專題01因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題(原卷版)

1、備戰(zhàn)2020中考數(shù)學(xué)之解密壓軸解答題命題規(guī)律專題01因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題【類型綜述】數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解答，一般要將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程（組）、函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，動(dòng)點(diǎn)形成的等腰三角形問(wèn)題是常見的一類題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類討論思

2、想和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行準(zhǔn)確的分類【方法揭秘】我們先回顧兩個(gè)畫圖問(wèn)題：1 .已知線段AB=5厘米，以線段 AB為腰的等腰三角形 ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn) C的軌跡是什么？2 .已知線段AB=6厘米，以線段 AB為底邊的等腰三角形 ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn) C的軌跡是什么？已知腰長(zhǎng)畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C.已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外.在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，一般都要先分類.如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA=BC,CA=CB三種情況.解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解

3、題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算.哪些題目適合用幾何法呢？如果 ABC的/ A （的余弦值）是確定的，夾/ A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來(lái)，那么就用幾何法.如圖1,如果AB=AC,直接列方程；如圖 2,如果BA=BC,那么- AC AB cos A；如圖3,如 21果 CA=CB,那么AB AC cos A . 2代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn).如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來(lái)，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長(zhǎng)（的平方）就可以羅列出來(lái).B圖18圖2圖3【典例分析】【例1】拋物線y2 2xbx c與x軸父

4、于A(-1,0) , B 5,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸9CD上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與C,D重合).過(guò)點(diǎn)C作直線pb的垂線交PB于點(diǎn)E ,交x1求拋物線的解析式;2當(dāng)VPCF的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);3當(dāng)4PCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).0【例(2)(3)備用圖2】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸.求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo);在直線l上是否存在點(diǎn) M ,使 MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn) M的

5、坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1【例3】如圖1,點(diǎn)A在x軸上，OA = 4,將線段OA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0 ,2),動(dòng)點(diǎn)p在y 43x的圖像上運(yùn)動(dòng)(不與 O重合)，連 3接AP ,過(guò)點(diǎn)P作PQ AP ,交x軸于點(diǎn)Q ,連接AQ .(1)求線段AP長(zhǎng)度的取值范圍；(2)試問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，QAP是否問(wèn)定值？如果是，求出該值；如果不是，

6、請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)當(dāng)OPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo).【例5】如圖1,在矩形ABCD中，AB 8, AD 10, E是CD邊上一點(diǎn)，連接 AE ,將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G .圖1圖2(1)求線段CE的長(zhǎng)；(2)如圖2, M , N分別是線段 AG, DG上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且 DMN DAM，設(shè)AM x, DN y .寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值；是否存在這樣的點(diǎn) M ,使VDMN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出 x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例6】如圖1,已知Rt ABC中，/C=90°, AC=8

7、, BC = 6,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從 A向C運(yùn) 動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從 A - B - C方向運(yùn)動(dòng)，它們到 C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P、Q運(yùn)動(dòng)的 時(shí)間為t秒.(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求 P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；(2)經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，求 ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；(3) P, Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t,使得 PQC為等腰三角形.若存在，求出此時(shí)的 t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.( J5 2.24,結(jié)果保留一位小數(shù))【變式訓(xùn)練】1 .矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知B(2n/3, 2),點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，P是對(duì)角線OB上

8、一動(dòng)點(diǎn)(不與原點(diǎn)重合)，連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PD PC ,交x軸于點(diǎn)D.下列結(jié)論： OA BC 2J3;當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)處時(shí)，PC2 PD2 7;在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CDP是一個(gè) 定值；當(dāng) ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為 23,0 .其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（3A.1個(gè)B. 2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .如圖，在正方形 ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)，且AB=4, EF = 2,設(shè)AE= x.當(dāng)VPEF是等腰三角形時(shí)，下列關(guān)于P點(diǎn)個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，一定正確的是（）當(dāng) "0 （即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，P點(diǎn)有6個(gè)當(dāng)0< x<4，2 2時(shí)，P點(diǎn)最多

9、有9個(gè)當(dāng)P點(diǎn)有8個(gè)時(shí)，x= 2后-2當(dāng)VPEF是等邊三角形時(shí)， P點(diǎn)有4個(gè)A.B.C.D. 3 .如圖，在矩形 ABCD中，AD 3AB 3，10 ,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CEN在線段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角與DEC相等，則MN4 .如圖，平面直角坐標(biāo)系中， 矩形ABOC的邊BO,CO分別在x軸，y軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,6），點(diǎn)p在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，滿足 PBEs CBO ,當(dāng) APC是等腰三角形時(shí)， P點(diǎn)坐標(biāo)為5 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A （0, 3）,點(diǎn)B （5, 0）,有一動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上， APO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)

10、P共有（）6.如圖，點(diǎn) A、B、P在。上，且/APB=50°。若點(diǎn)M是。上的動(dòng)點(diǎn)，要使 AABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)7.如圖，AB是。的直徑，BC是弦，AB 10cm,BC 6cm.若點(diǎn)P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)VPBC是等腰三角形時(shí)，AP時(shí),8 .如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線ON上運(yùn)動(dòng)），/AON =30 °,當(dāng)/ A= AOP為等腰三角形.9 .如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)E在邊AB上，AE=3 ,點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn) B、C重合的一個(gè)DB的長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)，把4EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落

11、在B'處，若4CDB恰為等腰三角形，則10 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 OAB提矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5, 4),點(diǎn)P為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) POW等腰三角形時(shí)，點(diǎn) p坐標(biāo)為.忖Ci上|月0 A11 .在RtABC中，/ ACB=90 , AC=12點(diǎn)D在直線CB上，以CA CD為邊作矩形 ACDE直線AB與直線CE, DE的交點(diǎn)分別為F, G.(1)如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形 ACD比正方形.若點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).若DG=GF求BC的長(zhǎng).(2)已知BC=9是否存在點(diǎn) D,使彳# DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.12

12、.在9BC中，AB=BC，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn)P不與點(diǎn)A, O, C重合).過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn) E和點(diǎn)F,連接OE, OF .(1)如圖1,請(qǐng)直接寫出線段 OE與OF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,當(dāng)/ ABC=90時(shí)，請(qǐng)判斷線段 OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由(3)若|CF - AE|=2 , EF=2 J3 ,當(dāng)APOF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng).3 213 .如圖1,拋物線y x平移后過(guò)點(diǎn)A (8, ,0)和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為 B,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C,與 16原拋物線相交于點(diǎn) D.(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出

13、陰影部分的面積與影；(2)如圖2,直線AB與y軸相交于點(diǎn) 巳點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，PMN為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N,設(shè)OM t ,試探求：t為何值時(shí) MAN為等腰三角形；為何值時(shí)線段PN的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度是多少.V*J彳14 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx - 2與x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn) C (0, - 2) , OB=4OA , tan / BCO=2 .(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M、N分別是線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒 當(dāng)個(gè)單位的速度向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)，同 時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的

14、速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M、N中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn) 動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MPx軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)M、點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s),當(dāng)t為多少時(shí)，APNE 是等腰三角形？15 .拋物線y= - -x2- 2，3x+J6與x軸交于點(diǎn)A, B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D 63是該拋物線的頂點(diǎn).(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長(zhǎng)；(2)如圖2,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)， PFx軸于點(diǎn)F, PF與線段AC交于點(diǎn)E;將線段OB沿x軸左右平移，線段 OB的對(duì)應(yīng)線段是OiBi,當(dāng)PE+2EC的值最大時(shí)，求四邊形 POiBiC周長(zhǎng)的最小2值，并求出又®的點(diǎn) Oi

15、的坐標(biāo)；(3)如圖3,點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn)，連接CH ,將 OBC沿直線CH翻折至 O2B2c的位置，再將 O2B2c繞點(diǎn)B2旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)。2, C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) 03, Ci,直線O3Ci分別與直線AC, x軸交于點(diǎn)M, N.那么，在4 02B2c的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?，?AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的線段02M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2S33316 .如圖：一次函數(shù) y x 3的圖象與坐標(biāo)軸交于 A B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)y -x 3 (0vxv4)圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PML y軸于點(diǎn)M,連接0P.(i)當(dāng)AP為何

16、值時(shí)，OPM勺面積最大？并求出最大值;(2)當(dāng)ABOP為等腰三角形時(shí)，試確定點(diǎn) P的坐標(biāo).17.已知拋物線 F: y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O,且與x軸另一交點(diǎn)為(1)求拋物線F的解析式;(2)如圖1,直線l： y x+m (m>0)與拋物線F相交于點(diǎn)A (xi, yi)和點(diǎn)B (x二象限)，求y2-yi的值(用含 m的式子表示)；(3)在(2)中，若m 4,設(shè)點(diǎn)A,是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，如圖2. 3判斷AAA'B的形狀，并說(shuō)明理由；平面內(nèi)是否存在點(diǎn) P,使得以點(diǎn)A、B、A'、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn) 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18 .已知一次函數(shù)y

17、 kx b的圖象與反比例函數(shù) y m的圖象交于點(diǎn) A,與x軸交于點(diǎn) x,y2)(點(diǎn)A在第P的坐標(biāo)；若不B(5,0),若OB AB ,且 S oab15(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，ABP是等腰三角形，求點(diǎn) P的坐標(biāo).19 .如圖，拋物線與 x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C 0, 2 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,0 , P為拋物線上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PD x軸于點(diǎn)D ,交直線BC于點(diǎn)E ,拋物線的對(duì)稱軸是直線 x 1 .(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；1 .(2)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且 PE -OD ,求 PBE的面積.4(3)在(2)的條件下，若 M為直線BC上一

18、點(diǎn)，在x軸的下方，是否存在點(diǎn) M ,使 BDM是以BD為 腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20 . AB與。相切于點(diǎn) A，直線l與。相離，OB l于點(diǎn)B,且OB 5, OB與。交于點(diǎn)P, AP 的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C .(1)求證：AB BC ;(2)若。O的半徑為3,求線段AP的長(zhǎng)；(3)若在。O上存在點(diǎn)G,使 GBC是以BC為底邊的等腰三角形，求。 O的半徑r的取值范圍.21 .已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線li分別交x軸和y軸于點(diǎn)A 3,0 ,B 0,3 .如圖1,已知e P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O ,且與直線li相切于點(diǎn)B ,求e P的直徑長(zhǎng)；(2)如圖2,已知直線12 ： y 3x 3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為 圓心，2J2為半徑畫圓.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線li與eQ相切；設(shè)e Q與直線li相交于M ,N兩點(diǎn)，連結(jié)QM ,QN .