2021屆百校聯(lián)盟高三普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試全國(guó)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2021屆百校聯(lián)盟高三普通高中教育教學(xué)質(zhì)監(jiān)測(cè)考試全國(guó)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1 .若z = 2-i,則H-z卜（）A. 3B. 2C.回D.在【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求才-Z，然后求模即可.【詳解】依題意，z2=（2-/）2=3-4Z,故卜2_ = |3_4，_2 + 4 = |1引| =加.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，根據(jù)已知復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)單題.2 .若集合A = x y = log3（x、3工一18）, 8 = -5,-2,2,5,7,則4n8=（）A. -2,2,5 B. -5,7C. -5,-2,7 D. -5,5,7【答案】B【解析】先求出集合A,即可

2、求出交集.【詳解】依題意，A = x / -3工一180 = X上一3或工6,/. Ac8 = -5,7.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，其中涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和一元二次不等式的解法，屬 于基礎(chǔ)題.3 .我國(guó)古代的宮殿金碧輝煌，設(shè)計(jì)巧奪天工，下圖（1）為北京某宮殿建筑，圖（2） 為該宮殿某一“柱腳”的三視圖，其中小正方形的邊長(zhǎng)為1,則根據(jù)三視圖可知，該“柱 腳”的表面積為（）圖(1)圖A. 9乃+ 9& + 9B18萬+ 18拒+ 9C. 18 + 18>/2 + 18D. 18/T + 9a+18【答案】C【解析】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一

3、個(gè)三棱柱組合而成，求出 其表面積即可.【詳解】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個(gè)三棱柱組合而成，故所求表面積 S = zrx3x3 + zrx32 +6x3 + 3jJx3x2 = 18（乃 + /? + 1）.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體表面積，屬于基礎(chǔ)題.o4 .已知拋物線G： V=6x上的點(diǎn)"到焦點(diǎn)尸的距離為不，若點(diǎn)N在G：A + 2 2+r =1±,則點(diǎn)M到點(diǎn)N距離的最小值為（）A. V26-1 B. 743-1 C. 733-1 D. 2【答案】B【解析】根據(jù)拋物線焦半徑得到X” =3,代入拋物線方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到圓心的

4、距離減去半徑即為答案.【詳解】依題意，|加日=xAI + ； = ¥,故 /, = 3 ,則 yM = ±yJbxM = ±372 ：由對(duì)稱性，不妨設(shè)M（3,3虛），故M到點(diǎn)N距離的最小值為“3 + 2+（31 = 后1.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、幾何性質(zhì)，點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最小的問題.5 .已知兩個(gè)隨機(jī)變量1,）'呈現(xiàn)非線性關(guān)系.為了進(jìn)行線性回歸分析，設(shè) = 21ny,v = （2x-3）2,利用最小二乘法，得到線性回歸方程 =；口 + 2,則（）a.變量 > 的估計(jì)值的最大值為。b.變量）'的估計(jì)值的最小值為。C.變量的估計(jì)值的

5、最大值為/D.變量）'的估計(jì)值的最小值為/【答案】A【解析】根據(jù)題意可得出v = e-/x-3）F,再根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出最 值.【詳解】依題意,2Iny = （2x 3） +2,則Iny = （2x 3） +1, 36則y = e-*7、，故當(dāng)x 時(shí)，變量）'的估計(jì)值的最大值為仁 故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查變量間的相關(guān)關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.（11 AA6 .函數(shù)/（x） = ln2x V的圖象在點(diǎn)- 處的切線方程為（）I z I /535111A.y= 一工一一 B. y = x + 2C. y = -x- D. y = -x44444

6、4【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，求出/J的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】第1頁共6頁/ 1、1i，1 135依題意，/ - =-, /'（不）=一_3/，故切線斜率k=/' - =2- = - t2J8x2J44所求切線方程為）即）=H 故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題./ / 7 .已知函數(shù)/（x） = 3cos（3x+0）（6y>O）,若/|一彳=3, / 三=0,則。的最 小值為（）1 3A. -B. -C. 2D. 32 4【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)解析式及=有1+上：=三，結(jié)合/ /423

7、丁=M得到g=J.”即可求3的最小值.co4【詳解】 / 依題意，f 一彳=3, f 9 =0,即（2"衛(wèi)故土U二=二，解得=3（2k + l）, kEZi4 6y 33 因?yàn)椤?gt;0，故。的最小值為一.4故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角函數(shù)周期性求參數(shù)G的最值，由所過點(diǎn)的坐標(biāo)，可得有關(guān)周期的表 達(dá)式，結(jié)合周期與參數(shù)e的關(guān)系求最值.8 . （3x 2（x 2）''的展開式中，/的系數(shù)為（）A.B. 4320C. 480第1頁共6頁D. 3840【答案】B【解析】由于(3x 2(x 2)"=(9/12x + 4)(x 2) 所以(3x 2(x 2的 展開

8、式中x4的系數(shù)等于9乘以(x-2戶展開式中x2的系數(shù)，減去12乘以(x-2)6展開 式中x3的系數(shù)，再加上4乘以(-2)6展開式中x4的系數(shù)即可得答案【詳解】依題意，(3工一2)1.2)6=(9/-12工+4人-2)6, (x 2)6展開式的通項(xiàng)公式為 心=£尸(-2)，故父的系數(shù)為9xCx(-2)4-12xCx(-2)?+4xCx(-2)2= 2160 + 1920+240 = 4320.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9 .已知圓C過點(diǎn)(L3), (0,2), (7,-5),直線/：5y 1 = 0與圓。交于"，N兩點(diǎn)，則附N|=(&g

9、t;A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】先設(shè)圓C： V + y2 + ox+£y +尸=。，根據(jù)題中條件列出方程組，求出圓的方 程：再由弦長(zhǎng)的幾何法，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓 C ： x2 + y2 + Da + Ey + F = 0 ,由圓C過點(diǎn)(1,3), (0,2),(7,-5),10 + £> + 3E + F = 0可得4 + 2石+尸=0,74 + 7D-5E + F = 0解得。=一8, E = 2, F = -8,故圓C： (x 4+(y + l=25；148 + 5-11則圓心(4,-1)到直線/： 2x-5y-=0的距離d = %玄

10、15 G = 4，叫 MN| = 2jr2_”2 =6.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的弦長(zhǎng)，考查求圓的方程，屬于?？碱}型.10.已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)（1,?），其中m> 0 ；12若tan2a = -貝"os（2a + ihtt）=（）612612A. B. C. D.13131313【答案】D3【解析】根據(jù)題意，由二倍角的正切公式，以及三角函數(shù)的定義，求出tana = 7 = 5, 從而可得正弦和余弦值，再由誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，tan2a = dna =,解得tana =一二或tan。=3：532

11、3因?yàn)?>0,由三角函數(shù)的定義，可得，tanc = ? = 7，2. m 312則sina =j=, cosa = i= = j=故 cos(2a +=sin 2a = 2 sinJl + 陽'l + nr12 a cos a =.13故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求三角函數(shù)的值，熟記二倍角公式，三角函數(shù)的定義，以及誘導(dǎo)公式即可, 屬于基礎(chǔ)題型.11.已知三棱錐S A8C中，aSBC為等腰直角三角形，ZBSC = ZABC = 90° f ABAC = 2ZBCA, D, E,f分別為線段A3, BC, AC的中點(diǎn)，則直線SA, SB, AC, 5Z）中，與平面SM所成

12、角為定值的有（）A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條【答案】B【解析】根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理，先證明8C_L平而S£F,得到8S與平而 SEF所成角為/BSE, AC與平面SM 所成的角為NCFE，求出這兩個(gè)角，再由平 而SBC與平而ABC的位置關(guān)系未知，即可判定出結(jié)果.【詳解】作出圖形如圖所示,因?yàn)镋,產(chǎn)分別為線段8C, AC的中點(diǎn)，故EF/AB,則七尸_L8C：而 CS = BS,則跖_(tái)1_8。：又 SECEF = E, SEu 平而 SEP, EF u 平面 SEF ,故 8C_L 平面 SEF,故BS與平面SEF所成角為ZBSE，AC與平面SEF所成的角為ZCFE

13、,因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以N3SE = 45。：因?yàn)?AC = 2NBC4, ZABC = 90°,所以NCFE = NA = 60。：由于平而SBC與平面ABC的位置關(guān)系未知，故必，SO與平面SEE所成的角不為定 值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線面角，根據(jù)線而角的定義求解即可，屬于常考題型.ex ?12.設(shè)函數(shù)/（x） = T lnx + x + 恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（） 工 IX /【答案】c1B. -.4-00 2【解析】/（X）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則X =。恰有兩個(gè)不同的解，求出了' X可確定4, g (x)=(x > 0)iliix I 2

14、x = l是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程二-f = o確定, x + 2導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)，應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,+8 , /7A-)=(A-1)C-/ 1 + 1-4 尸 X r1_(xT)e-(x + 2) (x-1)(a + 2)廠=>X：因?yàn)?(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以r x =。恰有兩個(gè)不同的解，顯然x=i是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程£-，= 0確定，且這個(gè)解不等于Lx + 2ex，/、 (x + l)ev.、令g(x) =(x>o),則g (x) = 7p>。，所以函數(shù)g(x)在0什8 上單調(diào)1 O

15、1Q遞增，從而g(x)>g(o) = 5，且8二一.所以，當(dāng)且”一時(shí)， 2323/(X)=lnx + x +j ；恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)7的取值范圍是故選：c【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題a + 2 > 013.若實(shí)數(shù)x,)'滿足%一”。，則Z = 2x+y的最大值為.x+y-3<09【答案】萬【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】 + 2>0不等式組卜-)，40 所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，%+>-3<0由 z = 2x+y 可得 y

16、= -2x + z ,則z表示直線y = -2x + z在y釉的截距,由圖像可得，當(dāng)直線y = -2x + z過點(diǎn)M時(shí)，在'軸的截距最大，即z有最大值:聯(lián)立x-y = 0x+),-3 = 0故Z皿工9 故答案為：一.2【點(diǎn)睛】本題主要考查求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.14 .已知1泊=5,5|=3,若在B方向上的投影為一3,則忸+ 3可=.【答案】取【解析】根據(jù)題意可求出cos（叫=-|,將悔+ 3q轉(zhuǎn)化為“7+屈%+91可 求解.【詳解】依題意，Z-cos碑=一3,則cos«范）=一（故 2之 + 3坂=）47+127了+9片=/4x52-

17、12x5x3xf-1 +9x32 =屈.故答案為：/73.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的求解，屬于基礎(chǔ)題.15 .已知三棱錐S A6c中，£4_L平面ABC, SA = AB = 4f BC = 6, AC = 2jB, 則三棱錐S - ABC外接球的表面積為.【答案】684【解析】根據(jù)題意三棱錐S-A8C外接球等價(jià)于棱長(zhǎng)為4, 4, 6的長(zhǎng)方體的外接球， 即可求出球半徑，求出表面積.【詳解】依題意，AB2 + BC2=AC2f 故A3J_8C：S4_L平而4BC,，可將三棱錐S ABC置于棱長(zhǎng)為4, 4, 6的長(zhǎng)方體中，可知三棱錐S - ABC外接球的半徑R =4一+6,2故外接球表面枳

18、S = 44店=68萬.故答案為：68笈.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球表而積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2216.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn).雙曲線C：三/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為g, 外，OA = AFf以4為圓心的圓A與）,軸相切，且與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)。， P,記雙曲線。的左頂點(diǎn)為若NPMF = NPFM，則雙曲線C的漸近線方程為/、/2【解析】根據(jù)題意得到圓A： x- +/=,設(shè)點(diǎn)夕在第一象限，聯(lián)立圓的方程I 2； -4與漸近線方程,求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后由/P時(shí)鳥=/刊必求解,第1頁共6頁【詳解】c+）廣= 4依題意，圓A：CX 不妨設(shè)點(diǎn)夕在第一象限，聯(lián)立V2）by = -x在A8W 中，B

19、 = -, AM=AB 故A8M 是等邊三角形，BM=AB = 5, MC = 3. 3故 cos ZMAC =川/+心-叱2AM-AC25 + 49-9_ 132x5x7 "14【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，應(yīng)用兩角和正弦公式及正弦定理求邊，利用余弦定理求邊、角 的余弦值.18.已知數(shù)列4滿足遇=2% =4,且，+以=2%,數(shù)列也是公差為1的等 差數(shù)列.（1）證明q-是等比數(shù)列； （2）求使得q +生+%> 2200成立的最小正整數(shù)"的值.【答案】（1）證明見解析：（2） 12.【解析】（1）根據(jù)條件求解出“的通項(xiàng)公式，再根據(jù)4川，勺的關(guān)系并利用定義法證明“-為等比

20、數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求解出,的通項(xiàng)公式，采用分組求和的方法求解出S” =%+&+ ”的結(jié)果，并根據(jù)S”的單調(diào)性求解出滿足條件的的值.【詳解】依題意，4川=2。+2， 當(dāng) =1 時(shí)，。2=2%+4，即4 = 4 + ，故仇=。，則 2 = 0+( _ 1) (_ 1) = _" +1,故 4+1 = 2an - 72 +1,4+I _(" +1) _ 2q _ +1 _( +1) _ 2(an-n)_ n 1 z,an - nan -/?a八一 n而6-l = l,故為一是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可知，4 f = 21,故%= + 2”7

21、,記 + % 4F an = Sn ,故c _Z1 , o , f-)o , oi , o2 , o”t_(1+) , l-2?，_ n +n n，= (l + 2 + + )+ (2 +2 +2 + + z ) =+=+ 2 - 1 ,21- 22因?yàn)镾” =2113 <2200, 512= 4173 >2200,而S”是遞增數(shù)列，故滿足>2200的最小正整數(shù)的值為12.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，其中涉及到定義法證明等比數(shù)列以及與數(shù)列有關(guān) 的不等式問題，難度一般.常見的證明等差或等比數(shù)列的的方法：定義法、中項(xiàng)法.19.已知長(zhǎng)方體ABC。AfiGA中，AB =

22、 BC = 2, 85=3底，點(diǎn)M是線段A4上靠近4的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N在線段4G上.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析：（2）更L【解析】（1）通過證明BM ± B、M和B£ LBM得BM _L平面B£M ,即證明BM1MN；（2）以。為原點(diǎn)，DA, DC,。2所在直線分別為x, y, Z軸建立空間直角坐標(biāo) 系，利用向量法即可求出.【詳解】（1）證明：因?yàn)锳M=JI，AM =20,在長(zhǎng)方體 中，B】M = J4/+A8： =26，BM =>JaM2+AB2 =>/6>故B/2 =BM + BM2 =18,即 8M_L8M；因?yàn)?B&#

23、169; 1 平而 A,ABB, , 8W u平面 A,ABB,故 B£ 1 BM ；又 B£i cBM = B故創(chuàng)/_L平而 B£M；而MVu平面 8£M,極BM IMN.（2）如圖所示，以。為原點(diǎn)，OA, DC,。烏所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4僅,2,3點(diǎn)），加修,0,點(diǎn)），C（0,2,0）, 3（2,2,0）,則可=（2,0,3&）, 西=（0,2,2a）,一 /、 1萬.西=02x + 3>/2z = 0設(shè)平面C8M的法向量” = （x,y,z）,則，則<,瓦=。2尸2岳=0令工=叵,則工=一3, 丁 = 一

24、2,故平而C8M的一個(gè)法向量為 =（一3, - 2,應(yīng)卜由（1）可知，平而G耳M的一個(gè)法向量為麗=（。,一2,夜），因?yàn)槎娼荂 31M-C,為銳二面角，故二而角C B|MG的余弦值為風(fēng).【點(diǎn)睛】本題考查利用線而垂直證明線線垂直，考查向量法求二而角，屬于中檔題.20.疫情過后，為了增加超市的購(gòu)買力，營(yíng)銷人員采取了相應(yīng)的推廣手段，每位顧客消 費(fèi)達(dá)到100元以上可以獲得相應(yīng)的積分，每花費(fèi)100積分可以參與超市的抽獎(jiǎng)游戲，游 戲規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)箱中放有2張獎(jiǎng)券，3張白券，每次任取兩張券，每個(gè)人有放回的抽 取三次，即完成一輪抽獎(jiǎng)游戲；若摸出的結(jié)果是“2張獎(jiǎng)券”三次，則獲得10100積分， 若摸出的結(jié)果是

25、“2張獎(jiǎng)券”一次或兩次，則獲得300積分，若摸出“2張獎(jiǎng)券”的次數(shù)為 零，則獲得0積分；獲得的積分扣除花費(fèi)的10。積分，則為該顧客所得的最終積分；最 終積分若達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)，可以兌換電飯鍋.洗衣機(jī)等生活用品.（1）求一輪抽獎(jiǎng)游戲中，甲摸出“2張獎(jiǎng)券”的次數(shù)為零的概率；（2）記一輪抽獎(jiǎng)游戲中，甲摸出“2張獎(jiǎng)券”的次數(shù)為X ,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望;（3）試用概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，從數(shù)學(xué)期望的角度進(jìn)行分析，多次參與抽獎(jiǎng)游戲后, 甲的最終積分情況.77Q3【答案】（1）-7-：（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：一：（3）多次參與抽獎(jiǎng)活動(dòng) 100010后，可以估計(jì)中的最終積分會(huì)越來越少.【解析】（1

26、）先求出摸出“2張獎(jiǎng)券”的概率，再根據(jù)重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式可計(jì)算；（2）可知X的可能取值為0, 1，2, 3,分別求出概率即可得出分布列，求出數(shù)學(xué)期望:（3）記一輪抽獎(jiǎng)游戲后，甲的最終積分為V，則可得出分布列，求出丫的期望，可得 期望為負(fù)，從而判斷最終積分會(huì)越來越少.【詳解】C2 1（1）每次抽取，摸出“2張獎(jiǎng)券”的概率 = ” = ；C； 10故一輪游戲中，甲摸出“2張獎(jiǎng)券的次數(shù)為零的概率尸（A）729100072910001/ I尸（X=l） = c 一. 1一一 '710 I 10102431000'P（'=2）= C*八.1-12710J 1000P"=

27、3）=用1"Togo（2）依題意，X的可能取值為0, 1，2, 3,故尸（X=0）=P（A）=故x的分布列為:X0123P7291000243100027110001000故改）=34京（3）記一輪抽獎(jiǎng)游戲后，甲的最終積分為y,則y的分布列為Y-10020010000P7292701100010001000故 e（y）= -8.9,-72900 + 54000 + 100001000可知一輪游戲過后，甲的最終積分的期望為負(fù)數(shù)，故多次參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)后，可以估計(jì)中的最終積分會(huì)越來越少.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件概率的求法，考查分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.21 .已知橢圓二十二=1

28、（。>/,>0）的離心率為走，且過點(diǎn).cr b-2I 2 2 J（1）求橢圓。的方程；（2）若過點(diǎn)4-1,0且斜率不為0的直線與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)A 1,0 ,求證：APLAQ.【答案】（1） + x2=l： （2）證明見解析. 2【解析】（1）由離心率及在橢圓上即可求橢圓方程：（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程為x = r ；以及交點(diǎn)尸&,凹），。（孫）3），聯(lián)立方程結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系有；：，利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可證明APLAQ. Io【詳解】（1）依題意，知b2 立=a2 ,解得,131r+r = 12a2 4b2片=2/?2=1故橢圓。的方程為工+/=1.2（2）當(dāng)斜率不為零時(shí)，設(shè)過點(diǎn)（一1,0的直線：x = ty-p 設(shè)P（N，X），。（王，必），,得（9 + 18產(chǎn)）'2一2。-16 = 0且1>0,則<16""一E又因?yàn)?AP =（X LyJ , AQ = （9 1,為），啟福=(斗-1)(”l)+y