奇偶性求解析式例3 已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x3.試求f(x)在r上的表達(dá)式分析(1)如何把(，0)上的未知解析式轉(zhuǎn)移到(0，)上的已知解析式？(2)奇函數(shù)f(x)在x0處的函數(shù)值是多少？由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知yf(x)是奇函數(shù)利用奇函數(shù)性質(zhì)可求得解析式解析函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)為奇函數(shù)，則f(0)0，設(shè)x0

10、，則x0，x>0時(shí)，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3于是有：f(x).歸納提升利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，但要注意求給定哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為x(另一個(gè)已知區(qū)間上的解析式中的變量)，通過適當(dāng)推導(dǎo)，求得所求區(qū)間上的解析式【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 已知f(x)是r上的偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)x2x1，求x(，0)時(shí)，f(x)的解析式解析設(shè)x<0，則x>0，f(x)(x)2(x)1x2x1，f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)

11、x2x1.當(dāng)x(，0)時(shí)， f(x)x2x1.題型四單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例4 定義在(1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，若f(1a)f(13a)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析利用f(x)是奇函數(shù)，把f(1a)f(13a)<0變形為f(13a)<f(a1)，再根據(jù)單調(diào)性列出不等式(組)求解解析原不等式化為f(13a)<f(1a)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1a)f(a1)所以原不等式化為f(13a)<f(a1)因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，且定義域?yàn)?1,1)，所以有解得0<a<.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，)歸納提升解答這類題的思路是：先由

12、函數(shù)的奇偶性將不等式兩邊都變成只含“f”的式子，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組)求解【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)<f()的x的取值范圍為(a)a(，)b，)c(，)d，)解析由于f(x)為偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則不等式f(2x1)<f()，即<2x1<，解得<x<.誤區(qū)警示判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域例5 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)3x2，x(2,2；(2)f(x)(x1).錯(cuò)解(1)f(x)3(x)23x2f(x)，函數(shù)是偶函數(shù)(2)f(x)，f(x) f(x)，f(x)為偶函數(shù)錯(cuò)因分析錯(cuò)解

13、中忽略了函數(shù)的定義域，若一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)正解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?2,2，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)方法點(diǎn)撥判斷函數(shù)奇偶性的步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2)當(dāng)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，函數(shù)不具有奇偶性，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷f(x)與f(x)的關(guān)系：若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任

14、意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)0，則f(x)為奇函數(shù)學(xué)科素養(yǎng)邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用再談恒成立問題1在我們數(shù)學(xué)研究中，存在大量的恒成立問題，如：(1)f(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增，則對(duì)任意x1，x2d，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)恒成立；(2)若f(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)閙，則f(x)f(x)對(duì)任意xm恒成立；若f(x)是偶函數(shù)，定義域?yàn)閙，則對(duì)任意xm, f(x)f(x)恒成立；(3)若f(x)的最大值為m，最小值為m，定義域?yàn)閍，則對(duì)任意xa，有mf(x)m.解答這類問題時(shí)，應(yīng)充分利用其恒成

15、立的特點(diǎn)選取解答方法2遇到f(x)與f(x)的關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)首先從函數(shù)f(x)的奇偶性入手考慮，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函數(shù)g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性來解答例6 已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，則f(2)等于(a)a26b18c10d10分析只有一個(gè)條件f(2)10，兩個(gè)待定系數(shù)a，b，不能通過列方程組方法求出a，b.由f(2)求f(2)，我們可聯(lián)想函數(shù)的奇偶性，觀察f(x)的表達(dá)式有什么特征？如何借助函數(shù)的奇偶性求f(2)?解析解法一：令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是r上的奇函數(shù)，從而g(2)g(2)，又f(x)g(x

16、)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.解法二：由已知條件，得，得f(2)f(2)16.又f(2)10，f(2)26.例7 設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2.若對(duì)任意的xa，a2，不等式f(xa)2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_，)_.解析由題意知f(x)則2f(x)f(x)，因此，原不等式等價(jià)于f(xa)f(x)易知f(x)在r上是增函數(shù)，所以xax，即a(1)x.又xa，a2，所以當(dāng)xa2時(shí)，(1)x取得最大值(1)(a2)，因此，a(1)(a2)，解得a.故a的取值范圍是，)課堂檢測(cè)·固雙基1函數(shù)f(x)x的圖象關(guān)于(c)ay軸對(duì)稱b直線yx對(duì)稱c坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱d直線yx對(duì)稱解析因?yàn)閤(，0)(0，)，且對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x，都有f(x)xf(x)，所以函數(shù)f(x)x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱2函數(shù)f(x)|x|1是(b)a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù)解析f(x)|x|1|x|1f(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)