2018年上海市高考數(shù)學(xué)試卷

1、2018年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，才f分54分，第16題每題4分，第712題每 題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1. . （4.00分）行列式J： 3的值為.2. （4.00分）雙曲線y2=1的漸近線方程為 .3. （4.00分）在（1+x） 7的二項展開式中，x2項的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值 表?。?4. （4.00分）設(shè)常數(shù)aC R,函數(shù)f （x） =1og2 （x+a）.若f （x）的反函數(shù)的圖象 經(jīng)過點（3, 1）,則a=.5. （4.00分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i） z=1-7i （i是虛數(shù)單位），則|z|=.6. （4.00分）記等差數(shù)列an的前n

2、項和為Si,若a3=0, a6+a7=14,貝U S7=.7. （5.00分）已知長 -2, 1,一工，工，1, 2, 3,若幕函數(shù)f （x） =x”為奇函數(shù)，且在（0, +）上遞減，則a =.8. （5.00分）在平面直角坐標系中，已知點 A （T, 0）、B （2, 0）, E、F是y 軸上的兩個動點，且|而|=2,則麗的最小值為.9. （5.00分）有編號互不相同的五個整碼，其中 5克、3克、1克整碼各一個，2克整碼兩個，從中隨機選取三個，則這三個整碼的總質(zhì)量為9克的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.10. （5.00分）設(shè)等比數(shù)列an的通項公式為an=qn 1 （nCN*）,前n項和為Sn

3、.若一S.皿Hm卷則 q=.11. （5.00分）已知常數(shù)a0,函數(shù)f （x）=； 的圖象經(jīng)過點P （P, ” Q （q, 1局）.若 2p+q=36pq,貝U a=12. （5.00分）已知實數(shù) x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1, x22+y22=1, x1x2+y1y2= ,I 町+九71 +1 町+y2TI的最大值為二、選擇題（本大題共有4題，才f分20分，每題5分）每題有且只有一個正確 選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑 .2213. （5.00分）設(shè)P是橢圓心=1上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距 53離之和為（）A. 2 二 B. 2 :；

4、C. 2 n D. 4, -：14. （5.00分）已知 aC R,則 “41是1”的（A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件15. （5.00分）九章算術(shù)中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（第2頁（共20頁）A. 4B, 8C, 12 D. 1616. （5.00分）設(shè)D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，f （x）是定義在D上的函數(shù)，若ff (1)的（x）的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 二后與原圖象重合，則在以下各項中, 6可能取值只能是（三、解答

5、題（本大題共有5題，才f分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng) 位置寫出必要的步驟.17. （14.00分）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2.(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；(2)設(shè)PO=4, OA、OB是底面半徑，且/AOB=90 , M為線段AB的中點，如圖.求 異面直線PM與OB所成的角的大小.A18. (14.00分)設(shè)常數(shù) aC R,函數(shù) f (x) =asin2x+2cos2x.(1)若f (x)為偶函數(shù)，求a的值；(2)若f (三)=73+1,求方程f (x) =1-正在區(qū)間-陽句上的解. 419. (14.00分)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員

6、從居住地到工 作地的平均用時.某地上班族 S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示： 當S中x% (0x100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為f30, 0x2.在平面直角坐標系xOy中，已知點F (2, 0),直 線l: x=t,曲線E y2=8x (0x 0). l與x軸交于點A、與 放于點B. P、 Q分別是曲線F與線段AB上的動點.(1)用t表示點B到點F的距離；(2)設(shè)t=3, |FQ=2,線段OQ的中點在直線FP上，求4AQP的面積；(3)設(shè)t=8,是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ使得點E在r?若存在， 求點P的坐標；若不存在，說明理由.21. (18.00分)給定

7、無窮數(shù)列an,若無窮數(shù)列bn滿足：對任意nCN*,者B有 | bn-an| 1,則稱bn與an接近”.(1)設(shè)an是首項為1,公比為9的等比數(shù)列，bn=an+i+1, nC N*,判斷數(shù)列bn 是否與an接近，并說明理由；(2)設(shè)數(shù)列an的前四項為：a1=1, a2=2, a3=4, a4=8, bn是一個與an接近 的數(shù)列，記集合 M=x|x=bi, i=1, 2, 3, 4,求M中元素的個數(shù) m；(3)已知an是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列bn滿足：bn與an接近， 且在b2-b1，b3- b2,，b201 - b200中至少有100個為正數(shù)，求d的取值范圍.第4頁(共20頁)第6頁(共

8、20頁)2018年上海市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，才f分54分，第16題每題4分，第712題每 題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1. （4.00分）行列式41的值為 18 .2 5【分析】直接利用行列式的定義，計算求解即可.【解答】解：行列式生1=4X 5-2X1=18.2 5故答案為：18.【點評】本題考查行列式的定義，運算法則的應(yīng)用，是基本知識的考查.2. （4.00分）雙曲線、-y2=1的漸近線方程為土小工.【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標軸,再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程.2 G【解答】解：.,雙曲線亍y肛I的

9、a=2, b=1,焦點在x軸上2 2,而雙曲線三；二的漸近線方程為y=-z a2 /厘.雙曲線手產(chǎn)二1的漸近線方程為y=土方工故答案為：y= 【點評】本題考察了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸 近線方程，解題時要注意先定位，再定量的解題思想3. （4.00分）在（1+x） 7的二項展開式中，x2項的系數(shù)為 21 （結(jié)果用數(shù)值表示）.【分析】利用二項式展開式的通項公式求得展開式中 x2的系數(shù).【解答】解：二項式(1+x) 7展開式的通項公式為Tr+1=C；?令r=2,得展開式中x2的系數(shù)為若二21.故答案為：21.【點評】本題考查了二項展開式的通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.4

10、. (4.00分)設(shè)常數(shù)aC R,函數(shù)f (x) =1og2 (x+a).若f (x)的反函數(shù)的圖象 經(jīng)過點(3, 1),則a=7 .【分析】由反函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)f (x) =1og2 (x+a)的圖象經(jīng)過點(1, 3),由 此能求出a.【解答】解：二,常數(shù)aCR,函數(shù)f (x) =1og2 (x+a).f (x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3, 1),函數(shù)f (x) =1og2 (x+a)的圖象經(jīng)過點(1,3),log2 (1+a) =3,解得a=7.故答案為：7.【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能 力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.5. (4.00分)已知復(fù)數(shù)

11、z滿足(1+i) z=1-7i (i是虛數(shù)單位)，則| z|=5 .【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案.【解答】解：由(1+i) z=1-7i,貝z| 力故答案為：5.【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算， 考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.6. (4.00分)記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=0, ae+a7=14,貝U S= 14 . 【分析】利用等差數(shù)列通項公式列出方程組， 求出ai=-4, d=2,由此能求出S7. 【解答】解：二.等差數(shù)列an的前n項和為Sn, a3=0, a6+a7=14,If 32#。I.I,a1+5d+

12、&+6dG4 L 11解得 ai=-4, d=2,a=7ai+ F-28+42=14. 2 Q故答案為：14.【點評】本題考查等差數(shù)列的前7項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識， 考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.7. (5.00 分)已知 長 -2, -1,-冬 y, 1, 2, 3,若幕函數(shù) f (x) =x” 為 奇函數(shù)，且在(0, +00)上遞減，則a = - 1.【分析】由幕函數(shù)f (x) =x為奇函數(shù)，且在(0, +OO)上遞減，得到a是奇數(shù)， 且a0,由此能求出a的值.【解答】解：正 2, 1,同巳1, 2, 3,幕函數(shù)f (x) =x”為奇函數(shù)，且在(0, +

13、oo)上遞減，；a是奇數(shù)，且a0,故：a=6.故答案為：6【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，代數(shù)式的變換問題的應(yīng)用.12. (5.00分)已知實數(shù) xi、儂、yi、y2滿足：xi2+yi2=1, X22+y22=1, xix2+yiy2I 工+ /1-11 +1工2T IV2第13頁（共20頁）【分析】設(shè) A(xi,yi), B(X2,y2), 0A= (xi,yi), 0E=(X2,y2),由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=i,I x!4y, -11 | 籃04y-11口一L+_L-p一L的幾何意義為點a, B兩點到直線x+y-i=0的距

14、離di V2 VZ與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.【解答】解：設(shè) A (xi, yi), B (x2, y2),0A= (xi, yi), 0B= (x2,平),由 xi2+yi2=i, x22+y22=i, xix2+yiy2=-,可得A, B兩點在圓x2+y2=i上，且位?而=i義i義cos/ AOB;，即有 / AOB=60,即三角形OAB為等邊三角形，AB=i,I町+ VT I I工/92T I+的幾何意義為點A,B兩點至U直線x+y i=0的距離di與d2之和,顯然A, B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=i平行,可設(shè) AB: x+y+t=0, (t0),由圓心O到直

15、線AB的距離的最大值為心必,故答案為：+1+43.以及圓的方程和運用，考查點【點評】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和定義, 與圓的位置關(guān)系，運用點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.二、選擇題（本大題共有4題，才f分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.2213. （5.00分）設(shè)P是橢圓好+=1上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距53離之和為（）A. 2 二 B. 2C. 2 H D. 4,：【分析】判斷橢圓長軸（焦點坐標）所在的軸，求出 a,接利用橢圓的定義，轉(zhuǎn) 化求解即可.a=/S,22【解答】解：橢圓4=1的焦點坐標在x軸,

16、 5322P是橢圓展4廠=1上的動點，由橢圓的定義可知：則 P到該橢圓的兩個焦點的 53距離之和為2a=2/1故選：C.【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用， 橢圓的定義的應(yīng)用，是基本知識的考查.14. （5.00分）已知a R,則“41是十1”的（A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【分析】“A1？工Ml”？ A1或a0，由此能求出結(jié)果.aa【解答】解：aCR,則“A1”？生1， a1? A 1 或 a0， a “A 1”是上1”的充分非必要條件. a故選：A.【點評】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識, 考查運算求解能力，考查函

17、數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.15. （5.00分）九章算術(shù)中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、 以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（A. 4B, 8C, 12 D. 16【分析】根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案.【解答】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則 D1 - A1ABB , D1-A1AFF滿足題意，而G, B, C, D, E,和 D1一樣，有 2X6=12,當A1ACC為底面矩形，有2個滿足題意, 當A1AEE為底面矩形，有2個滿足題意, 故有 12+2+2=16故選：D.Di【點評】本題考查了新定

18、義，以及排除組合的問題，考查了棱柱的特征，屬于中 檔題.16. (5.00分)設(shè)D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，f (x)是定義在D上的函數(shù)，若f(x)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 工后與原圖象重合，則在以下各項中，f (1)的 6可能取值只能是()A.BC. 一 D. 0【分析】直接利用定義函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時 針旋轉(zhuǎn)看個單位后與下一個點會重合.我們可以通過代入和賦值的方法當f (1) =/3,返，0時，此時得到的圓心角為30,然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)36的定義就是要求一個x只能對應(yīng)一個y,因此只有

19、當,此時旋轉(zhuǎn)三，此時&滿足一個x只會對應(yīng)一個y,因此答案就選：B.故選：B.【點評】本題考查的知識要點：定義性函數(shù)的應(yīng)用.三、解答題(本大題共有5題，才f分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng) 位置寫出必要的步驟.17. (14.00分)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2.(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；(2)設(shè)PO=4, OA、OB是底面半徑，且/AOB=90 , M為線段AB的中點，如圖.求第19頁(共20頁)異面直線PM與OB所成的角的大小.【分析】(1)由圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2,圓錐的母線長為4 能求出圓錐的體積.(2)以。為原點，OA為x軸，OB為y

20、軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系， 利用向量法能求出異面直線 PM與OB所成的角.【解答】解：(1)二.圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2,圓錐的母線長 為4,圓錐的體積V=-二；J -_ 廠：:一=L3(2) .PO=4, OA, OB是底面半徑，且/ AOB=90,M為線段AB的中點，.以。為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0),M (1,1,0),。(0, 0, 0),同二(1, 1, -4), oE= (0, 2, 0),設(shè)異面直線PM與OB所成的角為9, 則 cos 00 =ar

21、ccos.6異面直線PM與OB所成的角的為arccos6【點評】本題考查圓錐的體積的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法， 考 查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查 函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.18. (14.00分)設(shè)常數(shù) aC R,函數(shù) f (x) =asin2x+2cos2x.(1)若f (x)為偶函數(shù)，求a的值；(2)若f 4)二代+1,求方程f (x) =1-&在區(qū)間-陽句上的解.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出，(2)先求出a的值，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【解答】 解：(1) f (x) =asin2x+2cos2

22、x, . f ( - x) =- asin2x+2cos2x, . f (x)為偶函數(shù)， f ( x) =f (x),一 asin2x+2cos2x=asin2x2cos2x,2asin2x=0,a=0;a=v 3,f (x)=.-sin2x+2cos2x= :sin2x+cos2x+1=2sin(2x+y) +1,f (x) =1 -血， .2sin (2x+) +1=1-痣,.sin (2x+-J-) =-WL, 62kZ,2x+= - 2L|+2k 兀，或 2x+=L e2k 九,646 4x=-T+k k, 或 x=lTi+k7t, kCZ,2424x - tt,句，x3兀 或 x17

23、1 或 x= -或 x=一11式24242424【點評】本題考查了三角函數(shù)的化簡和求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.19. (14.00分)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工 作地的平均用時.某地上班族 S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示： 當S中x% (0x100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為fso, Cx40時x的取值范圍即可；(2)分段求出g (x)的解析式，判斷g (x)的單調(diào)性，再說明其實際意義.【解答】解；(1)由題意知，當30x40,即 x2-65x+9000,解得x45,. x (45, 100)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體

24、的人均通勤時間；(2)當 0x030 時,g (x) =30?x%+40 (1 x%) =40-當 30V x 100 時,g (x) = (2x+-90) ?x%+40 (1 - x%)=x+58;當0x 32.5時，g (x)單調(diào)遞減；當32.5x2.在平面直角坐標系xOy中，已知點F (2, 0),直 線l: x=t,曲線E y2=8x (0x 0). l與x軸交于點A、與 放于點B. P、 Q分別是曲線F與線段AB上的動點.(1)用t表示點B到點F的距離；(2)設(shè)t=3, |FQ=2,線段OQ的中點在直線FP上，求4AQP的面積；(3)設(shè)t=8,是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ

25、使得點E在r?若存在， 求點P的坐標；若不存在，說明理由.【分析】(1)方法一：設(shè)B點坐標，根據(jù)兩點之間的距離公式，即可求得|BF ； 方法二：根據(jù)拋物線的定義，即可求得|BF|;(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得 Q點坐標，即可求得OD的中點坐標，即可求得 直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點坐標，即可求得4AQP的面積；(3)設(shè)P及E點坐標，根據(jù)直線kPF?kFc= - 1,求得直線QF的方程，求得Q點坐標，根據(jù)叵5+而二立，求得E點坐標，則(考工)2=8 (弓+6),即可求得P點坐標.【解答】解：（1）方法一：由題意可知：設(shè) B （t, 2/2t）,則網(wǎng)刊“2產(chǎn)刊尸+2, . | BF

26、| =t+2;方法二：由題意可知：設(shè) B (t, 2/2t), 由拋物線的性質(zhì)可知：| BF| =t+/=t+2,. | BF| =t+2;(2) F (2, 0), |FQ=2, t=3,則 |FA|=1 , | AQ| =73,，Q (3,始)，設(shè) OQ 的中點 D,D (士 返)， 22亨。kQF=F=-Vs, M直線 PF方程：y=-Vs (x-2),3x2-20x+12=0,白、尸T5&-2）聯(lián)立，整理得:Iy2-8x解得：x=ES x=6 （舍去），.AQP的面積22v n2(3)存在，設(shè) P (好，y), E(*, m),則 kP=T, kFQ/J,88V_ y-16 的8乙2222直線 QF 方程為 y=16-y (x-2), ；yQ=l (8-2)羋”，q(8呼了), byHy4y4y根據(jù)苗而=麗），貝U E （匚+6,更學(xué) 8 4V2 Iy=-，222=8 (三+6),解得: o存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ使得點E在F上，且P【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題.21. (18.00分)給定無窮數(shù)列an,若無窮數(shù)列bn滿足：對任意nCN*,者B有 | bn-an| 1,則稱bn與an接近”.(1)設(shè)an是首項為1,公