2018年全國(guó)高考II卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2 .作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要 求的。1 4-2i1.l-2i4 3435 434.1A.B.C.D.5 5555 555【答案】D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即得結(jié)果詳解：.上3列上？=±±.選D.1-2155點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運(yùn)算能力2 .已

2、知集合w|J +三3, xZr yZ ,則A中元素的個(gè)數(shù)為A. 9 B. 8 C. 5 D. 4【答案】A【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù)詳解：/弓 3"- Y £ 工E 乙n -1QJ ,當(dāng)k=一】時(shí)，卜一1?！?；當(dāng)時(shí)，¥當(dāng)k-一】時(shí)，卜-一1。】；所以共有9個(gè)，選A.點(diǎn)睛：本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)概念理解與識(shí)別3 .函數(shù)的圖像大致為A. A B.B C. C D. D【答案】B【解析】分析：通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像詳解：X：-Rx）二氏#為奇函數(shù)，舍去 A,v f(x)-(J + e -e x)2x

3、(x-2)ex + (x + 2)e x :=所以舍去C;因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).4 .已知向量，工滿足同 1,意 b - T ,貝g （加b） TA. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果詳解：因?yàn)閍-Q;加 膏二毛如|，-1） 2+1-3.所以選B.點(diǎn)睛：向量加減乘：225.雙曲線:三- （白0）的離心率為 歷，則其漸近線方程

4、為 /b”A. >,左 B.【答案】A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果/* 亨1c卜如 c 門.h詳解：-J-】3 1 2- 二 一 忑.«a- a2&因?yàn)闈u近線方程為v- 土力,所以漸近線方程為V- 士岡,選A.32 22 21點(diǎn)睛：已知雙曲線方程 :匚-HiLbjU：求漸近線方程： :Jgy J乂J b2a: b3ac ,kJC而r八.一6.在 ABC中)cos -15 BC = 1 虱，5)則 AB £ /A.洋B. 叵C. 回D. 女三【答案】A【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再

5、根據(jù)余弦定理求 AB.詳解：因?yàn)?55所以二 Ji2abc0sC=1 ：25-2 1 5 ( )3A-c 邛,選 A.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.1 I 11 17.為計(jì)算”】:十 丁廣 +設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入2 3 4yy kjuB.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此累加量為隔項(xiàng)詳解：由99 100得程序框圖先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入i+ 1選B.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流

6、程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng)8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30了二門|.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是1111A. B. C. D.1241518【答案】C【解析】分析：先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2, 3, 5, 7,

7、11, 13, 17, 19, 23, 29,共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有匚ij=S種方法，因?yàn)?4K * II > 19所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30的有3種方法，故概率為一，選C.45 15點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：（1）列舉法.（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.9.在長(zhǎng)方體|ABCD ARC*中，1|,忑,則異面直線ADj與

8、）瓦所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果 .詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則邛0口0).人(19.0)以11.梅小.),所以Ab1(19/)Qi% = (1,1問(wèn)，AD1 DH . 加所以異面直線IADJIDBJ5點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.10.若ft

9、x) r osK =副心在-a,圖是減函數(shù)，則的最大值是SE713 JLA. R B. - C. D. K4 2H【答案】A【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因?yàn)?RkA ctwx-sinx * 加8S(K 44所以由 0 + 2kzM乂 + -三就 + 2kn,(k W Zj得一 I 或其< x< 一 + 2kx(k E Z)444因此 a,a| c .一卜-;1<"出-3之一昌邑一工,從而的最大值為，選 A.4 444414點(diǎn)睛：函數(shù)y - AsiMdOK + B(A ' 0M 0的性質(zhì)：2jcx3皿-八,氏丫皿

10、-A-B. (2)周期一(3)由電次+ q-+k虱kWZ)求對(duì)稱軸，(4)由0)2一?4"兀0穌上取士工孑二心也毛公求增區(qū)間；£X由 r + 2kM 三 oix + g W 一 + 1kMk E Z 求減區(qū)間. £七11.已知|(XI是定義域?yàn)?-心間的奇函數(shù)，滿足R1冷*】* 若,二，則RI) 4氏2戶氏3)斗斗R50)|A.卜對(duì) B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果詳解：因?yàn)閒(x)|是定義域?yàn)?-也共刈的奇函數(shù)，且-fq * 乂;，所以，因此 KD + f(2) + f(

11、3)+ WO) - 12ftD I 4? + f(4) +KP +，因?yàn)橛亩?f(L),蚓 也)，所以«1)4R分+ f鉞后),7 f二貫-2) 通卜“ 0,從而敢)+ f+ f(3) +阪)二舊):，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函 數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.12.已知忖，層是橢圓C：三十=1儂，-6的左，右焦點(diǎn)，,是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)p在過(guò)且斜率為©的直線hr6上，P'F士為等腰三角形，則匚的離心率為21|A.t B. - C. D.31231k【答案】D【解析】分析：先根據(jù)條件

12、得PE=2c,再利用正弦定理得 a,c關(guān)系，即得離心率詳解：因?yàn)橐瞾?：為等腰三角形，I4FjFiP- 120 ,所以PF2=FiF2=2c,由國(guó)斜率為-得，劃江PAFr一二審肛PAFrL. gSPAT, 二三，6- 6- J13 -年P(guān)l iiinzP.Xl'；由正弦定理得，點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于AFi sin 乙 APF,ab工的方程或不等式，再根據(jù)hb工的關(guān)系消掉b得到2c的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .曲線')成

13、可4 1在點(diǎn)0 0：處的切線方程為【解析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程詳解:品 k - 2 ny 2xXH 1 OU點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn) P的切線”與“在點(diǎn) P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn) P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn) P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn) P為切點(diǎn).又十 2y5 >0,14 .若滿足約束條件 x焉則2的最大值為 x-5 < 0»【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直線，確定目標(biāo)函數(shù)最大值的取法.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線

14、的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得15 .已知 卜式® 1, cos(x 4 strip ( ,則 $in(a - p)-.【答案】【解析】分析：先根據(jù)條件解出sina, 3祁.再根據(jù)兩角和正弦公式化簡(jiǎn)求結(jié)果詳解：因?yàn)?sinm 卜 cosP 1, ccsa + sinp - 0,ll ,、，5.y .1 人 所以(l-Mrm) 4 (-ccrsa) 1, - sma - -cosp .,JbtVmu “，.1121 . 21.11因此 sm(a + 因 simxcosp + cosasmJJ 2 9"0* a su

15、i a I +點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角16.已知圓錐的頂點(diǎn)為 色母線5人，SE所成角的余弦值為7小5A與圓錐底面所成角為 45°,若的面積為可石，則該圓錐的側(cè)面積為 .【答案】【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)母線與底面所成角得

16、底面半徑，最后根據(jù) 圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)槟讣?jí)SA , 5B所成角的余弦值為！，所以母線SA , SB所成角的正弦值為率.因?yàn)?5AB的 C3面積為5m5 ,設(shè)母線長(zhǎng)為I.所以:X乂警=5vl5 A 1? = 80 . /clqr因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為 45° ,所以底面半徑為Icos- = I42J-因此圓錐的側(cè)面積為 . 一點(diǎn)睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

17、共 60分。17 .記*為等差數(shù)列加J的前二項(xiàng)和，已知7,315.（1）求汨J的通項(xiàng)公式；（2）求&并求國(guó)的最小值.【答案】（1） an=2n -9, （2） Sn=n2-8n,最小值為 T6.【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得 第的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=T5.由 a1= 7 得 d=2.所以an的通項(xiàng)公式為 an=2n -9.（2）由（1）得 Sn=n2-8n= （n 2-16.所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小

18、值，最小值為 -16.點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制 條件.18 .下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 b（單位：億元）的折線圖.投資裝42000 2001 2002 3303 2（XM 2005 Z006 2007 2008 2009 2OIO2OH 201220H 2015 201 年份為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 ）與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為|L工.17）建立模型:號(hào)二.30 44由至；根據(jù)2010年至2016 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量

19、的值依次為 L工-7）建立模型：$ = 99+l75t.（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.【答案】（1）利用模型預(yù)測(cè)值為 226.1,利用模型預(yù)測(cè)值為256.5, （2）利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.【解析】分析：（1）兩個(gè)回歸直線方程中無(wú)參數(shù)，所以分別求自變量為2018時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，（2）根據(jù)折線圖知 2000到2009,與2010到2016是兩個(gè)有明顯區(qū)別的直線，且 2010到2016的增幅明顯 高于2000到2009,也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預(yù)測(cè).詳

20、解：（1）利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為三 T0.4+13.5 1 刈=226.1 （億元）.利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為&=99+17.5 9=256.5 （億元）.（2）利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下： 從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y= W0.4+13.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從

21、2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用 2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型d=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于 2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了 2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.點(diǎn)睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測(cè)值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過(guò)點(diǎn)（工工

22、）求參數(shù).19 .設(shè)拋物線c：的焦點(diǎn)為過(guò)且斜率為的直線與C交于4, B兩點(diǎn)，|AB| 7 .（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)|A,舊且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【答案】y=x1氏-3十（y .1或*+【解析】分析：（1）根據(jù)拋物線定義得IADL*卜卜P,再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程詳解：（1）由題意得F （1, 0） , l的方程為y=k （xT） （k>0）.設(shè) A（X1 , y1）, B（X2,y）.iV-kix-

23、l）一 、，由 工1 得=+ 4區(qū)d七01 y qx2kFA 16k + 16 -0,故-%+j ._4k_ + 4所以 |AB| 工 |At| 十 HF| = (x1 + 1)+ 3- =k24k*+ 4r一由題設(shè)知=8,解得k= 1 (舍去)，k=1 .因此l的方程為y=x -1.（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 2）,所以AB的垂直平分線方程為&。二-（X -內(nèi)即y -X + $.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（Xo, yo）,則因此所求圓的方程為（x-3）a4-（y - 2尸 16或211尸 +y+ 6/-144點(diǎn)睛：確定圓的方程方法（1）直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)

24、和半徑，進(jìn)而寫出方程.（2）待定系數(shù)法若已知條件與圓心（孔也和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于也區(qū)】的方程組，從而求出hhr的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于口 E、F的方程組，進(jìn)而求出D E、F的值.20.如圖，在三棱錐 PABC中，|AB- BC-2<5, >A PB - PC * AC T , |。為AC 的中點(diǎn).（i）證明：|ro 1平面Abc|；（2）若點(diǎn)卜在棱上，且二面角|m-PA C為2,求IP與平面PAM所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得 PO垂直AC,再通過(guò)

25、計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量 PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)椋琕。為.C的中點(diǎn)，所以O(shè)P,AC,且QP 2".I- "I殺二I八連結(jié)0日因?yàn)? =,所以| & ABC為等腰直角三角形，且OBMC, 0B-AC-2.由 OP2 + DB1 = PH?知 roiOB.由OP上。氏OP，AC知

26、PO 1平面.BC.（2）如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)， 龍的方向?yàn)镹軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 0.用注.由已知得0（0,0、B（2,0八|。-2,0）,乳0£0）.式0四式3.心 （。22?。?取平面PAC的法向量ob = （2A0） .設(shè)|M®2-a.OX。7三工；，則AM -（亂4 -認(rèn)。設(shè)平面PA5/的法向量為|n-（x.yi）.由心 ”。曲 廠°得符;；雪?0，可取（顧-"正:，l i 2xl（3（a - 4）_ 出所以clMOBf） = f ,- r=由已知得|8式。8_嘲二L.2-4）-+才+J2所以2例0川地（a - 4正 I 3 J d J

27、所以 n =（. 3.又DC - （0.2, - 2a ,所以 cos（PC,n）=.3 334所以|PC與平面PAM：所成角的正弦值為 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo) 系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第 四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21 .已知函數(shù)f（K）-a4（i）若h-【，證明：當(dāng)*才。時(shí)，f（x） I；（2）若欣）在皿4 0c）只有一個(gè)零點(diǎn),求.【答案】（1）見解析（2） c【解析】分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)BX) = (x2 + l)e->t-l 再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)

28、不大于零得函 數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究代x)零點(diǎn).等價(jià)研究Mx) = 1 , ax2e * '的零 點(diǎn),先求h(x)導(dǎo)數(shù)：h'(x) = ax(x - 2)e-x -這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn). 一個(gè)是a與零f 一個(gè)是x與2 ,當(dāng)m玉0時(shí)1 h(x) > 0 一 h(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)s > 0時(shí)，M刈先誠(chéng)后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的 必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：(1)當(dāng)時(shí)，“等價(jià)于人工十1)尸三。設(shè)函數(shù)以對(duì)二(J d 犬""-I ,則 g1(x) - - (F - + 1)c 7 -(X * I

29、)七".當(dāng)X¥ 1時(shí),匝X)M Q,所以gx.|在0 4 5)單調(diào)遞減而虱0) 0,故當(dāng)k1口時(shí)，致K)E0,即兇".(2)設(shè)函數(shù) h(x) 1 -*'K、!在© 上白只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) hM在 ：Q只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)泣士0時(shí)，HXJjO, h(x沒有零點(diǎn)；(H)當(dāng)"、(時(shí)，忌六須;-2叫,當(dāng)x w (0;時(shí)，卜僅r 0；當(dāng)X e Q. *時(shí)，hx) 0所以KX)在(02單調(diào)遞減，在(工4 功單調(diào)遞增.4a>故h(2) T 、是MX故。, + 6的最小值. e'若加？)/0,即Hh(X在04時(shí)沒有零點(diǎn)；4若h2 0,即a

30、=上，h(x在Q j制只有一個(gè)零點(diǎn)； 4若h2”0,即a>上，由于h(0> I,所以|hM在Q2有一個(gè)零點(diǎn)， 4 一，. 一，16a,16a2 16aJ I由(1)知，當(dāng)時(shí)，?>x-,所以可4公I(xiàn) - -I - - I - "I -'0.J 9干(2a)4 H故:-1M在(工嫻有一個(gè)零點(diǎn)，因此|hM在Q +劃有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上，心在9 +只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，”上.點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求

31、解 (二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。 如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 .選彳4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中方中，曲線C的參數(shù)方程為二個(gè)需(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為二:丁籃:(為參數(shù)).(1)求C和的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線卜截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (L2i,求的斜率.【答案】(1)當(dāng)asm/.時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為2-團(tuán)w 當(dāng)其湖x 0時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為X-1 -(2) 1-2【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線 c的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線 的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分8孔于0與能驅(qū)0兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線|C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得&沿區(qū)也第x之間關(guān)系，求得1骯&即得的斜率.詳解：(1)曲線c的直角坐標(biāo)方程為 ±4 16當(dāng)點(diǎn)湖x于0時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為 y Umab x 4 2 - Lan