(完整版)2018年人教版八年級數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解講義

1、2018-2019學(xué)年八年級(上)數(shù)學(xué)-專屬教案整式的乘法與因式分解知識點(diǎn)平方差公式：(a+ b)( a - b) = a2- b2類型一判斷能否應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算sni下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是)A. (x+y)(x+y)B. (x+y)( x- y)C. (-x-y)( y- x)D. (x+ y)( x y)解析：A中含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯誤； B中(x+y)(xy)= (x y)(xy),含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯誤； C中(一xy)( y x) = (x + y)( x y),含x的項(xiàng)符號相同，含 y的項(xiàng)符號相反，能用平方差公式

2、計(jì)算，正確；D中(x+y)( -x- y) = - (x+y)( x + y),含x、y的項(xiàng)符號相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯誤；故選 C.方法總結(jié)：對于平方差公式，注意兩個多項(xiàng)式均為二項(xiàng)式且兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng) 互為相反數(shù).類型二直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 利用平方差公式計(jì)算:(1)(3 x- 5)(3 x+ 5);(2)( 2ab)( b2a)；(3)( -7m 8n)( -8n-7m)；(4)( x-2)( x+2)( x2+4).解析：直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：(1)(3 x 5)(3 x+ 5) = (3x)2 52=9x225;(2)( -2a-b)( b-

3、2a) =(-2a)2-b2=4a2-b2；(3)( -7mi+ 8n)( -8n-7m) = ( - 7m) 2- (8 n)2= 49mi- 64n2；(4)( x-2)( x+2)( x2+4) =(x24)( x2+4)=x416.方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方； (3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.類型三平方差公式的連續(xù)使用ffiBI 求 2(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1)的值.解析：根據(jù)平方

4、差公式，可把 2看成是(3-1),再根據(jù)平方差公式即可算出結(jié)果.解：2(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) = (3 1)(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) = (32 1)(3 2+ 1)(3 4 + 1)(3 8+ 1) =(3 4- 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) =(3 8- 1)(3 8+ 1) = 316 1.方法總結(jié)：連續(xù)使用平方差公式，直到不能使用為止.類型四應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算m利用平方差公式簡算:(1)20 3X 193; (2)13.2 X12.8.解析：(1)把201X 192寫成(20 +1) X (2

5、0 -1),然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；(2)把13.2 X 12.8寫3333成(13+0.2) X(130.2),然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.解：(1)20 1X 192= (20 +；) X (20 - 1) =400-1= 3998； 333399(2)13.2 X 12.8= (13 +0.2) X(13 0.2) =169-0.04 = 168.96.方法總結(jié)：熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并構(gòu)造出公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.類型五化簡求值前H 先化簡，再求值：(2x y)( y+2x) (2y + x)(2 y x),其中 x=1, y=2.解析：利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把 x、y的

6、值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解.解：(2x y)( y+ 2x) (2 y+ x)(2 y-x) = 4x2-y2- (4y2-x2) = 4x2 y2 4y2+x2= 5x2 5y2.當(dāng) x= 1, y =2 時，原式=5X1 2-5X22=- 15.方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數(shù)值直接計(jì)算.類型六利用平方差公式探究整式的整除性問題對于任意的正整數(shù) n,整式(3n+1)(3 n1) (3 n)(3 + n)的值一定是10的倍數(shù)嗎？解析：利用平方差公式對代數(shù)式化簡，再判斷是否是10的倍數(shù).解：原式=9n21 (9 n2) = 10n210= 10( n +1)( n1) , n 為正

7、整數(shù)，(n1)( n+1)為整數(shù)， 即(3 n+1)(3 n-1) (3 n)(3 + n)的值是 10 的倍數(shù).方法總結(jié)：對于平方差中的 a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問題時，要注意這方面的問題.類型七平方差公式的實(shí)際應(yīng)用1DI王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽.今年王大伯對李大媽說：“我把 這塊地一邊減少 4米，另外一邊增加 4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了 .你認(rèn)為 李大媽吃虧了嗎？為什么？解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大小即可.解：李大媽吃虧了.理由：原正方形的面積為a2,

8、改變邊長后面積為(a+4)( a4) =a216, a2>a2 16,，李大媽吃虧了.方法總結(jié)：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡解決問題.完全平方公式：(a士b)2= a2± 2ab+ b2；類型一直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算mi利用完全平方公式計(jì)算: 2(5 a)；(2)( 3mr 4n)2； .2(3)( -3a+b).解析：直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：(1)(5 -a)2 = 25-10a+a2；2_ 22(2)( 3m-4n) =9m+24mr 16n ;(3)( -3a+b)2=9a2-6ab+b2.方法總結(jié)：完全平方公式：(a

9、7; b)2=a2±2ab+b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放【類型二】 構(gòu)造完全平方式m的值.如果36x2+(m+ 1)xy+25y2是一個完全平方式，求解析：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值.解：.1 36x2+ ( mi+1) xy +25y2=(6x)2 +( m+ 1) xy + (5 y)2,(m+ 1)xy = ±2 6x5y,m+1 =±60,mi= 59 或61.方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式.注意積的 2倍的符號，避免漏解.【類型三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算利用乘法公

10、式計(jì)算:(1)98 2101X99;(2)2016 2-2016X 4030+ 20152.解析：原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果.解：(1)原式=(100 2)2(100 + 1)(100 - 1) = 1002-400+4- 1002+ 1 = 395;(2)原式=20162 2X2016X 2015+ 20152=(2016 -2015)2= 1.方法總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完 全平方公式的形式.類型四靈活運(yùn)用完全平方公式求代數(shù)式的值(901 已知 x y=6, xy=8.(1)求x2+ y2的值；12 1.

11、(2)求代數(shù)式,(x+y + z) +2(x-y-z)( x-y + z) -z(x+ y)的值.解析：(1)由(x y) 2=x2+y2-2xy,可得 x2+ y2= (x-y)2+ 2xy,將 x-y= 6, xy=8代入即可求得2212122x +y 的值；(2)首先化間 2(x+y + z) +2(xy z)( x-y+z) -z(x+ y) =x + y ,由(1)即可求得答案.解：(1) x-y= 6, xy=8,(x-y) 2=x2+y2-2xy, . x2+y2= (x y) 2+2xy= 36 16= 20;12 1 11,2,2,212(2) - 2(x+y+z) +2(x

12、-y-z)( x-y+z) -z(x+y) =-(x +y +z + 2xy + 2xz + 2yz)+2( x-y)一21 2 . 1 2 , 1 21 21 21 22.22.2z xzyz = 2x + 2y+2z+xy + xz + yz+2x+2y xy 2z xzyz = x+y ,又.x+y = 20, -原式= 20.方法總結(jié)：通過本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(x y)2= x2+ y2 2xy, x2+ y2= (x y)2+ 2xy.【類型五】完全平方公式的幾何背景我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式.例如圖甲可以用來解

13、釋 (a+b)2(ab)2=4ab.那么通過圖乙面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個恒等式，此等式是()A. a2-b2 = (a+ b)( a- b)22B. (ab)( a+2b) = a + ab 2bC. (a-b)2=a2-2ab+ b2D. (a+b)2= a2+2ab+ b2解析：空白部分的面積為(ab)2,還可以表示為 故選C.a2 2ab+ b2,所以，此等式是(ab)2= a22ab+b2.9方法總結(jié)：通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋.探究點(diǎn)二：添括號后運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:.2(1)( ab+c);(2)(1 -2x+y)(1 +2x y).解析：利用整體思想將三項(xiàng)

14、式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括 號的符號法則.解：(1)原式=(a- b) + c 2= (a- b) 2+c2+ 2( a- b) c= a2 2ab+ b2+ c2+ 2ac- 2bc= a2+ b2+ c2- 2ab + 2ac 2bc；(2)原式=1 +(-2x+y)1 -( - 2x+y) = 12- ( -2x+ y) 2= 1 -4x2+ 4xy-y2.方法總結(jié)：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算時，應(yīng)先將式子變成(a土 b)2的形式.注意 a, b可以是多項(xiàng)式，但應(yīng)保持前后使用公式的一致性.因式分解提公因式法(1) m升 mb mc= n( a+ b+ c

15、);(2) a2 b2 = (a + b)( a- b)；(3) a2 + 2ab+b2= (a+b) 2.探究點(diǎn)一：因式分解的概念®ni下列從左到右的變形中是因式分解的有() x2 y2 1 = (x+ y)( x y) 1; x3+ x= x(x2+ 1); (x y) 2= x2 2xy + y2; x2 9y2 = (x + 3y)( x- 3y).A. 1個B.2個C.3個D.4個解析：沒把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故不是因式分解；把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾 個整式積的形式，故是因式分解；是整式的乘法，故不是因式分解；把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個 整式積的形式，故是因式分解；故

16、選 B.方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形 式.因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式.探究點(diǎn)二：提公因式法分解因式類型一 確公因式多項(xiàng)式6ab2c3a2bc+12a2b2中各項(xiàng)的公因式是()A. abc B . 3a2b2 C . 3a2b2c D . 3ab解析：系數(shù)的最大公約數(shù)是 3,相同字母的最低指數(shù)次哥是ab, 公因式為3ab.故選D.方法總結(jié)：確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定” ：(1)定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式 (或相同多項(xiàng)式因式)；(3)定指數(shù)，即

17、各項(xiàng)相同字母因式 (或相同多項(xiàng)式因式)的指數(shù)的最低次哥.類型二用提公因式法因式分解(1)8 a3b2+12ab3c；(2)2 a(b+c)-3(b+c)；(3)( a+b)( a b) a b.解析：將原式各項(xiàng)提取公因式即可得到結(jié)果.解：(1)原式=4ab2(2 a2 + 3bc)；(2)原式=(2 a-3)( b+c)；原式=(a+b)( a-b-1).方法總結(jié)：提公因式法的基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式并確定另一個因式.類型三利用因式分解簡化運(yùn)算畫口計(jì)算：(1)39 X 3713X91;(2)29 X 20.16 + 72X 20.16 + 13X 20.1620.16 X 1

18、4.解析：(1)首先提取公因式13,進(jìn)而求出即可；(2)首先提取公因式 20.16 ,進(jìn)而求出即可. 解：(1)39 X37-13X91 = 3X 13X 3713X 91 = 13X (3 X 3791) =13X20= 260;(2)29 X 20.16 +72X 20.16 + 13X 20.16-20.16 X 14=20.16 X (29 +72+13- 14) = 2016.方法總結(jié)：在計(jì)算求值時，若式子各項(xiàng)都含有公因式，用提取公因式的方法可使運(yùn)算簡便.類型四利用因式分解整體代換乎值GSUI 已知 a+b=7, ab= 4,求 a2b+ab2的值.解析：原式提取公因式變形后，將a+

19、b與ab的值代入計(jì)算即可求出值.解：a+b=7, ab=4, .原式=ab(a+ b) =4X7= 28.方法總結(jié)：求代數(shù)式的值，有時要將已知條件看作一個整體代入求值.公式法 :平方差公式：a2 b2 = (a + b)(ab)類型一判定能否利用平方差公式分解因式®n下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是()A. a2 + ( - b)2 B . 5m220mnC. x2y2 D . x2+9解析：A中a2+( b)2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤； B中5m20mn兩項(xiàng)都不是平 方項(xiàng)，不能用平方差公式分解因式，錯誤； C中一x2y2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤

20、； D中一x2+9=X2+32,兩項(xiàng)符號相反，能用平方差公式分解因式，正確.故選 D.方法總結(jié)：能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符 號相反.【類型二 利用平方差公式分解因式分解因式:41.43 24(1) a -b ； (2) xy -xy .解析：(1) a4-尋4可以寫成(a2)2(4b2)2的形式，這樣可以用平方差公式進(jìn)行分解因式，而其中有個因式a2；b2仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；(2)x3y2xy4有公因式xy2,應(yīng)先提公因式再進(jìn)一步分解因式.21,221.221.21 .1 .斛：(1)原式=(a + 4b)( a 4b) = (a +

21、 4b)( a 2b)( a+2b);(2)原式=xy2(x2y2) =xy2(x+y)( x y).方法總結(jié)：分解因式前應(yīng)先分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必須進(jìn)行 到每一個多項(xiàng)式都不能再分解因式為止.類型三底數(shù)為多項(xiàng)式或單項(xiàng)式時，運(yùn)用平方差公式分解因式.22(1)( a+ b) 4a ；(2)9(n) 2- ( m- n) 2.解析：將原式轉(zhuǎn)化為兩個式子的平方差的形式后，運(yùn)用平方差公式分解因式.解：(1)原式=(a+b2a)( a+b+2a) =(b- a)(3 a+b)；(2)原式=(33n n)(33n+ m- n) = (24n)(42n) = 4(2n)(2n

22、).方法總結(jié)：在平方差公式a2- b2=(a+ b)( a b)中，a和b可以代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或單獨(dú)一個數(shù).類型四利用因式分解整體代換求值例。已知 x2-y2= - 1, x+y=，求 x y 的值.解析：已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡，將x+ y的值代入計(jì)算即可求出 xy的值.解：. x2-y2= (x + y)( x-y) =- 1, x+y = 2, x-y = - 2.方法總結(jié)：有時給出的條件不是字母的具體值，就需要先進(jìn)行化簡，求出字母的值，但有時很難或 者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點(diǎn)，將一個代數(shù)式的值整體代入可使運(yùn)算簡便.【類型五】 利用因式分解解決整除問題S時2 48

23、 1可以被60和70之間某兩個自然數(shù)整除，求這兩個數(shù).解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可.解：248- 1 = (2 24 + 1)(2 24- 1) = (224 + 1)(2 12+ 1)(2 12- 1) = (2 24+ 1)(2 12+ 1)(2 6 + 1)(2 6 1) , 2 6 64,26- 1 = 63, 26+ 1 = 65, .這兩個數(shù)是 65 和 63.方法總結(jié)：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除.【類型六】 利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算利用因式分解計(jì)算:(1)101 2 992;小、c21“21(2)572

24、X 4428X4.解析：(1)根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；(2)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：(1)101 2992 = (101 +99)(101 99)=400;_ _2 1_ 2 1 ,_2_ 2、1 一 一 1.1 (2)572 X4428 ><4=(572 428)X4=(572 +428)(572 428) X 4= 1000X 144X 4=36000.方法總結(jié)：一些比較復(fù)雜的計(jì)算，如果通過變形轉(zhuǎn)化為平方差公式的形式，則可以使運(yùn)算簡便.類型七在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式顫!在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.(1) x2-5；(2) x3 2x.解析：(1)直接利用平方差

25、公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式 x,然后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，即可求得答案.解：(1) x2-5=(x+事)(x-洞;(3) x3-2x = x(x2-2)=x(x+ /)(x- 72).方法總結(jié)：注意因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的結(jié)果可 以出現(xiàn)無理數(shù).課后練習(xí)一、選擇題1 .下列計(jì)算中正確的是().A. a2+b3=2a5B . a=a4C. a2 a4= a8D. (- a2)3= - a62. (xa)(x2+ax+a2)的計(jì)算結(jié)果是().A . x3+2ax2a3B, x3a3C. x3 +r2a2x a3D. x3+ 2ax2+

26、 2a2 a33 .下面是某同學(xué)在一次測驗(yàn)中的計(jì)算摘錄，其中正確的個數(shù)有().3x3( 2x2)= 6x5； 4a3b寸2a2b)= 2a;(a3)2=a5；(一a)， a)= a2.A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個4 .若 2a 3,2b 2 ,則 2a 2b =().A.12 B. 7 C. 6D.55 .下列各式是完全平方式的是 ().D. x2+2x1c 1A . x2 x+ B.1+x2 C. x+xy+16 .把多項(xiàng)式ax2- ax- 2a分解因式，下列結(jié)果正確的是 ().A . a(x- 2)(x+ 1)B. a(x+2)(x1)C. a(x 1)2D. (ax2)(ax+1)7.如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則 m的值為().A. - 3 B. 3 C. 0 D. 18,若 3x=15,3y=5,則 3xy等于().A. 5 B. 3 C. 159.下列分解因式正確的是(A . x3 x=x(x 2-1)C . (a+4)(a 4)=a216D. 10)B , m2+m 6=(m+3)(m 2)D , x2+y 2=(x+y)(x -y)10.從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為 b的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪開拼成一個矩