2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：專題　數(shù)列求和 Word版含解析

1、專題數(shù)列求和目標(biāo) 1.記住數(shù)列求和的幾種常用方法；2.會用數(shù)列求和的幾種常用方法解答一些數(shù)列求和問題重點 數(shù)列求和的方法及應(yīng)用難點 對數(shù)列求和方法的理解知識點數(shù)列的求和方法 填一填1公式法(分組求和法)如果一個數(shù)列的每一項是由幾個獨立的項組合而成，并且各獨立項也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和可考慮拆項后利用公式求解2裂項相消求和法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項法”，分式的求和多利用此法可用待定系數(shù)法對通項公式進行拆項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項，常見的拆項公式有：·()；若an為等差數(shù)列，公差為d，則()；等3錯位相減法若

2、數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前n項的和時，常常采用將anbn的各項乘以公比q，然后錯位一項與anbn的同次項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法4倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加求和法類型一分組求和法求和例1已知數(shù)列an的前n項和sn，nn*.(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項和解(1)當(dāng)n1時，a1s11；當(dāng)n2時，

3、ansnsn1n.an1也適合ann.綜上可知數(shù)列an的通項公式為ann.(2)由(1)知bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項和為t2n，則t2n(212222n)(12342n)記a212222n，b12342n，則a22n12，b(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項和t2nab22n1n2.如果一個數(shù)列的通項公式可寫成cnan±bn的形式，而數(shù)列an，bn是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可采用分組求和法.變式訓(xùn)練1求數(shù)列1，3，5，的前n項和解：sn135(1352n1)n21.類型二裂項相消法求和例2sn為數(shù)列an的前n項和已知an>

4、;0，a2an4sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和分析(1)利用已知的關(guān)系式構(gòu)造一個新的等式，兩式相減消去sn，轉(zhuǎn)化為an與an1之間的遞推關(guān)系求解(2)將(1)中得到的通項代入求出bn的通項，再利用裂項相消法求和解(1)由a2an4sn3，可知a2an14sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn，則tnb1b2b

5、n.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合使之能消去一些項，最終達到求和的目的.利用裂項法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項，考察是否能分解成兩項的差，這兩項一定要是同一數(shù)列相鄰(相間)的兩項，即這兩項的結(jié)論應(yīng)一致.變式訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項和為sn.(1)求an及sn；(2)令bn(nn*)，求數(shù)列bn的前n項和tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由于a37，a5a726，a12d7,2a110d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，sn，an2n1，snn(n2)(2)an2n1，a14n(n1)，因此bn.故tnb1

6、b2bn.數(shù)列bn的前n項和tn.類型三錯位相減法求和例3已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為sn.已知s2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項和tn.解(1)設(shè)an的公比為q，由題意知：a1(1q)6，aqa1q2，又an>0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知：s2n1(2n1)bn1，又s2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn.因此tnc1c2cn，又tn，兩式相減得tn，所以tn5.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an·bn的

7、前n項和時，可采用錯位相減法.,在寫出“sn”與“qsn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達式.變式訓(xùn)練3在數(shù)列an中，a11，點(an，an1)在直線xy20上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)已知tn，求tn.解：(1)由條件知anan120，an1an2.數(shù)列an是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列an12(n1)2n1.(2)tn，tn.由得tn，tn3.類型四倒序相加法求和例4已知定義在r上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(1 008,2)數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足anf(n)，nn*.求s2 015.解由條件得f(2×1 008

8、x)f(x)2×2，即f(2 016x)f(x)4.于是有a2 016nan4(nn*)又s2 015a1a2a3a2 014a2 015，s2 015a2 015a2 014a2a1.兩式相加得2s2 015(a1a2 015)(a2a2 014)(a2 014a2)(a2 015a1)2 015(a1a2 015)2 015×4.故s2 0152 015×24 030.如果一個數(shù)列的前n項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項和變式訓(xùn)練4設(shè)f(x)，求f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值解：f(x)，f(1x)，f(

9、x)f(1x)，f(x)f(1x)正好是一個定值設(shè)所求式子的和為s，則2s×12，s3.類型五并項法求和例5已知數(shù)列an滿足a12，anan12n3，求數(shù)列an的前n項和sn.分析本題如果由遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項，再求前n項和，則過程較繁由遞推關(guān)系式的特點，可考慮相鄰兩項并項求和，此時需對n的奇偶性作分類討論解當(dāng)n為偶數(shù)時，sn(a1a2)(a3a4)(an1an)(2×13)(2×33)2(n1)3213(n1)3×.當(dāng)n為奇數(shù)時，sna1(a2a3)(a4a5)(an1an)2(2×23)(2×43)2(n1)32224(n1)3×.故數(shù)列an的前n項和為sn在數(shù)列中有相鄰兩項或幾項的和是同一個常數(shù)或有規(guī)律可循時