第一章 1.4生活中優(yōu)化問題

1、第一章導數(shù)及其應用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用了解導數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題.問題導學題型探究達標檢測學習目標知識點生活中的優(yōu)化問題問題導學 新知探究 點點落實1.生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為 .2.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質是.3.解決優(yōu)化問題的基本思路是：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的 過程.優(yōu)化問題求函數(shù)最值數(shù)學建模答案返回類型一面積、容積的最值問題解析答案題型探究 重點難點 個個擊破例1請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABC

2、D是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBx cm.(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，則x應取何值？當且僅當x30 x，即x15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，則x15.(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.解析答案反思與感悟反思與感悟令V0，得0 x20；令V0，得20 x30.1.這類問題一般用面積公式，體

3、積公式等作等量關系，求解時應選取合理的邊長x作自變量，并利用題目中量與量之間的關系表示出其他有關邊長，這樣函數(shù)關系式就列出來了.2.這類問題中，函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段)為正，建立x的不等式(組)求定義域.反思與感悟解析答案跟蹤訓練1某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場.如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100 m，并與北京路一邊所在直線l相切于點M.點A為上半圓弧上一點，過點A作l的垂線，垂足為點B.市園林局計劃在ABM內進行綠化.設ABM的面積為S(單位：m2)，AON(單位：弧度).(1)將S表示為的函數(shù)；(2)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積.解S5 0

4、00(2cos2 cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1).解析答案類型二利潤最大問題解析答案例2已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元.設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)求年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.解當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.反思與感悟解析答案解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利

5、潤的函數(shù)關系，常見的基本等量關系有：(1)利潤收入成本；(2)利潤每件產品的利潤銷售件數(shù).反思與感悟跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng) 10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；所以a2.解析答案(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解析答案解由(1)可知，該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).解析答案于是，當x

6、變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點.所以，當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.例3已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(80)，則y1kv2，當v12時，y1720，720k122，得k5.設全程燃料費為y，由題意，得令y0，得v16，當v016，即v16 km/h時全程燃料費最省，ymin32

7、 000(元)；解析答案反思與感悟當v016，即v(8，v0時，y0，即y在(8，v0上為減函數(shù)，綜上，當v016時，v16 km/h全程燃料費最省，為32 000元；反思與感悟1.用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際作答.2.利用導數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內只有一個點使f(x)0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值.反思與感悟跟蹤訓練3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可

8、使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x) (0 x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式；解析答案解設隔熱層厚度為x cm，而建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.當0 x5時，f(x)0，當5x0，當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元.返回解析答案1.方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料

9、時，它的高為()A.4 B.6C.4.5 D.8解析答案達標檢測 解析設底面邊長為x，高為h，A2.某產品的銷售收入y1(萬元)是產品x(千臺)的函數(shù)，y117x2；生產總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應生產()A.9千臺 B.8千臺 C.6千臺 D.3千臺解析答案C解析構造利潤函數(shù)yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0得x6(x0舍去)，x6是函數(shù)y在(0，)上唯一的極大值點，也是最大值點.3.將一段長100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓形，當正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為_ cm.解析答案解析答案解析設彎成圓

10、形的一段鐵絲長為x，則另一段長為100 x，設正方形與圓形的面積之和為S，4.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0 x21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；解析答案解設商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2).由已知條件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解析答案解根據(jù)(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)極小值極大值故x12時，f(x)取得極大值.因為f(0)9 072，f(12)11 664.所以定價為301218，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.1.利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系yf(x)；(2)求函數(shù)的導數(shù)f(x