經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) CH6 差分方程ppt課件

1、2022-1-181 如果時(shí)間被作為離散變量，即變量t僅取整數(shù)值，那么，導(dǎo)數(shù)的概念將不再適用。微分方程被差分方程所取代。 差分方程就是同時(shí)包含了內(nèi)生變量現(xiàn)值和滯后值的等式。2022-1-182一、離散時(shí)間、差分與差分方程一、離散時(shí)間、差分與差分方程v在離散情況下，僅當(dāng)變量在離散情況下，僅當(dāng)變量t t從一個(gè)整數(shù)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)從一個(gè)整數(shù)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)整數(shù)值時(shí)，例如整數(shù)值時(shí)，例如t=1t=1變?yōu)樽優(yōu)閠=2t=2時(shí)，時(shí)，y y的值才會(huì)變化。的值才會(huì)變化。v現(xiàn)在的變化模式用差商現(xiàn)在的變化模式用差商y/y/t t來表示。它是導(dǎo)數(shù)來表示。它是導(dǎo)數(shù)dy/dtdy/dt在離散時(shí)間下的對應(yīng)物。在離散時(shí)間下的對應(yīng)物。v

2、由于時(shí)間變量由于時(shí)間變量t t僅取整數(shù)值，因此在分析相鄰兩個(gè)連僅取整數(shù)值，因此在分析相鄰兩個(gè)連續(xù)時(shí)期的續(xù)時(shí)期的y y的變化時(shí)，的變化時(shí)， t=1t=1，差商，差商y/y/t t可以簡化可以簡化為為y y，稱為，稱為y y的一階差分。的一階差分。v一階差分：一階差分： yt=yt+1-ytyt=yt+1-ytv二階差分：二階差分： v2yt= 2yt= ( ( yt) = yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)(yt+1-yt)2022-1-183v一階差分方程：一階差分方程：yt+1=f(yt)yt+1=f

3、(yt)v例子：一階線性差分方程例子：一階線性差分方程vyt=2yt+1-yt=2yt=2yt+1-yt=2vyt=yt yt+1-yt=yt yt+1=2ytyt=yt yt+1-yt=yt yt+1=2ytv一階線性差分方程一般形式：一階線性差分方程一般形式：vyt+1+ayt=x(t)yt+1+ayt=x(t)v如果如果x(t)=0 x(t)=0，方程是齊次方程：如果數(shù)列，方程是齊次方程：如果數(shù)列ytyt滿滿足方程，則數(shù)列足方程，則數(shù)列kytkyt也滿足方程。也滿足方程。vm m階差分方程：階差分方程：vyt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,yt+m=f(yt+m-1, yt+m-

4、2,，yt)yt)2022-1-184二、一階差分方程的解法二、一階差分方程的解法v解法：解法：v1 1、作圖。、作圖。v2 2、解析解。、解析解。2022-1-1851、圖解法、圖解法v一階差分方程：一階差分方程：yt+1=f(yt)yt+1=f(yt)v第一步：計(jì)算穩(wěn)態(tài)值或均衡值。第一步：計(jì)算穩(wěn)態(tài)值或均衡值。v當(dāng)當(dāng)yt+1=yt=yyt+1=yt=y* *，即，即y y* *=f(y=f(y* *) )時(shí)，離散動(dòng)態(tài)系時(shí)，離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)達(dá)到均衡，統(tǒng)達(dá)到均衡， y y* *是系統(tǒng)的均衡值。是系統(tǒng)的均衡值。v第二步：以第二步：以yt+1yt+1為縱軸，以為縱軸，以ytyt為橫軸，判斷為橫軸，判斷均

5、衡是否是穩(wěn)定的。均衡是否是穩(wěn)定的。2022-1-186v例例1 1：yt+1-0.5yt=1yt+1-0.5yt=1v寫成：寫成：yt+1=0.5yt+1yt+1=0.5yt+1v令令yt+1=yt=yyt+1=yt=y* *，帶，帶入原方程，可以得入原方程，可以得到均衡值：到均衡值：y y* *=2=2。 v例例2 2：yt+1-2yt=-1yt+1-2yt=-1ytyt+1yt+1=0.5yt+122y0y1y1y2穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)變化過程：變化過程：給定一個(gè)初始值給定一個(gè)初始值y0y0，運(yùn)動(dòng)開始。在第，運(yùn)動(dòng)開始。在第1 1期得到期得到y(tǒng)1y1，通過，通過4545線線可以在橫軸上得到可

6、以在橫軸上得到y(tǒng)1y1。由此可以得到第。由此可以得到第2 2時(shí)期的時(shí)期的y2y2。2022-1-187v例例3 3：一階非線性：一階非線性差分方程差分方程vyt+1=2yt-yt2yt+1=2yt-yt2v首先計(jì)算均衡點(diǎn)：首先計(jì)算均衡點(diǎn)：vy=2y-y2y=2y-y2vy y* *=0,y=0,y* *=1=1。v令令yt+1=0,yt+1=0,可以得可以得到在橫軸上的截距：到在橫軸上的截距：0 0和和2 2。ytyt+10211系統(tǒng)在系統(tǒng)在y*=0點(diǎn)是不穩(wěn)定的；點(diǎn)是不穩(wěn)定的；在在y*=1點(diǎn)是穩(wěn)定的。點(diǎn)是穩(wěn)定的。y0y1y1y22022-1-188穩(wěn)定性總結(jié)穩(wěn)定性總結(jié)v一階差分方程：一階差分方

7、程：yt+1=f(yt)yt+1=f(yt)v均衡值為均衡值為y y* *。( *)1( *)1( *)1fyfyfy如果，那么均衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。如果，那么均衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。如果，無法判斷。11*( *)tttyyytdyfydy2022-1-189練習(xí)：蛛網(wǎng)模型練習(xí)：蛛網(wǎng)模型v在時(shí)間在時(shí)間t t的需求的需求qtdqtd取決于取決于當(dāng)前市場價(jià)格當(dāng)前市場價(jià)格ptpt，供給，供給qtsqts取決于上期的價(jià)格取決于上期的價(jià)格pt-pt-1 1。當(dāng)需求等于供給時(shí)，。當(dāng)需求等于供給時(shí)，市場出清。市場出清。v判斷供求均衡是否穩(wěn)定。判斷供求均衡是否穩(wěn)定。v供求模型：供求模型：vqtd=a-bptqtd=a-b

8、ptvqts=-c+dpt-1qts=-c+dpt-1vqtd= qtsqtd= qtsva,b,c,d0a,b,c,d0qpp0q1p1q2p2S斜率斜率=1/dD斜率斜率=-1/b結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)供給曲線的斜率大于需求曲線的斜率，當(dāng)供給曲線的斜率大于需求曲線的斜率，即即dbd1(d/b)1時(shí)，模型時(shí)，模型是發(fā)散的；反之則是是發(fā)散的；反之則是收斂的。收斂的。2022-1-18112 2、解析法、解析法v迭代法迭代法v例例1 1：yt+1=yt+2yt+1=yt+2，已知，已知y0=10y0=10。v求解：求解：vy1=y0+2y1=y0+2vy2=y1+2=y0+2+2=y0+y2=y1+2=

9、y0+2+2=y0+2222vy3=y2+2=y0+22+2=y0+y3=y2+2=y0+22+2=y0+3232vvyt=y0+t2=10+2tyt=y0+t2=10+2t例例2 2：yt+1-byt=0yt+1-byt=0求解：求解：yt+1=bytyt+1=byty1=by0y1=by0y2=by1=bby0=b2y0y2=by1=bby0=b2y0yt=bty0yt=bty0b b的絕對值小于的絕對值小于1 1，y y收斂。收斂。2022-1-1812一般方法一般方法v1 1、常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性差分方程：、常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性差分方程：vyt+1+ayt=c yt+1+ayt

10、=c v其中，其中，a a和和c c是兩個(gè)常數(shù)。是兩個(gè)常數(shù)。v方程的通解由兩部分的和構(gòu)成：特別積分方程的通解由兩部分的和構(gòu)成：特別積分ypyp它是方程的一它是方程的一個(gè)任意解），余函數(shù)個(gè)任意解），余函數(shù)ycyc它是齊次方程它是齊次方程yt+1+ayt=0yt+1+ayt=0的通解）。的通解）。v解的含義：特別積分表示系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值，余函數(shù)表示時(shí)解的含義：特別積分表示系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值，余函數(shù)表示時(shí)間路徑與均衡的偏離。間路徑與均衡的偏離。v余函數(shù)的計(jì)算：余函數(shù)的計(jì)算：v假設(shè)變量的解為：假設(shè)變量的解為：yt=Abtyt=Abtv代入齊次方程得到：代入齊次方程得到：Abt+1+aAbt=0Abt+1

11、+aAbt=0v消去非零公因子消去非零公因子AbtAbt，得到，得到b=-ab=-av因此，余函數(shù)為：因此，余函數(shù)為：yc=A(-a)tyc=A(-a)t2022-1-1813v特別積分的計(jì)算：特別積分的計(jì)算：v特別積分是原方程的任意解，假設(shè)為常數(shù)特別積分是原方程的任意解，假設(shè)為常數(shù)k k。則則yt+1=yt=kyt+1=yt=k，即，即k k為系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值。為系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值。v將將k k代入原方程，得到代入原方程，得到:k+ak=c:k+ak=cv特別積分為：特別積分為：yp=k=c/(1+a)yp=k=c/(1+a)，a-1a-1。v如果如果a=-1a=-1，那么就假設(shè)，那么就假設(shè)y

12、t=ktyt=kt，yt+1=k(t+1)yt+1=k(t+1)。v代入原方程得到：代入原方程得到：k=ck=c。v特別積分為：特別積分為：yp=kt=ctyp=kt=ct，a=-1a=-1。表示移動(dòng)均。表示移動(dòng)均衡。衡。2022-1-1814將特別積分和余函數(shù)相加就可以得到原方程的通解。將特別積分和余函數(shù)相加就可以得到原方程的通解。(),11ttcyAaaa (),1ttyAactAct a 0000,1()(),111tttctyyAyaccyyaaaa 假設(shè)時(shí)，得到0000,1tttyyAyyyct a 假設(shè)時(shí)，得到a-1a=-12022-1-1815練習(xí)練習(xí)v求解一階線性差分方程：求解

13、一階線性差分方程：vyt+1-5yt=1,y0=7/4yt+1-5yt=1,y0=7/4v余函數(shù)：余函數(shù)：yc=A5tyc=A5tv特別積分：特別積分：yp=-1/4yp=-1/4v通解為：通解為：yt=A5t -1/4yt=A5t -1/4v初始條件：初始條件：t=0t=0時(shí)時(shí),y0=7/4,y0=7/4,代入得到：代入得到：A=2A=2。v答案：答案： yt=2 yt=25t -1/45t -1/42022-1-1816v2 2、常系數(shù)和可變項(xiàng)的一階線性差分方程、常系數(shù)和可變項(xiàng)的一階線性差分方程vyt=ayt-1+mtyt=ayt-1+mtvmtmt是一個(gè)外生的時(shí)間函數(shù)，也被稱為強(qiáng)制性函數(shù)

14、。是一個(gè)外生的時(shí)間函數(shù)，也被稱為強(qiáng)制性函數(shù)。v如果系數(shù)如果系數(shù)a a的絕對值小于的絕對值小于1 1，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之則，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之則是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。v第一種情況：第一種情況：a a的絕對值小于的絕對值小于1 1。v對于任意變量對于任意變量ytyt，定義滯后因子，定義滯后因子L L為：為：vLyt=yt-1, Lnyt=yt-nLyt=yt-1, Lnyt=yt-n。v原方程可以表述為：原方程可以表述為：(1-aL)yt=mt(1-aL)yt=mtv由于由于(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+)=1(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+)=1v所以所以(1-aL)

15、-1= 1+aL+a2L2+a3L3+(1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+2022-1-18171212(1).tt stttttssyaLmmama mamtt sttssyamAa通解：000010,ssstt sttssyya mAyamy a如果已知 期的初始值則將A代入到通解中得到特解：1(1)0tttKKI，折舊率01(1)(1)tt sttssKIK該項(xiàng)即為特別積分。當(dāng)該項(xiàng)即為特別積分。當(dāng)mtmt為常數(shù)為常數(shù)m m時(shí)，時(shí)，yt=m/(1-a)yt=m/(1-a)。余函數(shù)為齊次方程的解。余函數(shù)為齊次方程的解。例子：定義例子：定義KtKt為為t t期期末的資本存量。資本

16、存量的變化如下：期期末的資本存量。資本存量的變化如下：解為：解為：t t時(shí)期的資本存量等于第時(shí)期的資本存量等于第1 1時(shí)期到時(shí)期到t t時(shí)期的未折舊的投時(shí)期的未折舊的投資總量加上資總量加上0 0時(shí)期的未折舊時(shí)期的未折舊的初始資本存量。的初始資本存量。2022-1-1818v第二種情況：第二種情況：a a的絕對值大于的絕對值大于1 1。vyt=ayt-1+mtyt=ayt-1+mtv在這種情況下，在這種情況下，ytyt是發(fā)散的。對于一些經(jīng)濟(jì)問題來是發(fā)散的。對于一些經(jīng)濟(jì)問題來說，這樣的結(jié)果沒有意義。另外，一些前瞻性說，這樣的結(jié)果沒有意義。另外，一些前瞻性forward-lookingforward

17、-looking的經(jīng)濟(jì)變量，如資產(chǎn)價(jià)格，的經(jīng)濟(jì)變量，如資產(chǎn)價(jià)格，主要取決于未來變化。主要取決于未來變化。v定義提前因子定義提前因子L-1L-1為：為：L-1yt=yt+1L-1yt=yt+1v原方程變?yōu)椋涸匠套優(yōu)椋?L-1-a)yt-1=L-1mt-1(L-1-a)yt-1=L-1mt-1v將上式提前一個(gè)時(shí)期，并乘以將上式提前一個(gè)時(shí)期，并乘以-a-1-a-1，得到：，得到：v(1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mt(1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mtv由于由于(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+)=1(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L

18、-2+a-3L-3+)=1v所以所以(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+2022-11)( )s tttss tyaa LL mma 11( )s tttss tymAaa 通解：在許多經(jīng)濟(jì)模型中，變量會(huì)自動(dòng)調(diào)整使在許多經(jīng)濟(jì)模型中，變量會(huì)自動(dòng)調(diào)整使A=0A=0，即經(jīng)濟(jì)中沒，即經(jīng)濟(jì)中沒有自致的投機(jī)性資產(chǎn)價(jià)格泡沫。余函數(shù)將為零。有自致的投機(jī)性資產(chǎn)價(jià)格泡沫。余函數(shù)將為零。11( )s ttss tyma 解：2022-1-18203 3、隨機(jī)線性差分方程、隨機(jī)線性

19、差分方程v已知隨機(jī)線性差分方程：已知隨機(jī)線性差分方程：vEt-1yt=ayt-1+Et-1mt aEt-1yt=ayt-1+Et-1mt a的絕對值大于的絕對值大于1 1。v將方程前推一個(gè)時(shí)期，并引入將方程前推一個(gè)時(shí)期，并引入t t時(shí)期的預(yù)期：時(shí)期的預(yù)期：vEtyt+1=aEtyt+Etmt+1, Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在該方程中，在該方程中，ytyt是是t t時(shí)所知信息惟時(shí)所知信息惟一決定的變量，因此一決定的變量，因此Etyt=ytEtyt=ytv利用提前因子利用提前因子L-1L-1建立建立t t期和期和t+1t+1期的聯(lián)系：期的聯(lián)系：vL-1Etyt= EtL-1yt=

20、 Etyt+1L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1v由此可以將差分方程表述為：由此可以將差分方程表述為：v(1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt(1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt1111111(1)( )s tttttss tE yyaa LL mma 假設(shè)余函數(shù)假設(shè)余函數(shù)為零，得到為零，得到方程的解：方程的解：2022-1-1821三、均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性三、均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性v由于一階差分方程的通解由特別積分和余函數(shù)組成，由于一階差分方程的通解由特別積分和余函數(shù)組成，前者一般為常數(shù)，因此，動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性取決于余函前者一般為常數(shù)，因此，動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性取決

21、于余函數(shù)。數(shù)。v余函數(shù)的一般形式為余函數(shù)的一般形式為AbtAbt，因此它的變動(dòng)：，因此它的變動(dòng)：0011ttbbbbbb非振蕩的若，則 的時(shí)間路徑將是振蕩的發(fā)散的若，則 的時(shí)間路徑將是收斂的2022-1-1822四、二階差分方程四、二階差分方程v當(dāng)當(dāng)t t期的經(jīng)濟(jì)變量期的經(jīng)濟(jì)變量ytyt不僅取決于滯后一期的數(shù)不僅取決于滯后一期的數(shù)量量yt-1yt-1，而且取決于滯后兩期的數(shù)量，而且取決于滯后兩期的數(shù)量yt-2yt-2，這時(shí)就需要二階差分方程。這時(shí)就需要二階差分方程。v二階差分：二階差分： v2yt= 2yt= ( ( yt) = yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-(yt+1-yt)

22、= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+ytyt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+ytv2yt2yt與連續(xù)時(shí)間的與連續(xù)時(shí)間的d2y/dt2d2y/dt2相對應(yīng)。相對應(yīng)。 2022-1-1823常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的二階線性差分方程常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的二階線性差分方程v求解：求解：yt+2+a1yt+1+a2yt=cyt+2+a1yt+1+a2yt=cv與一階線性差分方程一樣，其解由兩部分組與一階線性差分方程一樣，其解由兩部分組成：成：v表示表示y y的瞬時(shí)均衡水平的特別積分的瞬時(shí)均衡水平的特別積分ypypv表示每一時(shí)期與均衡偏離的余函數(shù)表示每一時(shí)期與

23、均衡偏離的余函數(shù)ycyc。2022-1-1824特別積分特別積分121212(10)1tttpyyykcykaaaa令，代入原方程得到：特別積分：，121212111,(1),(2)(1;2)2tttaaykt yk tyk tcktt aaaa p當(dāng)時(shí)，令代入原方程得到：特別積分：y，21211222121221(21)2taaaaayktckttaa p當(dāng)，且（，）時(shí)，令，代入原方程得到：特別積分：y， ，2022-1-1825余函數(shù)余函數(shù)v余函數(shù)是齊次方程余函數(shù)是齊次方程yt+2+a1yt+1+a2yt=0yt+2+a1yt+1+a2yt=0的通解，形的通解，形式一般為式一般為yt=Ab

24、tyt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方。代入方程并消去公因子得到原方程或齊次方程的特征方程：程或齊次方程的特征方程：vb2+a1b+a2=0 b2+a1b+a2=0 具有兩個(gè)特征根：具有兩個(gè)特征根：2112124,2aaab b第一種情況：第一種情況：a124a2a124a2，存在不同的實(shí)根。余函數(shù)，存在不同的實(shí)根。余函數(shù)yc=A1b1t+A2b2tyc=A1b1t+A2b2t第二種情況：第二種情況：a124a2，存在相同的實(shí)根。，存在相同的實(shí)根。b=b1=b2=-a1/2余函數(shù)余函數(shù)yc=A1bt+A2tbt時(shí)間路徑的收斂性：時(shí)間路徑的收斂性：b1b1和和b2b2的絕對值都大于的絕對值都大于1 1，余函數(shù)發(fā)散；都小于，余函數(shù)發(fā)散；都小于1 1則收斂到則收斂到0 0；如果一個(gè)絕對值大于如果一個(gè)絕對值大于1 1，一個(gè)小于，一個(gè)小于1 1，那么后者隨時(shí)間推移而消失，路徑發(fā)散。，那么后者隨時(shí)間推移而消失，路徑發(fā)散。 時(shí)間路徑的收斂性：如果時(shí)間路徑的收斂性：如果b b的絕對值大于的絕對值大于1 1，余函數(shù)發(fā)散；如果