有限元在電磁場(chǎng)中的應(yīng)用

1、有限元法在電磁場(chǎng)分析中的應(yīng)用有限元法在電磁場(chǎng)分析中的應(yīng)用有限元法簡(jiǎn)介 有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法，最初用于力學(xué)領(lǐng)域，六十年代中期開(kāi)有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法，最初用于力學(xué)領(lǐng)域，六十年代中期開(kāi)始用于電磁場(chǎng)計(jì)算始用于電磁場(chǎng)計(jì)算 。目前在電磁場(chǎng)分析中，有限元法是較先進(jìn)的方法之。目前在電磁場(chǎng)分析中，有限元法是較先進(jìn)的方法之一。這種方法以變分原理為依據(jù)，具有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。一。這種方法以變分原理為依據(jù)，具有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 在實(shí)際的電磁場(chǎng)中，場(chǎng)是連續(xù)的，空間無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的每一點(diǎn)都有確在實(shí)際的電磁場(chǎng)中，場(chǎng)是連續(xù)的，空間無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的每一點(diǎn)都有確定的的場(chǎng)量（即具有數(shù)學(xué)上所稱的無(wú)窮維自由度定的的場(chǎng)量（即具有數(shù)學(xué)上

2、所稱的無(wú)窮維自由度) )。而有限元法是將場(chǎng)域。而有限元法是將場(chǎng)域劃分為有限個(gè)單元，用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為場(chǎng)變量模型（又稱插值函劃分為有限個(gè)單元，用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為場(chǎng)變量模型（又稱插值函數(shù)），構(gòu)成每個(gè)單元中場(chǎng)的試探解。有限元法可以將單元中任一點(diǎn)的待數(shù)），構(gòu)成每個(gè)單元中場(chǎng)的試探解。有限元法可以將單元中任一點(diǎn)的待求量求量 ，用該單元邊界與其他單元邊界的交點(diǎn)，用該單元邊界與其他單元邊界的交點(diǎn) ( (在有限元法中稱為結(jié)點(diǎn)在有限元法中稱為結(jié)點(diǎn)) ) 上的場(chǎng)量值表示上的場(chǎng)量值表示 。因此，整個(gè)場(chǎng)的計(jì)算可歸結(jié)為有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上場(chǎng)量的。因此，整個(gè)場(chǎng)的計(jì)算可歸結(jié)為有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上場(chǎng)量的 的計(jì)算，即將無(wú)窮維自由度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

3、有限個(gè)自由度的問(wèn)題。的計(jì)算，即將無(wú)窮維自由度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)自由度的問(wèn)題。 結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量計(jì)算的思路如下：描述電磁場(chǎng)規(guī)律的是些偏微分方程，結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量計(jì)算的思路如下：描述電磁場(chǎng)規(guī)律的是些偏微分方程， 首先找出與之相應(yīng)的泛函，這樣偏微分方程的邊值問(wèn)題就成了求泛函首先找出與之相應(yīng)的泛函，這樣偏微分方程的邊值問(wèn)題就成了求泛函的極值問(wèn)題。場(chǎng)域被分成有限單元后，整個(gè)場(chǎng)域的泛函就是各單元泛的極值問(wèn)題。場(chǎng)域被分成有限單元后，整個(gè)場(chǎng)域的泛函就是各單元泛函之和。在引入插值函數(shù)并用結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)量后，函之和。在引入插值函數(shù)并用結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)量后，泛函近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)，變分極值近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)

4、的極值。在泛函近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)，變分極值近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值。在對(duì)場(chǎng)量取偏導(dǎo)并令之為零后，得到的方程是代數(shù)方程。每個(gè)單元建立對(duì)場(chǎng)量取偏導(dǎo)并令之為零后，得到的方程是代數(shù)方程。每個(gè)單元建立一個(gè)方程，在整個(gè)求解區(qū)域中則有一個(gè)代數(shù)方程組，計(jì)及邊界條件后一個(gè)方程，在整個(gè)求解區(qū)域中則有一個(gè)代數(shù)方程組，計(jì)及邊界條件后解此方程組就可求出各結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量。在此過(guò)程中，并不要求每個(gè)單元中解此方程組就可求出各結(jié)點(diǎn)場(chǎng)量。在此過(guò)程中，并不要求每個(gè)單元中的插值函數(shù)滿足整個(gè)場(chǎng)域的邊界條件，所以可以很容易的確定。由于的插值函數(shù)滿足整個(gè)場(chǎng)域的邊界條件，所以可以很容易的確定。由于 整個(gè)計(jì)算過(guò)程都是代數(shù)運(yùn)算，故可由計(jì)算機(jī)進(jìn)行。正因

5、如此，有限元整個(gè)計(jì)算過(guò)程都是代數(shù)運(yùn)算，故可由計(jì)算機(jī)進(jìn)行。正因如此，有限元法成了求解電磁場(chǎng)邊值的一種簡(jiǎn)單有效的方法。法成了求解電磁場(chǎng)邊值的一種簡(jiǎn)單有效的方法。有限元法解題的一般步驟用有限元求解實(shí)際問(wèn)題的步驟大致如下：用有限元求解實(shí)際問(wèn)題的步驟大致如下：（1 1）找出與被求解的邊值問(wèn)題相應(yīng)的泛函。目前，電磁場(chǎng)中常遇到的一些偏微分）找出與被求解的邊值問(wèn)題相應(yīng)的泛函。目前，電磁場(chǎng)中常遇到的一些偏微分方程相應(yīng)的泛函均已被找到，例如與泊松方程方程相應(yīng)的泛函均已被找到，例如與泊松方程 相應(yīng)的泛函（對(duì)第二類(lèi)邊相應(yīng)的泛函（對(duì)第二類(lèi)邊界條件）為界條件）為 （1 1）其中，其中， 表示電位表示電位 的梯度，的梯度，

6、 表示求解域體積，表示求解域體積，s s為其表面積，為其表面積，f f為常數(shù)為常數(shù)（2 2）對(duì)求解域的連續(xù)域進(jìn)行離散，即按一定方式將場(chǎng)域剖分為有限個(gè)單）對(duì)求解域的連續(xù)域進(jìn)行離散，即按一定方式將場(chǎng)域剖分為有限個(gè)單元體。若求解的是平面場(chǎng)，則可以用三角形、矩形、曲線四邊形等單元體。若求解的是平面場(chǎng)，則可以用三角形、矩形、曲線四邊形等單 2=-f2s1J=-2fd-ds2 元去分割（見(jiàn)圖元去分割（見(jiàn)圖1 1）。對(duì)于三維空間場(chǎng)，單元的形狀可以是四面體、長(zhǎng)）。對(duì)于三維空間場(chǎng)，單元的形狀可以是四面體、長(zhǎng)方體、任意六面體等（見(jiàn)圖方體、任意六面體等（見(jiàn)圖2 2）。不論是平面場(chǎng)還是空間場(chǎng)，對(duì)于同）。不論是平面場(chǎng)還

7、是空間場(chǎng)，對(duì)于同一求解域可以用不同類(lèi)型的單元去分割。究竟場(chǎng)域如何剖分及結(jié)點(diǎn)如一求解域可以用不同類(lèi)型的單元去分割。究竟場(chǎng)域如何剖分及結(jié)點(diǎn)如何編號(hào)等，需要根據(jù)場(chǎng)域及邊界的具體形狀、結(jié)構(gòu)、計(jì)算機(jī)容量、計(jì)何編號(hào)等，需要根據(jù)場(chǎng)域及邊界的具體形狀、結(jié)構(gòu)、計(jì)算機(jī)容量、計(jì)算速度和求解的精度等因素來(lái)確定。算速度和求解的精度等因素來(lái)確定。如平面場(chǎng)域中若用三角形如平面場(chǎng)域中若用三角形【見(jiàn)圖見(jiàn)圖1 1（a a）】，作為基本單元，當(dāng)單元中每個(gè)結(jié)，作為基本單元，當(dāng)單元中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度為點(diǎn)的自由度為1 1時(shí)，則線性場(chǎng)變量模型為時(shí)，則線性場(chǎng)變量模型為 （2 2）式中，式中， 代表單元內(nèi)任意一點(diǎn)的場(chǎng)量，代表單元內(nèi)任意一點(diǎn)的場(chǎng)

8、量，x x、y y為該點(diǎn)的坐標(biāo)，為該點(diǎn)的坐標(biāo)， 為系數(shù)為系數(shù)若用雙線性元的矩形單元若用雙線性元的矩形單元【見(jiàn)圖見(jiàn)圖1 1（b b）】為基本單元，則場(chǎng)變量模型為：為基本單元，則場(chǎng)變量模型為： （3 3）1234xy =+yxy（ ， ）xy（ ， ）1234xy =+xyxy（ ， ） （4 4）求出單元特征式。當(dāng)選定單元形狀和場(chǎng)變量模型后，就可確定表示單元）求出單元特征式。當(dāng)選定單元形狀和場(chǎng)變量模型后，就可確定表示單元特性的矩陣公式。例如，平面場(chǎng)中若選定三角形單元來(lái)分割，它的場(chǎng)變量模特性的矩陣公式。例如，平面場(chǎng)中若選定三角形單元來(lái)分割，它的場(chǎng)變量模型由（型由（2 2）式表示，其中系數(shù)）式表示，

9、其中系數(shù) 與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處的坐標(biāo)極點(diǎn)及電位值與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處的坐標(biāo)極點(diǎn)及電位值有關(guān)。若令三角形有關(guān)。若令三角形ijmijm【見(jiàn)圖見(jiàn)圖1 1（a a）】的三個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值分別為的三個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值分別為 、 和和 ，則有，則有 （4 4）ijm解式（解式（4 4）可得）可得 （5 5）式中式中 （6 6） 表示為表示為ijmijm三角形面積。將式（三角形面積。將式（5 5）代入式（）代入式（4 4）經(jīng)整理可得）經(jīng)整理可得 （6 6）其中其中 （7 7）iijjmmxy =N+N+N（ ， ）式（式（8 8）稱為三結(jié)點(diǎn)三角單元的形狀函數(shù)（也稱內(nèi)插函數(shù)或基函數(shù)）。至此）稱為三結(jié)點(diǎn)三角單元的形狀

10、函數(shù)（也稱內(nèi)插函數(shù)或基函數(shù)）。至此，可用已知結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)景及形狀函數(shù)來(lái)表示單元中未知點(diǎn)場(chǎng)量。，可用已知結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)景及形狀函數(shù)來(lái)表示單元中未知點(diǎn)場(chǎng)量。 若令式（若令式（1 1）中）中f=0f=0，對(duì)于第一、第二類(lèi)邊界條件，則式（，對(duì)于第一、第二類(lèi)邊界條件，則式（1 1）變?yōu)椋┳優(yōu)?(9) (9)這就是第一、第二類(lèi)邊界條件下的拉普拉斯方程所對(duì)應(yīng)的泛函。將這就是第一、第二類(lèi)邊界條件下的拉普拉斯方程所對(duì)應(yīng)的泛函。將式（式（7 7）代入式（）代入式（9 9），然后進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算可得），然后進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算可得21()d2VJV （10 10）這就是拉普拉斯方程的三角單元矩陣特征式這就是拉普拉斯方程的三角單元矩陣特征

11、式（5 5）集合單元特性得到表示整個(gè)解域性質(zhì)的矩陣方程式。為了求得）集合單元特性得到表示整個(gè)解域性質(zhì)的矩陣方程式。為了求得全系統(tǒng)模型的特性，就必須全系統(tǒng)模型的特性，就必須“集合集合”全部單元的特性，然后求泛函的全部單元的特性，然后求泛函的極值，導(dǎo)出聯(lián)立代數(shù)方程組（又稱有限元方程）。極值，導(dǎo)出聯(lián)立代數(shù)方程組（又稱有限元方程）?！凹霞稀彼罁?jù)的所依據(jù)的原理是：在一些單元相互連接的結(jié)點(diǎn)處，要求所有包括此結(jié)點(diǎn)的單元原理是：在一些單元相互連接的結(jié)點(diǎn)處，要求所有包括此結(jié)點(diǎn)的單元在該結(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量相同。（在該結(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量相同。（4 4）和（）和（5 5）步可一并由計(jì)算機(jī)來(lái)完成。）步可一并由計(jì)算機(jī)來(lái)完成。（6 6）求解有限元方程。這首先要考慮邊界條件，然后由計(jì)算機(jī)解出）求解有限元方程。這首先要考慮邊界條件，然后由計(jì)算機(jī)解出未知結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)變量值，通過(guò)這些結(jié)點(diǎn)值就能求出場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)量值未知結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)變量值，通過(guò)這些結(jié)點(diǎn)值就能求出場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)量值。總之，有限元法是從變分原理出發(fā)，通過(guò)區(qū)域劃分和分片插值找出形總之，有限元法是從變分原理出發(fā)，通過(guò)區(qū)域劃分和分片插值找出形狀函數(shù)，在通過(guò)狀函數(shù)，在通過(guò)“集合集合”把變分問(wèn)題近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問(wèn)題把變分問(wèn)題近似轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。因它在理論上以變分原理為基礎(chǔ)，這既保障了方法的收斂性，同時(shí)又因它在理論上以變分原理為基礎(chǔ)，這既保障了方法的收斂性，同