簡易邏輯與充要條件復習講義與習題

1、第三講 簡易邏輯與充要條件一知識歸納：1命題與邏輯聯(lián)結詞（1）命題：能夠判斷其真假的語句，因此疑問句、祈使句都不是命題.（2）若一個命題是正確的，該命題叫真命題；若一個命題不正確，該命題叫假命題.由命題的概念，一個命題不是真命題就是假命題。（3）由簡單命題用邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”聯(lián)結起來組成的命題叫復合命題.若用小寫字母p、q表示命題，則復合命題的基本形式是“p或q”，“ p且q”以及“ 非p”.（4）邏輯聯(lián)結詞“或”可以與集合中的“并”相聯(lián)系，AB=x|xA,或xB.邏輯聯(lián)結詞“且”可以與集合中的“交”相聯(lián)系，AB=x|xA,且xB。邏輯聯(lián)結詞“非”，可以與集合中的“補”相聯(lián)系 ，

2、CuA=x|xU,且xA.2、真值表（1）一個簡單命題的真假易于判斷，但一個復合命題的真假不一定容易判斷，真值表是判斷復合命題真假的有力工具。（2）對一個復合命題，如果能把它分解成一個或幾個簡單命題及邏輯聯(lián)結詞，只要逐一判斷簡單命題的真假，就可以很容易用真值表判斷這個復合命題的真假.（3）真值表中，“非p”形式的復合命題的真假與p相反；“p且q”形式的復合命題，當且僅當p、q都為真時為真，其余情況均為假；“p或q”形式的復合命題，當且僅當p、q都為假時為假，其余情況都為真.3四種命題（1）在初中學習原命題和逆命題的基礎上，引進了否命題和逆命題的概念。（2）將一個命題采用交換命題的條件和結論，同

3、時否定命題的條件和結論；同時否定和交換命題的條件和結論，分別產生了原命題的逆命題，否命題和逆否命題。如果原命題為“若p則q”，則逆命題為“若q則p”，否命題為“若¬ p 則¬ q”，逆否命題為“若¬ q 則¬ p”. （3）在四種命題之間關系的圖示中，要理解其中互逆，互否，互為逆否的含意.原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價. 4.反證法從命題結論的反面出發(fā)（假設），引出(與已知、公理、定理)矛盾，從而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。充要條件：(1)若pq，但pq，則說p是q的充分而不必要條件（q成立的充分條件是p）；(2)若p，但

4、pq，則說p是q的必要而不充分條件（q成立的必要條件是p）；(3)若p，且pq，則說p是q的既不充分也不必要條件.pq.此時，p既是q的充分條件，p又是q的必要條件，我們就說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.（當然此時也可以說q是p的充要條件）二例題講解：【例1】在一次模擬打飛機的游戲中，小李接連射擊了兩次，設命題p1是“第一次射擊擊中飛機”，命題p2是“第二次射擊擊中飛機”，試用p1，p2及聯(lián)結詞“或”“且”“非”表示下列命題：（1）兩次都擊中飛機；（2）兩次都沒擊中飛機；（3）恰有一次擊中飛機；（4）至少有一次擊中飛機。解答：（1）p1且p2；（2）p1且p2；（3）p1且p2（或p2

5、且p1）；（4）p1或p2【例2】已知函數(shù)f(x)在(-,+)上是增函數(shù)，a、bR，對命題“若a+b0，則f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”。（1）寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論；（2）寫出逆否命題，并證明你的結論；解答：(1) 逆命題是：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，則a+b0，真命題用反證法：假設a+b<0，則a<-b,b<-a，f(x)在(-,+)上是增函數(shù)，則f(a)<f(-b)，f(b)<f(-a)，f(a)+f(b)<f(-a)+ f(-b)，這與題設矛盾，所以逆命題為真。(2) 逆否命題是：若a+b0，則f(a)+

6、f(b)f(-a)+f(-b)，為真命題。一個命題它的逆否命題，可證明原命題為真命題。a+b0,a-b,b-a，又f(x)在(-,+)上是增函數(shù),f(a)f(-b), f(b)f(-a)，f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)。所以逆否命題為真。（2）注意“命題的否定形式”與“否命題”的區(qū)別。變式1：寫出命題“當abc=0時，a=0或b=0或c=0”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。分析：改造原命題成“若p則q形式”再分別寫出其相應的逆命題、否命題、逆否命題。在判斷真假時要注意利用等價命題的原理和規(guī)律。解答：原命題：若abc=0，則a=0或b=0或c=0。是真命題；逆命題：若a=

7、0或b=0或c=0，則abc=0。是真命題；否命題：若abc0，則a0且b0且c0。是真命題；逆否命題：若a0且b0且c0，則abc0。是真命題。變式2：判斷并證明下列命題的真假（1）如果一個整數(shù)n的平方是偶數(shù)，那么這個整數(shù)n本身也是偶數(shù)；（2）不存在實數(shù)k。使拋物線y=kx2+3x-1與x軸只有一個交點。解答：（1）真命題，用反證法證明。假使整數(shù)n不是偶數(shù)，則n可以寫成：n=2k+1(kZ) 2n2=(2k+1)2=2(2k2+2k)+1, kZ2k2+2kZ2(2k2+2k) 是偶數(shù),2(2k2+2k)+1是奇數(shù)。即n2為奇數(shù)，與已知矛盾。假設不成立，原命題為真命題。（2）假命題，舉反例如

8、：取k=-99，則拋物線y=-x2+3x-1與x軸只有一個交點。 44點評：欲說明一個命題為真命題，須通過邏輯證明；而證明一個命題為假命題，則舉一個反例即可?！纠?】（1）三個數(shù)lgx,lgy,lgz成等差數(shù)列是y2=xz成立的（ ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件（2）“”是“coscos”的（ ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件(3)若A是B的充分條件，B是C的充要條件，D是C的必要條件，則A是D的(4)方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實數(shù)根的充要條件是。解答：(1)由題意2lgy =lg

9、x+lgzlgy2 =lgxzy2 =xz，而x=y=z=0時，滿足y2 =xz，但不能使lgx,lgy,lgz成等差數(shù)列。故選A；(2) 當時cos=cos可以成立，如=,=-，但coscos時。選B。 33(3)由ABCD知填：充分非必要條件；(4)當a=0時，x=-1滿足；當a0時，令f(x)= ax2+2x+1，由于f(0)=1>0。當a>02時, =4-4a20, a1，即0<a1. 當a<0，f(0)=1，方程恒有負根。綜上a1。點評：(1)要使用要推出符號“”；(2)注意前后知識點的串聯(lián)?！纠?】已知數(shù)列an的前n項和Sn=pn+q，(p0且p1)，求數(shù)列

10、an成等比數(shù)列的充要條件。分析：先根據前n項和的公式，導出使an為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件。-當n=1時，a1=S1=p+q；當n2時，an=Sn-Sn-1=(p-1)pn1。由于p0且p1，所以當n2時，an是等比數(shù)列，要使an（nN*）成等比數(shù)列a2=p，即(p-1)p=p(p+q), q=-1，即an是等比數(shù)列的必要條件是p0且p1，且a1-q=-1，再證明充分性：當p0且p1，且q=-1時，Sn=pn-1；an=(p-1)pn1, an=p(n2) an-1an是等比數(shù)列。點評：注意公式an=(n=1)S1的合理運用。an-an-1(n2)3簡易邏輯與充要條件復習題一、選擇

11、題：1命題p與命題“非p” （ ）A可能都是真命題 B可能都是假命題C有且只有一個是真命題 D以上情況都有可能2已知命題p：若x、y是實數(shù)，且x2+y2=0，則x=y=0，命題q：若ab=0，則a=0，且b=0，下列說法中正確的是（ ）Ap真，q假，p且q假 BP真，q假，p或q假CP假，q假，p或q假 DP真，q真，p且q真3用反證法證明“方程ax2+bx+c=0”最多有兩個實根，應假設 （ ）A方程至少有一個實根 B方程至少有2個實根C方程至少有3個實根 D方程有一個實根4已知p:a、bR，且a2+b20，命題若p則a、b全為0；若p則a、b不全為0；若p則a、b全不為0；若p則a、b至多

12、有一個為0；若p則a、b至少有一個為0.其中真命題有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個5與命題“能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)是5”等價的命題是（ ）A能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)不一定是5 B不能被5整除的整數(shù)的末位數(shù)不是5C末位數(shù)不是5的整數(shù)不能被5整除 D末位數(shù)是5的整數(shù)能被5整除6已知a、bR，則“11>”是“a<b”的 （ ） abA充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要 D既不充分又不必要條件7下列幾個說法：“x<1”是“x<2”的必要條件；“xy=0”是“x=0”的充分條件；“x2+y2=0”是“x=0”的充分條件；“x2<1”是“x>-1”的充分

13、條件，其中正確的命題是 （ ）A、 B、 C、 D、8若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域是R，則f(x)>g(x)成立的充要條件是（ ）A有個xR，使得f(x)>g(x) B.有無數(shù)個xR，使得f(x)>g(x)C對R中的任意x，使得f(x)>g(x)+1 D.R中不存在x使得f(x)g(x)二、填空題9已知命題p:0是自然數(shù)，命題q:是無理數(shù)，則命題“非p”，“非q”，“p或q”，“p且q”中，假命題是 。10命題“若x1，則x2+2x+1>0”的否定形式是命題是 。11命題“未位數(shù)字是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除”的逆否命題是。12用反證法證明命題“若關于x的整系數(shù)一元

14、二次方程ax2+bx+c=0有有理根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)，”應假設13b2-4ac0是關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根的條件三、解答題14已知命題p：是無理數(shù)，命題q：2是有理數(shù)，寫出命題“非p”,“非q”，“p或q”，“p且q”并判斷它們的真假。15寫出命題“若=，則tan=tan”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假。16已知A是D的充分條件，D是B的必要條件又是C的充分條件，B是C的必要條件.問：（1）A是C的什么條件？A是B的什么條件？（2）A、B、C、D、中有幾對互為充要條件17若x、y、z均為實數(shù)，且a=x2-2y+中至少有一個大于零。18求關于x

15、的二次方程x+px+3=0有兩個大于1的根的充要條件5 2，b=y2-2z+，c=z2-2x+，求證a、b、c2363簡易邏輯與充要條件復習題答案與提示一、1C 2A 3C 4B 5C 6.D 7.B 8.D 二、9非p，p且q10若x-1,則x2+2x+10;若x=-1,則x2+2x+1011不能被2整除的整數(shù)的末位數(shù)字不是偶數(shù).12a、b、c都是奇數(shù) 13充分不必要三、14非p:不是無理數(shù)，為假,非q:2不是有理數(shù)，為真，p或q：是無理數(shù)或2是有理數(shù)，為真，p且q: 是無理數(shù)且2是有理數(shù)，為假.15逆命題：若tan=tan，則=,為假，否命題：若，則tantan，為假，逆否命題：若tantan，則，為真.16由已知，A、B、C、D之間有關系： ADCB（1）A是C的充分條件，A是B的充分條件；（2）有3對，B、C互為充要條件，B、D互為充要條件，C、D互為充要條件.17假設a,b,c均不大于0，即a0, b0, c0則a+b+c0。而a+b+c =x2-2y+2+y-2z+z2-2x+=