2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷解析版

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)參考公式若事件 A, B互斥，則 P(A + B) =P(A)+P(B)若事件A,B相互獨(dú)立，則P(AB) = P(A)P(B)若事件a在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生k次的概率R(k) =Ckpk(1 p)i(k =0,1,2,川,n)臺(tái)體的體積公式其中S1,S2分別表示臺(tái)體的上、下底面積，h表柱體的體積公式V = Sh其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高1錐體的體積公式V = Sh3其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式S = 4二R243球的體積公式V - -：R3其中R表示球的半徑示臺(tái)體

2、的高選擇題部分(共40分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1 .已知全集 U =-1,0,1,2,31,集合 A=0,1,2, B=1,0,1,則 euAriB=()A. 1-1)B. 0,1C. 1-1,2,3)D. i-1,0,1,3)【答案】A【解析】【分析】本題借根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查【詳解】Cu A二 1,3,則 ©AflB =_1【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤2.漸近線方程為x±y =0的雙曲線的離心率是()A.D. 2B. 1C.

3、 .2【答案】C 【解析】【分析】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得a = b = 1,進(jìn)一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為 x±y = 0,所以a=b=1 ,貝Uc = Ja2 +b2 = J2,雙曲線的離心率e=-=42.aa【點(diǎn)睛】理解概念，準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯(cuò)誤 .x -3y 4 _ 03.若實(shí)數(shù)xy滿足約束條件3x-y-4 <0,則z = 3x + 2y的最大值是（）x + y 之 0A. -1B. 1C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的基

4、本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐裕?1,1）,（1,-1）,（2,2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y經(jīng)過平面區(qū)域的點(diǎn)（2, 2時(shí)，z=3x +2y取最大值Zmax = 3 2 2 2 =1 0【點(diǎn)睛】解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯(cuò).4.祖附I是我國(guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.他提出的“哥勢(shì)既同，則積不容易”稱為祖的I原理，利用該原理可以得到柱體體積公式 V柱體=S

5、h,其中S是柱體的底面積，是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體積是（）hA. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【解析】【分析】本題首先根據(jù)三視圖， 還原得到幾何體 一棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)， 計(jì)算幾何體的體積.常規(guī)題目.難度不大， 注重了基礎(chǔ)知識(shí)、視圖用圖能力、基本計(jì)算能力的考查【詳解】由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4,下底為6,高為3,另一個(gè)的上底為2,下底為6,高為3,則該棱柱的體積為121父3 + 上丑父3卜6 = 162.22【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)注

6、重多觀察、細(xì)心算 .5.若a >0,b >0,則 “ a+b M4” 是 “abE4”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取ab值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基石知識(shí)、邏輯推理能力的考查【詳解】當(dāng)a> 0, b> 0時(shí)，a+b至2yb ,則當(dāng)a + b W4時(shí)，有2j0b <a + b <4 ,解得ab三4 ,充分性成立；當(dāng)a=1, b=4時(shí)，滿足ab<4,但此時(shí)a+b =5&

7、gt;4,必要性不成立，綜上所述，“ a + b4”是“ ab< 4” 的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取a,b的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果111 1_6.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)2JD本題通過討論a的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和， 結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論y=r，y=loga.x+ (a>0 且 a#0)的圖象可能是(題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查1【詳解】當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=ax過定點(diǎn)（0,1）且單調(diào)遞減，則函數(shù) y =

8、過定點(diǎn)（0,1）且單調(diào)遞增，函數(shù)ay =loga1 - 1X+ 一過定點(diǎn)（,0）且單調(diào)遞減, 22D選項(xiàng)符合；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=ax過定點(diǎn)（0,1）且單調(diào)遞增，則_1 _1_ 1 函數(shù)y =二7過定點(diǎn)（0,1）且單調(diào)遞減，函數(shù)y =loga . X + 一過定點(diǎn)（一，0）且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上, a22選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論a的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性7 .設(shè)0 <a <1,則隨機(jī)變量X的分布列是:X0a1P£ 33則當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時(shí)（）B. D (X )減小

9、A. D(X)增大C. D （X ）先增大后減小D. D （X ）先減小后增大【解析】【分析】研究方差隨a變化的增大或減小規(guī)律， 常用方法就是將方差用參數(shù) a表示，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為 a的二次函數(shù)，二測(cè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識(shí)、 基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查【詳解】方法1：由分布列得E（X）=內(nèi)增大時(shí),1 a11a11a1211D(X) = ,-0 x+.-a x - + 1-1= - .a +，則當(dāng) a 在(0,1),33. 33, 33926D(X)先減小后增大.、4 c wc/v、匚2、c*a2*1(a+1)22a22a+

10、22 (1 f x 3萬法 2：則 D(X) = E (X ) E(X) = 0 + +- = .a 十一33999八2)4故選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手；二是計(jì)算能力差, 不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式8 .設(shè)三棱錐V -ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為«,直線P的平面ABC所成角為P,二面角P-AC-B的平面角為則（）A.，/B.：:,;二C.一二二，：二二D.二二，”【分析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的

11、計(jì)算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖G為AC中點(diǎn)，V 在底面ABC勺投影為。，則P在底面投影D在線段AOk,過D作DE垂直AE,易得PE /VG，過P作PF AC交VG于F,過D作DH /AC，交BG于H ,則P FEGD HBDu=NBPF,P =NPBD,=NPED,則coots=<c=o空叩aA P,P BPBP BP B PD PD -，入tan¥ = 一 >一=tanP,即y >P,綜上所述，答案為 B.ED BD方法2：由最小角定理p<o（,記v -ab-c

12、的平面角為丫 （顯然7=了）由最大角定理P<y = z故選b.法2：（特殊位置）取 V -ABC為正四面體,P為VA中點(diǎn)，易得cos立=sin -且,sin6632 2,sin =(，故選B.【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡(jiǎn)便解x, X : 09.已知a,b WR,函數(shù)f(x) = " 3 12，若函數(shù)y = f (X) ax b恰有三個(gè)零點(diǎn)，則()x (a 1)x ax, x - 032B. a :T,b 0D. a - 1,b ,二 0A. a -1,b ：0c. a -1,b 0【答案】D本題綜合性較強(qiáng)，注重重要

13、知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的考查.研究函數(shù)方程的方法較為靈活，通常需要結(jié)合函數(shù)的圖象加以分析【詳解】原題可轉(zhuǎn)化為 y = f (x)與y = ax +b ,有三個(gè)交點(diǎn).當(dāng) BC=JiAP時(shí),f (x) =x2 - (a +1)x + a = (x a)(x -1),且 f (0) = 0,(0) = a，則(1)當(dāng)aw1時(shí)，如圖y =f依)與y =ax+b不可能有三個(gè)交點(diǎn)(實(shí)際上有一個(gè))，排除A, B(2)當(dāng)a 1時(shí)，分三種情況，如圖y =f依)與y =ax + b若有三個(gè)交點(diǎn)，則 b<0,答案選D卜面證明：a >-1時(shí),BCxAp 時(shí) F (x) =

14、 f1 312(x) -ax-b = -x -(a +1)x -b ,_ '2一，F(xiàn) (x) = x (a+1)x = x(x (a+1),則1 ,八3 一 一，F(xiàn)(0) > 0 ,F(a+1)<0,才能保證至少有兩個(gè)零點(diǎn)，即0Ab> (a+1),若另一零點(diǎn)在<06【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及a,b兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類 討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底10.設(shè)a,bw R ,數(shù)列a n 中，an =a,a5 =a2+b, b n 則().11_A. 當(dāng)b= ，a10A10b.當(dāng)b= ，a10A1024C.當(dāng)

15、b=-2,a10>10D.當(dāng) b = -4, a1OA10【答案】A【分析】.本題從確定不動(dòng)點(diǎn)出發(fā),本題綜合性較強(qiáng)，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力、分類討論思想的考查通過研究選項(xiàng)得解.【詳解】選項(xiàng)B：不動(dòng)點(diǎn)滿足x2 -x+14r,-4-1=0時(shí)，如圖，若 a = aw | 0, ,2排除如圖，若a為不動(dòng)點(diǎn)選項(xiàng)C：不動(dòng)點(diǎn)滿足二x229=0,不動(dòng)點(diǎn)為ax二1 ,令a = 2,42貝U an = 2<10,174排除選項(xiàng)D：不動(dòng)點(diǎn)滿足171 中an ="±1 <10,排除.22、，r ， ， 1選項(xiàng)A ：證明：當(dāng)b=a時(shí),213a3 ; a2 2 - 4,

16、 a42 117d 二a3十一之一之1,2 16處理一：可依次迭代到a*處理二：當(dāng)n 之4時(shí),2 an 1 = anon 1J17 an+ - 116)17(n 之 4),貝U a0 >1 ()a10161664彳 64 64 631=12 1.J 14 7 10.162162故選A【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會(huì)一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論 可能取值，利用“排除法”求解非選擇題部分（共110分）、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分111復(fù)數(shù)z =(I為虛數(shù)單位)，則|z|=.1 i【答案】-22【解析】【分析】本題先計(jì)算z,

17、而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計(jì)算.容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查|z| =【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題12.已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r .若直線2x y+3 = 0與圓相切于點(diǎn)AJ2,1),則 m =, r .【答案】1). m- 22). r =.1 5【解析】【分析】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線 AC的斜率，進(jìn)一步得到其方程，將(0, m)代入后求得m ,計(jì)算得解.11力解】可知kAcAUf),把(0,m)代入得2此時(shí)r=|AC| = QS【點(diǎn)睛】：解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用

18、圓的幾何性質(zhì).13 .在二項(xiàng)式(J2+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ;系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是 .【答案】 1). 16.22). 5【解析】【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)入手，根據(jù)要求，考察 x的哥指數(shù)，使問題得解.【詳解】(J2+x)9 的通項(xiàng)為 Tf=c9(V2)*xr(r =0,1,2 |9)可得常數(shù)項(xiàng)為工=C0(J2)9 =16/2,因系數(shù)為有理數(shù)，r=1,3,5,7,9,有丁2，1，T6, T8,10共5個(gè)項(xiàng)【點(diǎn)睛】此類問題解法比較明確，首要的是要準(zhǔn)確記憶通項(xiàng)公式，特別是“騫指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)算要 細(xì)心，確

19、保結(jié)果正確14 . VABC中，/ABC =90°, AB =4, BC=3,點(diǎn) D 在線段 AC 上，若 / BDC = 45。則 BD = cos/ABD =.【答案】 1). 12-22). 7-1【解析】.通過引入CD = x,【分析】 本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想 在ABDC、MBD中應(yīng)用正弦定理，建立方程，進(jìn)而得解12、2所以BD二二一5【詳解】在AABD中，正弦定理有： 一AB一 = 一BD一，而AB =4,/ADB =% sin . ADB sin. BAC4AC =JAB2 +BC2 =5， BC 3 AB 4sin

20、 / BAC = = 一 ,cos /BAC =,AC 5AC 5 二 .二. 7,5cos . ABD= cos(/BDC Z BAC) = cos cos Z BAC sin sin/BAC=4410【分析】【點(diǎn)睛】解答解三角形問題，要注意充分利用圖形特征2215 .已知橢圓 二十L=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段 95心，|OF為半徑的圓上，則直線 PF的斜率是【答案】15PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn) 。為圓與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)， 利用三角形中位線定理， 將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示考點(diǎn)圓的方程,求解利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔【詳解】方法1：由題意可知|

21、OF|=|OM |= c= 2,由中位線定理可得 PFi|=2|OM |=4,設(shè)P（x, y）可得（x 2）2+y2 =16,22聯(lián)立方程土 匕=1 95一一 321可解得x = ,x=一（舍），點(diǎn)P在橢圓上且在 X軸的上萬，22_15求得 P 1 -3,15 |1,所以 kpF = 2= JT52 212方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知|OF|=|OM |= c= 2,3由中位線定理可得 PF1 =2| OM |=4 ,即a -exp =4= xp =-下求得Ph3或I,所以kPF=3=J.2 212【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合

22、思想，是解答 解析幾何問題的重要途徑3216.已知ac R ,函數(shù)f (x) =ax -x ,右存在t匚R ,使得| f (t +2) - f (t) |W ，則頭數(shù)a的取大值正 34【答案】amax =3【分析】本題主要考查含參絕對(duì)值不等式、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于能力型考題.從研究f (t+2) f (t) =2a(3t2 +6t+4)2入手，令m =3t2+6t+4w 1,+望)，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.222【詳解】使得f(t+2) f(t)=a(2(t+2)+t(t+2)+t)2=2a(3t+6t+4卜2 ,21.一.一.一使得令m=3t +6t+4w

23、1,"),則原不等式轉(zhuǎn)化為存在m之1, |am 1區(qū)，由折線函數(shù)，如圖3144只需a -1 <-,即a E ,即a的最大值是一 333【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)不等式問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想17 .已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)(i =1,2,3, 4,5,6)取遍± 1時(shí),T T T T T | 及AB + % BC十% CD十九4 DA十% AC+?BD |的最小值是 ；最大值是 【答案】1). 02). 2,5本題主要考查平面向量的應(yīng)用，題目難度較大.從引入“基向量”入手，簡(jiǎn)化模的表現(xiàn)形式，利用轉(zhuǎn)化與化歸 思想將問題逐步簡(jiǎn)化.AB '2-

24、' 4' 5 6 AD【詳解】1AB 2BC 3CD 4DA 5AC BD+ %CD+3云+ 'AC 十九6品'的最小，只需要% -九3 +九5-九6 =兒2 -九4+九5 +>-6 =0,此時(shí)只需要取九1 = 1，尢2 = -1,13 = 1, 3 = 1，九5 = 1，九6 = 1此時(shí)1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD=。 -% + 入廠兒）+（% 兒 +% +及），（l%| + h1+ Pr 兒|）' +（|X:| + |l4| + |k? +X6|）*二（2十心人|+（2十人十兒I） =8+4（h Tj + h +兒11十（九3

25、r J + 0+1彳="4，（囚-|+田+兒+2（X/+V） = 12 + 4M ”+（g廳+ 2信；= 12 + 4 回Y+Y） +平：-41=20等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 九1, -%,為5 -入6均非負(fù)或者均非正，并且 九2,一九4,九5十入6均非負(fù)或者均非正。比如 1 1 =1,'2 =1,'3 =1, ' 4 =一1,5 -1,6 - 1 T h4t 晨 *則九1 AB+2b BC十九3 CD +鼠DA十九5 AC十& BD max =q20 = 2q5 .點(diǎn)睛：對(duì)于此題需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，從“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式

26、的綜合題?！军c(diǎn)睛】對(duì)于平面向量的應(yīng)用問題，需充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18 .設(shè)函數(shù) f（x）=sinx,xw R .（1）已知ew0,2n）,函數(shù)f（x+e）是偶函數(shù)，求e的值；22（2）求函數(shù) y=f（x+） +f（x+）的值域. 124【答案】（1）13冗；1- -,1+1.2 2 |L 22【解析】【分析】1）由函數(shù)的解析式結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定0的值；2）首先整理函數(shù)的解析式為 y =asin（cox +5）+b的形式，然后確定其值域即可 .【詳解】1）由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得： f （x +

27、 日）=sin（x+H ）,函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，x+H =kn+：（kWZ ）,即日=kn +；（k三Z ），結(jié)合日w b,2n ）可取k = 0,1 ,3相應(yīng)的0值為一，一冗.2 22)由函數(shù)的解析式可得:y =sin2 i x 一 ,12. 2.sin ix / J ，冗1 -cos I 2x 21 一 cos 12x .22cos I 2x21二=1 - cos 12x 2 It .61.31=1一一 cos2x - -sin 2x -sin 2x 2 221 但cos2x-3sin2x”2l22 J.3 ,=1 sin I 2x -據(jù)此可得函數(shù)1-旦【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函

28、數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值,三角函數(shù)值域的求解， 三角函數(shù)式的整理變形等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力BC, ZABC=90%19.如圖，已知三棱柱 ABC-ABBAC =30 , A1A 二 AAC,BEF _L BC ;(1)證明:EF與平面AiBC所成角的余弦值.(2)求直線【答案】(1)證明見解析; AAC1C【解析】【分析】1）由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù) 基本關(guān)系可得線面角的余弦值 .【詳解】1）如圖所示，連結(jié) AE,BiE,等邊 AAC 中，

29、AE = EC，則sin B = 0,sin A =2平面ABC，平面Ai ACC i ,且平面ABC n平面AACC = AC ,由面面垂直的性質(zhì)定理可得：AE _L平面ABC,故AEBC ,由三棱柱的性質(zhì)可知 AB" AB,而AB_LBC ,故AB1，BC ,且A1B1DA1E =A ,由線面垂直的判定定理可得：BC，平面AB1E ,結(jié)合EF ?平面ABE ,故EF _L BC .2）在底面ABC內(nèi)作EHXAC,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC, EA1方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系E -xyz.設(shè) EH =1,則 AE = EC = 73 , AA1 =CA = 2

30、73 , BC = V3, AB = 3 ,據(jù)此可得：A（0,-3,0 ） B '3,0 ,A（0,0,3 ）C（0,J3,0 ）,I2 2 J4 T -L，口 - d 上,c 3 3 -o由AB=AB1可得點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為Bi J，23,3卜利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：F '3,373,3 j,由于E(0,0,0 ),4 4 3 3 -故直線EF的方向向量為：EF =13,373,34 4設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z),則:33 . 3m AB = x, y,z 2， ,33-3 = - x +m Be =/3回】x,y,z>-彳,彳,。=I 2 2 J一 3x3=0

31、22據(jù)此可得平面 ABC的一個(gè)法向量為 m=(1,J3,1), EF此時(shí)75x3/5 5'243設(shè)直線EF與平面A BC所成角為日，則sin日=cos( EF,m) = ,cos日=一.55【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理,同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 =4 , a4 = S3,數(shù)列6 滿足：對(duì)每nw N*

32、3; +bn,Sn甲+ 6,642+bn 成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；(2)記 Cn=J曳，nW N* 證明：C1 +C2 + m+Cn <2Vn,n= N". 2bn【答案】(1) an=2(n1), bn =n(n+1 )；(2)證明見解析.【解析】【分析】1)首先求得數(shù)列an的首項(xiàng)和公差確定數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合三項(xiàng)成等比數(shù)列的充分必要條件整理計(jì)算即可確定數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；2)結(jié)合1)的結(jié)果對(duì)數(shù)列g(shù) 的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和的方法即可證得題中的 不等式.a1 2d=4a0【詳解】1)由題意可得：3父2 ，解得：i

33、，a1 3d = 3a1 dd = 22則數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為.其前n項(xiàng)和Sn0+2n-nn2則 n(n-1 廣bn，nn+1)+bn，(n+1J(n+2)+bn成等比數(shù)列,即：1n (n +D + bnf = n(n -1 ) + ,父(n +1 口+2)+,據(jù)此有：n2 (n +1 ) +2n(n +1 >n +b： =n(n -1 * n +1 * n +2 )+(n +1 * n + 2 )bn +n( n -1 )bn +b：,22故bn =n (n 1) -n(n 1)(n 1)(n 2)n 1 n 2 n n -1 -2n n 12)結(jié)合1)中的通項(xiàng)公式可得:= 2(Vn

34、-n -1),an _ n -1. 1 _222bn' n n 1 j % n . n . n , n v n -1則 C C2用 Cn ：二2 彳-02 .2 - 1| 2 .A,不彳) = 2.n.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，裂項(xiàng)求和的方法，數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21.如圖，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2 =2px(p >0),點(diǎn)F為焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A則點(diǎn)，點(diǎn)C在 拋物線上，使得VABC的重心G在X軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F右側(cè).記 AFG,zCQG的 面積為S1, S2.(1)求p的值

35、及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；,S(2)求 一的取小值及此時(shí)點(diǎn) G的坐標(biāo).S2【答案】(1) 1, x = 1； (2) 1+3, G(2,0).【解析】【分析】1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定p的值和準(zhǔn)線方程即可；2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得面積的表達(dá)式，最后結(jié)合均值不等式的結(jié)論，一一即可求得一的取小值和點(diǎn) G的坐標(biāo).S2【詳解】1)由題意可得E=1,則p=2,2p=4,拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x = 1. 22)設(shè)A(xi,y1的咨佻),設(shè)直線AB的方程為y =k(x-1 ),k>0,與拋物線方程y2 = 4x聯(lián)立可得：k2x2(2k2+4)x+k2=0,故：x2+

36、x2 =2+3?2乂2 =1,kVi +y2 =k(x +x2 -2 ) = 4, y1y2 = -(4x?><(74x2 )= 4, k,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(&,y3),由重心坐標(biāo)公式可得：xx2x3xG=-T-yy2y3 _1 43 二 kc 42 +rr +x3 I，yG = k令Vg =0可得：y34 tv2則 x3 ="k44 rT .即 k21o44xG22-23.k2k23.k 二小-、3 二 % -丫3 =4由斜率公式可得：AC-xx3 一, ,一丫1 73,44 4直線AC的萬程為：y - y3 =(x x3 ),y1 y3令y =0可得:-y3

37、y1y3xq = x342y3-y3 y1y3-T-44y1y341 .、1 一18 ) J二- M (xG -xF 產(chǎn) y1 = M | . 2 十一2 J1 M2 F 2 13 Vk2 JJViviA23k213;且& =1M(xQxG ¥(y3 )=-2 卜? 一:h十 J 2243 k4口 0 2y128由于yL-1代入上式可得：為一獲J，44 414yl由 y1十丫2 =一，y1y2 = y可得 y1 _ =；,則 k = 2一7,kV1 kV1 -4則S1S22 3k 32 71 _2_8k k 3 3k22y； y；-2V12 -4 V12 4=2黃-8448y

38、j -816,2 -24- 3=1 2482 .y 8 v2«16yi -8當(dāng)且僅當(dāng)y28=一戛，即y12=8+4j3, y1 = J6 + J2時(shí)等號(hào)成立yi -84 yl此時(shí)k = fyi -4-1 _8=V2 , Xg = 3.2 + 記 J= 2 ,則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 G (2,0 ).【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系，本題主要考查了拋物線準(zhǔn)線方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形重心公式的應(yīng)用，基本不等式求最值的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力22.已知實(shí)數(shù) a 0 0 ,設(shè)函數(shù) f(x)=aln x + Jx +1, x > 0.3(1)當(dāng)2=時(shí)，求函數(shù)f(x)的單倜區(qū)間；4(2)對(duì)任意xw ,+£)均有f (x) < 求a的取值范圍e2a '注：e =2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】(1) f (x )的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,收),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,3)； (2) 0<aw，241)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析