2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：3.4　基本不等式：ab≤a＋b2 Word版含解析

1、34基本不等式：目標(biāo) 1.了解基本不等式的代數(shù)式和幾何背景；2.會用基本不等式進(jìn)行代數(shù)式大小的比較及證明不等式；3.會用基本不等式求最值和解決簡單的實際問題重點 基本不等式的簡單應(yīng)用難點 基本不等式的理解與應(yīng)用知識點一 兩個不等式 填一填1重要不等式：對于任意實數(shù)a，b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立2基本不等式：如果a，br，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立其中為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)所以兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)答一答1不等式a2b22ab和基本不等式成立的條件有什么不同？提示：不等式a2b22ab對任意實數(shù)a，b都成立；中要求a，b都是正實數(shù)知

2、識點二 基本不等式與最值 填一填已知x，y都是正數(shù)，(1)若xys(和為定值)，則當(dāng)xy時，積xy取得最大值 (2)若xyp(積為定值)，則當(dāng)xy時，和xy取得最小值答一答2利用基本不等式求最值時，我們應(yīng)注意哪些問題？提示：(1)在利用基本不等式具體求最值時，必須滿足三個條件：各項均為正數(shù)；含變數(shù)的各項的和(或積)必須是常數(shù)；當(dāng)含變數(shù)的各項均相等時取得最值三個條件可簡記為：一正、二定、三相等這三個條件極易遺漏而導(dǎo)致解題失誤，應(yīng)引起足夠的重視(2)記憶口訣：和定積最大，積定和最小3在多次使用基本不等式求最值時，我們應(yīng)注意什么問題？提示：在連續(xù)多次應(yīng)用基本不等式時，我們要注意各次應(yīng)用時不等式取等號

3、的條件是否一致，若不能同時取等號，則需換用其他方法求出最值4兩個正數(shù)的積為定值，它們的和一定有最小值嗎？提示：不一定應(yīng)用基本不等式求最值時還要求等號能取到如sinx與，x(0，)，兩個都是正數(shù)，乘積為定值但是由0<sinx<1，且sinx在(0,1)上為減函數(shù)，所以sinx>15，等號不成立，取不到最小值類型一 利用基本不等式證明不等式例1(1)已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：abc>.(2)已知a，b，c為正實數(shù)，且abc1，求證：8.分析(1)左邊是和式，右邊是帶根號的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左

4、邊因式分別使用基本不等式，可得三個“2”連乘，又1，可由此變形入手證明(1)a>0，b>0，c>0，ab2>0，bc2>0，ca2>0.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立abc>.(2)a，b，c為正實數(shù)，且abc1，1，同理1，1.由上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得··8.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立1.利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果.2.注意多次運用基本不等式時等號能否取

5、到.3.解題時要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式.變式訓(xùn)練1已知a>0，b>0，c>0，且abc1.求證：9.證明：因為a>0，b>0，c>0，且abc1，所以3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號類型二 利用基本不等式求最值例2(1)若x>0，求f(x)4x的最小值；(2)設(shè)0<x<，求函數(shù)y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值分析利用基本不等式求最值，當(dāng)積或和不是定值時，通過變形使其和或積為定值

6、，再利用基本不等式求解解(1)x>0，由基本不等式得f(x)4x2212，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x時，f(x)4x取最小值12.(2)0<x<，32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.當(dāng)且僅當(dāng)2x32x，即x時取“”y的最大值為.(3)x>2，x2>0，x(x2)2226.當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時，x取最小值6.(4)x>0，y>0，1，xy(xy)1010216.當(dāng)且僅當(dāng)且1時等號成立即x4，y12時等號成立當(dāng)x4，y12時，xy有最小值16.求最值問題第一步就是“找”定值，觀察、分析、構(gòu)造定值是問題的突破口.找到定值后還要看“”是否成立，不

7、管題目是否要求寫出符號成立的條件，都要驗證“”是否成立.變式訓(xùn)練2(1)已知lgalgb2，求ab的最小值；(2)已知x>0，y>0，且2x3y6，求xy的最大值解：(1)由lgalgb2可得lgab2，即ab100，且a>0，b>0，因此由基本不等式可得ab2220，當(dāng)且僅當(dāng)ab10時，ab取到最小值20.(2)x>0，y>0,2x3y6，xy(2x·3y)·2·2，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，且2x3y6時等號成立，即x，y1時，xy取到最大值.類型三 基本不等式的實際應(yīng)用例3特殊運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按規(guī)定

8、限制50x100(單位：千米/時)假設(shè)汽油的價格是每升6元，而送貨卡車每小時耗油升，司機的工資是每小時140元(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達(dá)式(2)當(dāng)x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值解(1)設(shè)所用時間為t(小時)，y×6×140×，x50,100所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達(dá)式是y，x50,100(2)y，當(dāng)且僅當(dāng)，即x450,100時，等號成立故當(dāng)x4千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為元解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按

9、如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)正確寫出答案. 變式訓(xùn)練3要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是160(單位：元)解析：設(shè)該長方體容器的長為x m，則寬為 m又設(shè)該容器的總造價為y元，則y20×42×10，即y8020(x>0)因為x24，所以ymin8020×4160(元)1給出下列條

10、件：ab>0；ab<0；a>0，b>0；a<0，b<0，其中能使2成立的條件有(c)a1個 b2個c3個 d4個解析：當(dāng)，均為正數(shù)時，2，故只須a、b同號即可所以、均可以2若a，br，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(d)aa2b2>2ab bab2c> d2解析：a，br，且ab>0，>0，>0，22.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時取等號3設(shè)a，b為實數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值為(b)a6 b4c2 d8解析：2a2b224.4已知0<x<1，則當(dāng)x時，x(33x)取最大值為.解析：3x(1x)3()2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x即x時等號成立5已知a>0，b>0，c>0，求證：(1)6；(2)··8.證明：(1)()()()2226(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”)(2)····8(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”)本課須掌握的兩大問題1基本不等式成立的條件：a>0且b>0；其中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，即若ab時，則，即只能有<.2利用基本不等式求最值，必須