柔體動力學(xué)介紹

1、柔體動力學(xué)介紹一、KED（Kineto-Elastodynamics）法KED法，即運(yùn)動彈性動力學(xué)，由美國學(xué)者Erdman和Sandor提出。該方法的研究始于上個世紀(jì)60年代，早期研究者僅把部件（一般是一個，如四桿機(jī)構(gòu)的連桿）看作是柔性的，并且只考慮其一種變形（如桿件的彎曲變形），方程中也引入較多假設(shè)。70年代初期，Erdman和Sandor將結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的有限元方法移植到機(jī)構(gòu)分析中來，克服了模型過于簡單的缺陷。我國自80年代初開始研究機(jī)構(gòu)彈性力學(xué)，學(xué)者張策對KED法做了大量研究。KED法在分析機(jī)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動時，均假設(shè)：Ø 與采用剛性機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析法的到的機(jī)構(gòu)名義運(yùn)動的位移相比，由構(gòu)

2、件變形引起的彈性位移很?。?#216; 這種彈性位移不會影響機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動。依據(jù)上述假設(shè)，機(jī)構(gòu)真實(shí)運(yùn)動的位移可以看作是名義運(yùn)動的位移和彈性位移的疊加。名義運(yùn)動可以用剛體機(jī)構(gòu)運(yùn)動和動力學(xué)分析方法求出，彈性位移則用彈性動力學(xué)分析方法求出。為了使所建模型較準(zhǔn)確反應(yīng)原機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的特性，現(xiàn)在普遍采用“子結(jié)構(gòu)分析方法”，即把系統(tǒng)按結(jié)構(gòu)劃分為子結(jié)構(gòu)單元，然后建立單元和子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，最后將單元和子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程組合成系統(tǒng)的運(yùn)動方程。對于連續(xù)體的離散，有1）集中參數(shù)模型2）有限元模型兩種建模方法。以一個簡單例子為例：一般彈性動力學(xué)方程為：其中，第一個方程描述的是機(jī)構(gòu)的剛體動力學(xué)方程，第二個方程描述的是機(jī)構(gòu)的結(jié)

3、構(gòu)振動方程。表示機(jī)構(gòu)廣義剛體位移，表示機(jī)構(gòu)廣義彈性位移，表示機(jī)構(gòu)所受外力，表示機(jī)構(gòu)的科氏力和離心力。對于KED方法，變形對剛體運(yùn)動的影響忽略不計，因此，忽略耦合項(xiàng)，上述方程變?yōu)椋簭纳鲜娇梢钥闯觯捎贙ED方法的假設(shè)，使方程得到很大的化簡，提高了計算效率，此方法對于作大范圍剛體運(yùn)動，機(jī)構(gòu)剛度大（即彈性變形小的系統(tǒng)）適用。但隨著輕質(zhì)、高速運(yùn)動、大尺寸機(jī)構(gòu)的發(fā)展，KED方法計算結(jié)果的精確度不再令人滿意。在這些系統(tǒng)中，剛體運(yùn)動和彈性變形的慣性耦合非常重要，在動力學(xué)分析中不能被忽略，因此，KED方法在這些機(jī)構(gòu)的動力學(xué)分析中不再適用。二、浮動坐標(biāo)法（Floating Frame of Reference）

4、浮動坐標(biāo)法是目前進(jìn)行計算機(jī)柔體動力學(xué)仿真時最廣泛運(yùn)用的方法，這種方法已經(jīng)被應(yīng)用在幾種商用動力學(xué)分析軟件中。在浮動坐標(biāo)法中，共使用兩種坐標(biāo)系來描述變形體的構(gòu)型，一種是用來描述變形體連體坐標(biāo)系的位置和方向，另一種是用來描述變形體相對于其連體坐標(biāo)系的變形。如下圖所示：圖一1）運(yùn)動分析變形體上任意一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置為：其中，為連體坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。為點(diǎn)在未變形時在連體坐標(biāo)系中的位置， 為變形位移。對于一個具體問題，如何選擇合適的連體坐標(biāo)系是難點(diǎn)。在多剛體動力學(xué)中，選取通過質(zhì)心的主軸坐標(biāo)系為跟隨坐標(biāo)系而使動力學(xué)方程中平移與轉(zhuǎn)動慣性解耦。柔體中各質(zhì)點(diǎn)的位置時刻都在變換，其質(zhì)心相對

5、于其內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)也一直在不停地變化，因而不存在一個固定的連體坐標(biāo)系，選取不同的連體坐標(biāo)意味著選取了不同的柔性體變形。但研究表明這并不影響最終的位移分析結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為。其中，為描述變形體相對位置的笛卡爾坐標(biāo)，為描述變形體方向的角度坐標(biāo)，為變形體上任意點(diǎn)變形坐標(biāo)，與變形位移的關(guān)系為，其中為型函數(shù)。之后便可以對系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，對公式（1.3）求一次導(dǎo)數(shù)，便可得到任一點(diǎn)的運(yùn)動速度：其中，為系統(tǒng)廣義速度陣，為系數(shù)矩陣。對1.4再求一次導(dǎo)數(shù)，可得到點(diǎn)的運(yùn)動加速度：2）質(zhì)量矩陣：（1）系統(tǒng)的動能為：（2）系統(tǒng)質(zhì)量陣為是一個非線性的對稱矩陣。變系數(shù)，隨位形變化3）系統(tǒng)廣義力利用虛功原理，求解彈性力和外

6、力所產(chǎn)生的關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力（1） 系統(tǒng)廣義彈性力（2） 系統(tǒng)廣義外力其中，和為關(guān)于移動和轉(zhuǎn)動坐標(biāo)的廣義力。4）運(yùn)動約束方程圖二系統(tǒng)的約束方程可寫為向量的形式： （1.10）其中，為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，為時間，為獨(dú)立的約束方程。例如，如圖二所示，如果點(diǎn)和點(diǎn)相連，則有當(dāng)時，則表示兩個點(diǎn)始終相連。為了將約束方程（1.10）引入動力學(xué)方程中，對于廣義坐標(biāo)取微小變化，公式（1.10）可寫為：其中，為系統(tǒng)約束壓雅可比矩陣。5）系統(tǒng)動力學(xué)方程將以上求解各式帶入到第一類拉格朗日方程中，即可得到系統(tǒng)動力學(xué)方程其中，為拉格朗日乘子。 從以上分析可以看出，在浮動坐標(biāo)法中，質(zhì)量矩陣為一個非線性的對稱矩陣，剛度矩陣為一

7、個常量矩陣。計算廣義力時，需考慮系統(tǒng)的科氏力和離心力。浮動坐標(biāo)法適用于作大范圍移動小變形的系統(tǒng)，對于作大范圍移動大變形的系統(tǒng)，此方法的求解不夠精確，不再適用。三、絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法（Absolute Nodal Coordinate Formulation）該方法由Ahmed A.Shabana于1996年提出，其理論基礎(chǔ)主要是有限元與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論。該方法中單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)定義在全局坐標(biāo)系下，采用斜率矢量代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限單元中的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角坐標(biāo)。推導(dǎo)的動力學(xué)方程具有常質(zhì)量矩陣、不存在科氏力和離心力等項(xiàng)的特點(diǎn)。這些特點(diǎn)可以提高計算效率。絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法已被認(rèn)為是多體系統(tǒng)動力學(xué)研究歷史上的一個重要進(jìn)展之一，它

8、的誕生使柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)理論與有限元理論進(jìn)一步整合。絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法自出現(xiàn)以來，一直是多體系統(tǒng)動力學(xué)研究者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一。以一個二維單元梁為例：1）運(yùn)動分析梁上任意一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位置為其中為型函數(shù)，為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，且有，。由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的選取可得出，絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中并未使用轉(zhuǎn)角作為坐標(biāo)，而是選取斜率作為廣義坐標(biāo)。型函數(shù)中，為任意點(diǎn)在未變形時梁中的位置坐標(biāo)，為單元梁的長度，由此可看出，型函數(shù)僅是原始坐標(biāo)的函數(shù)，與時間無關(guān)。而節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)則是原始坐標(biāo)和時間的函數(shù)。對公式1.13求一次導(dǎo)，便可得到任意一點(diǎn)速度：2）質(zhì)量矩陣（1） 系統(tǒng)的動能為：（2） 系統(tǒng)質(zhì)量矩陣由上文可知，型函數(shù)僅為的函數(shù)，因此，質(zhì)

9、量矩陣為一個常量矩陣，在進(jìn)行動力學(xué)分析的時候，可事先計算好質(zhì)量矩陣，節(jié)省了計算時間。3）系統(tǒng)廣義力（1）利用介質(zhì)力學(xué)中變形梯度，來求解彈性力。單元變形梯度為：利用拉格朗日應(yīng)變張量描述系統(tǒng)應(yīng)變，此張量為單元變形梯度的函數(shù)，表達(dá)式為：其中，。式中，表示單元形函數(shù)的第i行。為一個對稱張量，因此可以寫為：利用材料本構(gòu)模型，則系統(tǒng)應(yīng)力張量為： (1.19)其中，為關(guān)于材料樣式模量的矩陣，若用拉梅常數(shù)表達(dá)，為： (1.19)桿件的彈性應(yīng)變能為：彈性力為：其中，為系統(tǒng)剛度矩陣，可以寫為： (1.19)其中，（2）由虛功原理，求解廣義外力因此廣義外力為：4）動力學(xué)方程將上式帶入牛頓歐拉方程，得系統(tǒng)動力學(xué)方程為

10、：從上述推導(dǎo)過程中可以看出，絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的動力學(xué)方程中，質(zhì)量矩陣為一個常量矩陣，而剛度矩陣則為一個非線性的非常量矩陣，這一點(diǎn)正好與浮動坐標(biāo)法相反。由于廣義坐標(biāo)中不包含轉(zhuǎn)動量，因此計算時不需考慮科氏力與離心力，減小了計算量。絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對作大范圍剛體運(yùn)動大變形的結(jié)構(gòu)體的求解十分精確，在航空航天、高速運(yùn)動或具有大尺寸柔性結(jié)構(gòu)的機(jī)器上取得了很好的應(yīng)用，是目前廣泛應(yīng)用的柔體動力學(xué)分析方法。參考文獻(xiàn)：1 SHABANA A. A, Dynamics of Multibody Systems (Third Edition). Cambridge University Press, New York, 2005.2 SHABANA A. A., Computational Continuum Mechanics. Cambridge University Press, New York, 2008.3 SHABANA A. A, Flexible Multibody Dynamics: Review of Past and Recent DevelopmentsJ, Multibody System Dynamics, 1997, 1, 189-2224