2019-2020學年江西省新余市高一上學期期末數(shù)學試題(解析版)

1、2019-2020學年江西省新余市高一上學期期末數(shù)學試題一、單選題1 .過點P（ 2,1）且傾斜角為90。的直線方程為（）a. y 1b. x 2c, y 2d. x 1【答案】B【解析】根據(jù)傾斜角為90o的直線的方程形式，判斷出正確選項.【詳解】由于過P 2,1的直線傾斜角為90°,即直線垂直于x軸，所以其直線方程為 x 2.故選：B【點睛】本小題主要考查傾斜角為 90°的直線的方程，屬于基礎題 .2 .下列命題正確的是（）A.經(jīng)過任意三點有且只有一個平面 .B.過點P有且僅有一條直線與異面直線 a、b垂直.C. 一條直線與一個平面平行，它就和這個平面內的任意一條直線平行

2、D.面與平面 相交，則公共點個數(shù)為有限個 .【答案】B【解析】根據(jù)公理2、異面直線垂直、線面平行、面面相交的知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，如果這三個點共線，經(jīng)過這三個點不止一個平面，所以 A選項錯誤.對于B選項，過a上一點Q作b' /b,直線a與b'確定平面，過P作直線c a ,則. 一 ' .' 一 一一一 , 一 ,一 ,一，一, ,一c b,則c b,而a b Q ,所以c ,由于過平面外一點只能作平面一條垂線，所以B選項正確.對于C選項，一條直線與一個平面平行，它就和這個平面內的直線平行或異面，所以C選項錯誤.對于D選項，面

3、與平面 相交，則公共點個數(shù)為無限個，都在交線上，故 D選項錯誤.故選：B【點睛】本小題主要考查公理 2、異面直線垂直、線面平行和面面相交等知識的運用，屬于基礎題.3 .在正方體ABCD AB1C1D1中，異面直線BD與BQ所成角為（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】 通過平移作出異面直線所成的角，解三角形求得所成角的大小【詳解】連接AiD, AB如圖所示，由于AiD/BC,所以 ADB是異面直線BD與BC所成角，由于三角形 ABD是等邊三角形，所以ADB 60o.故選：C【點睛】本小題主要考查異面直線所成角的求法，屬于基

4、礎題4 .利用二分法求方程10g 3 x 5 x的近似解，可以取得的一個區(qū)間為()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】D【解析】構造函數(shù)f x10g3 x x 5 ,利用零點存在性定理判斷出函數(shù)f X零點所在區(qū)間，也即方程1og3x 5 x的解所在區(qū)間.【詳解】構造函數(shù) f x 1og3x x 5, f 31 3 51 0, f 410g34 1 0,由于f x在0, 上是單調遞增函數(shù)，所以f x零點所在區(qū)間為 3,4 ,也即方程10g3 x 5 x的解所在區(qū)間為 3,4 .故選：D【點睛】本小題主要考查零點存在性定理，考查二分法的理解，屬于基礎題5 .已知

5、a,b,c是直線，是平面，且滿足 a , b , a/ ,I 1 ,則下列結論：；b ; / ;b/ .其中一定正確的命題的個數(shù)是()A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【答案】A【解析】 首先判斷結論 正確，然后利用圖像法判斷 為假命題.【詳解】由于a , a/ ,所以 ，故正確.畫出滿足a , b , a/ , Il的圖像如下圖所示，由圖可知 b ，所以錯誤；而 與相交，所以錯誤.故正確命題的個數(shù)為 1.故選：A【點睛】本小題主要考查空間點線面位置關系命題真假性的判斷，屬于基礎題6 .已知兩直線 li：ax y 1 0與 l2：(a 2)x 3y 1 0,若 I1/I2,則 a ()A

6、. 2B.2C. 1 或 2D.1【答案】D【解析】根據(jù)兩條直線平行的條件列式，由此求得 a的值.【詳解】a 3 1 a 20由于I1/I2,所以，解得a 1 .a 11 a 20故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)兩條直線平行求參數(shù)，屬于基礎題7 .已知一個正三棱錐的高為3,如下圖是其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖，其中O B OC 1 ,則此正三棱錐的體積為()D.在【答案】A【解析】 根據(jù)b'c'的長，求得正三棱錐的底面邊長，由此求得底面積，進而求得正三 棱錐的體積由于OB O C 1,所以BC 2,根據(jù)斜二測畫法的知識可知，正三棱錐的底面等邊三角形的邊長為2 ,

7、其面積為 22J3 ,所以正三棱錐的體積為4-.3 3.3.3故選：A本小題主要考查根據(jù)斜二測畫法的直觀圖，求原圖的邊長，考查正棱錐的體積的求法, 屬于基礎題 8 .如圖所示 ARP2為等腰直角三角形，C為斜邊PP2的中點，Pp2 4，2, B、D分別落在邊AR、AP2上，且滿足AB AD x,若分別將VCBP、VCDP2、沿著CB、CD翻折時點"、P2能重合（兩個三角形不共面），則x滿足條件（）AA. 0 x 1B. 0 x 2C. 0 x 3D. 1 x 2【解析】考慮當B,D分別是AB，AP2中點時，CR,CP2,CA重合，由此判斷出符合題意的x的取值范圍.【詳解】 由于AP1

8、P2為等腰直角三角形PP2 4近,所以AP AP2 4.當B,D分別是A",AP2中點時，將 CBP、CDP2、沿著CR CD翻折，CR,CP2,CA重合，此時AB AD x 2.當x 2時，P、P2不能重合；當0 x 2時，P P2能重合.故選：B【點睛】本小題主要考查折疊問題的分析與判斷，考查空間想象能力，屬于基礎題9 .我國古代數(shù)學名著九章算術中記載的昌薨"（chumeng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五面體ABCDEF是一個芻薨，其中四邊形 ABCD為矩形，其中AB 8, AD 2褥，VADE與VBCF都是等邊三角形，且二面角E AD B【答案】A【

9、解析】 求得EF長度的兩個臨界位置的長度，由此求得EF的取值范圍.【詳解】由于 ADE與 BCF都是等邊三角形，且邊長為 2J3,故高為3.當E AD B和F BC A趨向于0時，EF 8 3 3 2,如下圖所示.DC當E AD B和F BC A趨向于 冗時，EF 8 3 3 14,如下圖所示所以EF的取值范圍是 2,14故選：A【點睛】本小題主要考查空間線段長度范圍的判斷，考查空間想象能力，屬于基礎題10 .某三棱錐的三視圖如圖所示（網(wǎng)格中正方形的邊長為1）,則其表面積為（）A. 44713B.44&2VT3C.42724713D. 4 6拒2而【答案】D【解析】根據(jù)三視圖還原為原圖

10、，由此計算出幾何體的表面積【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體的知關于如圖所示三棱錐A BCD,其中AC 平面BCD,所以AC CE,AC BD,所以ae JcE2 AC2小呼 ac2 而.由于BD CE,BD AC ,所以BD 平面ACE ,所以BD AE.所以幾何體的表面積為第13頁共22頁1 八 一1 八 一1 八一-BC CD BC AC CD AC2221BD AE21 8 6 2 6.2 4 .132故選：D4 6.22.13 .【點睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖求幾何體的表面積,屬于基礎題11.已知在VABC中，其中B(1,4),C(6,3),BAC的平分線所在的直線方程為x y 1

11、0,則 VABC的面積為(A. 5匹B.10 2C. 8【解析】 首先求得直線xy 1 0與直線BC的交點D的坐標，利用D到直線AB, AC的距離相等列方程，解方程求得 A點的坐標 利用A到直線BC的距離以及BC的長，求得三角形ABC的面積.直線BC的方程為yx 1 ,即 x 5y 21 0.x 5y 21由x y 1 00解得設 A a,a 1 ,a8 一，直線 3AB, AC的方程分別為1 ,y 3y 3a 1,a 2 x a 6 y 3a 6 0.根據(jù)角平分線的性質可知,D到直線AB, AC的距離相等，所以c8/11C,a 3a 13a133-8C 11c Ca 2 a 6 3a 633

12、c 162a3,2a2 8a 102 2a16,由于a,2a2 16a 408 _ 所以上式可化為3226126 8.故選：C2 y/2a2 8a 10 ,2a2 16a 40，兩邊平方并化簡得2 8一一 8a-a0,解得 a 0（a ）,所以 A 0,1 .3 35 2116所以a 0,1到直線bc的距離為-=,而J2 52.26BC ,6 1 23 4 2 J26 ,所以 S abc【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質， 考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12.如圖兩個同心球，球心均為點 O,其中大球

13、與小球的表面積之比為3:1,線段AB與CD是夾在兩個球體之間的內弦，其中A、C兩點在小球上， BD兩點在大球上，兩內弦均不穿過小球內部 .當四面體 ABCD的體積達到最大值時， 此時異面直線 AD與BC的夾角為，則sin 2【答案】AD.2、. 633【解析】 首先判斷出正方體內切球和外接球的半徑比為1: J3,內切球和外接球的表面積之比為1:3,符合題意中的小球和大球的比例 .判斷當四面體 ABCD體積最大時,AB,CD的位置關系，作出異面直線AD,BC所成的角，解直角三角形求得sin -.【詳解】02 02 02_設正方體的邊長為 2 ,則其內切球半徑為1,外接球的半徑為 上一2一2- 4

14、3，所2CD,AB最長為J&2 12 收,1 1S - ab sinC ,右a, b為定值，則2其中A,C分別是所在正方形的中心，以內切球和外接球的表面積之比為1:3,符合題意中的小球和大球的比例.依題意AC最長為小球的直徑2 .由于三角形的面積花C 一時面積取得最大值.畫出圖像如下圖所示,2O是正方體內切球與外接球的球心.CD/AD1,CD AD1,CB1/AB,CB1 AB.由于-1,1VA BCD VABDi CBR S ABDAC ,故此時四面體 A BCD的體積取大.33由于CE/AB,CE AB ,所以四邊形ABCE為平行四邊形，所以 BC/AC,所以ADE是異面直線BC和

15、AD所成白角.所以 ADE 由于AD AE ,設G是DE的中點，則AG DE，所以- GAE ,所以sin- £|1211廠121666 66故選：A【點睛】本小題主要考查幾何體與球的外切和內接的問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力, 屬于中檔題.二、填空題13 .若Pl, P ,Ql,Q ,則直線l與平面 有 個公共點；【答案】1【解析】 根據(jù)已知條件判斷出直線l與平面 相交，由此確定直線l與平面 的公共點 個數(shù).【詳解】由于P l , P ,所以直線l與平面 有公共點，而Q l , Q ,所以直線l與平面 相交，故直線l與平面 的公共點個數(shù)為1個.故答案為：1【點睛】本小題主要考

16、查直線和平面的位置關系，屬于基礎題14 .已知直線l ： y 2ax (a 2)過一、三、四象限，其中 a Z ,則點A(1，3)到直 線l的距離為.【解析】 根據(jù)直線l所過象限列不等式組，結合 a Z求得a的值，再根據(jù)點到直線距 離公式求得點 A(1, 3)到直線l的距離.【詳解】八 ，22a 0由于直線l : y 2ax (a 2)過一、三、四象限，所以，解得0 a 2 ,a 2 0由于a Z ,所以a 1 ,所以直線方程為2x y 1 0 ,點A到直線的距離為2 3 14 5 I.;12 225故答案為：4_5 5【點睛】本小題主要考查根據(jù)直線所過象限求直線方程，考查點到直線距離公式，屬

17、于基礎題15.如圖正三棱錐S ABC,其中SA 2, AB J3 ,點P、Q、M、N分別為校AB、BC、SC、SB的中點，則四面體 PQMN的體積為 ；321 一【斛析】通過分析判斷出Vp mnq -Vs abc ,由此求得四面體PQMN的體積.8【詳解】由于P、Q、M、N分別為棱AB、BC、SG SB的中點，所以三角形MNQ的面積是三角形SBC的面積的四分之一，而 P到平面SBC的距離是 A到平面SBC的距離的一1一.半，所以Vp mnq -Vs ABC.正三角形ABC的外接圓半徑為8R 1 AB J 3 1 .2 sin60o 2 33，所以正三棱錐的高為 JSAR2，4 1 J3,所以2

18、第16頁共22頁VS ABC-第J3 , 所以 VP MNQ- VS ABC34483故答案為：3232屬于基礎題16.已知函數(shù)z2_ 2(x 1)2(y 2)x2 2y2 1,則下列四組關于x、y的函數(shù)關系: y |x 1| | x 1|； y數(shù)z取相同最大值的函數(shù)關系為x log3（ x）,其中能使得函【點睛】 本小題主要考查錐體體積計算，考查分析、思考與解決問題的能力,第21頁共22頁【答案】【解析】先求得Z取得最大值時x, y的值，再將點x,y的值代入題目所給四個函數(shù)關系，由此判斷出正確的結論 .【詳解】2_22_2_一(x 1)2( y 2)x2y12x8y8彳cx 4y 4人依題意

19、z-2?J2 12=J一，令x2 2y2 1x2 2y2 1x2 2y2 1x 4y 4Z1 七一，當4取得最小值時，z取得最大值. x 2y 1(i)當 x 4y 4 0時，z1 0.(ii)當乙0時：由去分母并化簡得 2-2ZiX x 2z1y 4yz1 4 0 ,此萬程有解，故 ,-2一_22 一2 一 ，一14zi2z1y4yz140,整理得8ziy16z1y4zi16zi1 0,此一元二次不等式有解，所以1642 32才4z12 16410,整理得 291_4zi 164 9 0 ,即 24 9 2z1 10,解得一乙一4 0 .22.一 .9 1 一9綜上所述Zi一，一 ，所以 乙

20、的最小值為 一.2 22,x 4y 49 一口 22由2一，化簡得9x22x18y28y 1 0,即x2 2y2 121222-129x -18 y -0，所以x-, y-.9999.12即當x , y 時，Zi取得最小值，z取得最大值9912,、一一 ,，八將點，一代入進行驗證:9 91|- 21| 符合;-12 2,符合;99- 18 1,不符合;9lOg3（9）一 ,1 2所以點 一，一滿足，不滿足 .9 9故答案為：考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難【點睛】本小題主要考查二元分式型函數(shù)最值的求法，題.三、解答題17.已知點 A( 3,1)與點 B(4,2).(1)求過點P(1,2)且

21、與直線AB垂直的直線方程；(2)求與直線 AB平行且距離為 近 的直線方程.【答案】(1) 7x y 9 0； (2) x 7y 0或 x 7y 20 0 .【解析】(1)求得直線 AB的斜率，由此求得與 AB垂直的直線的斜率，進而求得所求 直線方程.(2)設出與直線 AB平行的直線的方程，利用兩平行線間的距離公式列方程，由此求 得所求直線方程.【詳解】2 11(1)直線AB的斜率為 7 Z,與其垂直的直線斜率為7,由點斜式得437y 27x1,化簡得 7x y 9 0.1(2)直線AB的萬程為y 2 7 x 4 ,即x 7y 10 0,設與直線AB平行的直線方程為x 7y c 0,由兩平行線

22、間的距離公式得jF°h ",c10 100或 x 7y 20 0.解得c = 0或c 20,故所求的直線方程為 x 7y【點睛】本小題主要考查根據(jù)平行、垂直求直線方程，屬于基礎題18 .如圖四棱錐P ABCD, PD平面ABCD,四邊形ABCD是矩形，點F為側棱PB的中點，過C、D、F三點的平面交側棱 PA于點E.(1)求證：點E為側棱PA的中點;(2)若 PD AD ,求證：PA CF .【答案】(1)見解析 (2)見解析【解析】(1)先證得AB/平面CDEF ,再由線面平行的判定定理，證得 AB/EF , 結合F是PB的中點，證得E是PA的中點.(2)利用等腰三角形的性

23、質證得 DE PA,通過證明CD 平面PAD,證得CD PA ,由此證得PA 平面CDFE ,進而證得PA CF .【詳解】(1) .四邊形 ABCD 是矩形， AB H CD .且 CD 平面 CDEF AB 平面 CDEF , . AB / / 平面 CDEF .又AB i平面PAB ,平面PAB 平面CDEF EF , AB/EF .而點F為側棱PB的中點，點E為側棱PA的中點.(2) PD AD且點E為側棱PA的中點，DE PA .PA.又 PD 平面 ABCD, PD CD,且 AD CD,故 CD 平面 PAD , CD PA 平面 CDEF , PA CF .【點睛】本小題主要考

24、查線面平行的判定定理和性質定理，考查線面垂直、線線垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎題19.已知函數(shù) f(x) log2(3 x) log2(x 1).(1)求該函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)y f (x) m僅存在兩個零點 用?2,試比較x1 x2與m的大小關系【答案】(1) ( 1,3) (2) xi x2 m【解析】(1)根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.(2)化簡f x表達式為對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)結合的形式，結合二次函數(shù)的性質，求得X x2以及m的取值范圍，從而比較出 X 刈與m的大小關系.【詳解】-3x0(1)依題意可知1 x 3,故該函數(shù)的定義域

25、為 (1,3)；x 1 0-2 _2(2) f(x) log2( x 2x 3) log2( (x 1)4),故函數(shù)關于直線x 1成軸對稱且最大值為log2 4 2,x1 x2 2, m 2,x1 x2 m.【點睛】本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查對數(shù)型復合函數(shù)對稱性和最值，屬于基礎題20.已知直線l : (31)x (2 )y 4 50恒過定點A.(2)若點B與點A關于y軸成軸對稱，點P是直線m： y 3x 5上一動點，試求PA2 PB2的最小值.56 【答案】(1) (2,1)(2) 565【解析】(1)將直線l的方程重新整理，由此列方程組，解方程組求得A的坐標.(2)先求得B點的坐標

26、，設出P點坐標，利用兩點間的距離公式求得PA2 PB2的表達式，結合二次函數(shù)的最值的求法，求得 PA2 PB2的最小值.【詳解】(1) l :(31)x (2 )y 4 50 整理即：(x 2y 4)(3x y 5) 0 ,x 2y 4 0x 2令，故點A的坐標為(2,1)；3x y 5 0y 1(2) ,點B與點A關于y軸成軸對稱，故點 B的坐標為(2,1), 點P是直線y 3x 5上一動點，設P(t,3t 5),. PA2PB2 (t 2)2(3t 4)2 (t2)2 (3t 4)220t248t 4020(t )2,故當t 9時，pa2PB2取最小值為變.5555【點睛】本小題主要考查直

27、線過定點的問題,考查兩點間的距離公式， 考查化歸與轉化的數(shù)學思第30頁共22頁想方法，屬于中檔題21.如圖，AC是半圓。的直徑,AC J10 , B為圓周上一點,BE平面ABC ,BC/DE, BE 3BC , DE 2BC , CD 布.(1)求證：平面AEB 平面AED;(2)在線段 AD上是否存在點 M ,且使得CM 平面AED ?若存在，求出點 M的位置；若不存在，請說明理由 .【答案】(1)見解析 (2)存在，M為線段AD中點.【解析】(1)通過證明BE BC, AB BC證彳# BC，平面AEB,結合BC/DE證 得DE 平面AEB ,由此證得平面 AEB 平面AED .(2)通過

28、計算證明證得 AB BE ,設M為線段AD中點，N為線段AE中點，連接BN、MN、CM ,結合(1)的結論，利用等腰三角形的性質證得 BN 平面AED ,證得四邊形BCMN是平行四邊形，由此由此還整得 BN /CM ,進而證得CM 平面AED .【詳解】(1) . BE 平面 ABC , BE BC .又B為圓周上一點且 AC是半圓。的直徑，AB BC .- BC ± 平面 AEB .又 BC/DE ,DE 平面AEB ,且DE 平面AED ,平面AEB 平面AED ;(2)點M為線段AD中點，證明如下：設 BC x,則 BE 3x, DE 2x,CD T(DE_BCT_Be7 V1

29、0x -又 CD VT0 , x 1 .ab Jac2 bc2 3 be 取AE中點N ,連接BN、MN、CM . BN AE .又由（1）可知平面 AEB 平面AED，故BN 平面AED .1 1又MN P-DE , BCPDE ,故MN PBC ,即四邊形BCMN為平行四邊形, 2=2 BN / /CM , CM 平面 AED .D【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查探究性問題的求解，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.22.如圖在四面體 ABCD中，VABC是邊長為2的等邊三角形， 4DBC為直角三角形，其中D為直角頂點， DCB 60. E、F、G、H

30、分別是線段AR AC、CD、DB上的動點，且四邊形 EFGH為平行四邊形.(1)求證：BC/平面 EFGH , AD/平面 EFGH ;(2)試探究當二面角 A BC D從0°增加到90°的過程中，線段 DA在平面BCD上 的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；AE(3)設AE (0,1),且VACD為等腰三角形，當為何值時，多面體AB-，1ADEFGH的體積恰好為 一？4(3)【答案】(1)見解析(2)立4【解析】(1)先通過線面平行的判定定理，證得 EF /平面BCD ,通過線面平行的性 質定理，證彳導EF/BC ,由此證得BC/平面EFGH ;同理證得AD/平面EFGH .(2)畫出A BC D為0°、90o時A的投影，由此判斷出線段 DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域，進而求得區(qū)域的面積,1(3)先求得三棱錐 A BCD的面積為1,通過分割的方法，得到 2V多面體 ADEGH VA EFGH VI面體 ADGH , 分別求得Va EFGH ,V四面體ADGH與V四面體ABCD的關系1式，再由V多面體ADEGH - V四面體ABCD列方程，斛方程求付 的值. 2【詳解】(1) .四邊形EFGH為平行四