結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的常用數(shù)值方法

1、第五章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的常用數(shù)值方法51結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值算法 當(dāng)c為比例阻尼、線(xiàn)性問(wèn)題模態(tài)疊加最常用。但當(dāng)C無(wú)法解耦，有非線(xiàn)性存在，有沖擊作用（激起高階模態(tài)，此時(shí)模態(tài)疊加法中的高階模態(tài)不可以忽略）。此時(shí)就要借助數(shù)值積分方法，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，有一類(lèi)方法稱(chēng)為直接積分方法最為常用。所識(shí)直接是為模態(tài)疊加法相對(duì)照來(lái)說(shuō)，模態(tài)疊加法在求解之前，需要對(duì)原方程進(jìn)行解耦處理，而本節(jié)的方法不用作解耦的處理，直接求解。（由以力學(xué)，工程中的力學(xué)問(wèn)題為主要研究對(duì)象的學(xué)者發(fā)展出來(lái)的）中心差分法的解題步驟1. 初始值計(jì)算（1） 形成剛度矩陣K，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。（2） 定初始值，。（3） 選擇時(shí)間步長(zhǎng)，使它滿(mǎn)足，并

2、計(jì)算 ，（4） 計(jì)算（5） 形成等效質(zhì)量陣（6） 對(duì)陣進(jìn)行三角分解2對(duì)每一時(shí)間步長(zhǎng)（1） 計(jì)算時(shí)刻t的等效載荷 （2） 求解時(shí)刻的位移 （3） 如需要計(jì)算時(shí)刻t的速度和加速度值，則若系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣為對(duì)角陣時(shí)，則計(jì)算可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。紐馬克法的解題步驟1.初始值計(jì)算（1）形成系統(tǒng)剛度矩陣K，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C（2）定初始值，。（3）選擇時(shí)間步長(zhǎng)，參數(shù)、。并計(jì)算積分常數(shù) ， ， ，（4）形成等效剛度矩陣 （5）矩陣進(jìn)行三角分解 2. 對(duì)第一時(shí)間步長(zhǎng)（1）計(jì)算時(shí)刻的等效載荷 （2）求解時(shí)刻的位移 （3）計(jì)算時(shí)刻的加速度和速度 威爾遜-法的解題步驟1. 初始值計(jì)算 （1）形成系統(tǒng)剛度矩陣K，

3、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C（2）定初始值，。（3）選擇時(shí)間步長(zhǎng)，并計(jì)算積分常數(shù) ， ， ，（4）形成等效剛度 （5）將等效剛度進(jìn)行三角分解 2.對(duì)每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng) （1）計(jì)算時(shí)刻的等效載荷 （2）求解時(shí)刻的位移 （3）計(jì)算在時(shí)刻的加速度、速度和位移 52 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值算法性能分析對(duì)公式（5.1）描述的線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，已經(jīng)有證明對(duì)整個(gè)多自由度的積分，等價(jià)于將模態(tài)分解后對(duì)單自由度的積分的結(jié)果進(jìn)行模態(tài)疊加，因此可以通過(guò)對(duì)單自由度問(wèn)題的分析，來(lái)說(shuō)明算法的特性，其中阻尼均假設(shè)為比例阻尼，這樣，模態(tài)分解后的單自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為： （5-29）以下算法的性能分析，均將算法用于這個(gè)方程。521 算法

4、用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的有限差分表示將數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用于（5-29）, 即分別在相鄰的不同時(shí)刻應(yīng)用算法可得如下一般形式 （5-30）A為放大矩陣或稱(chēng)逼近算子，為載荷逼近算子。 例如將Newmak方法應(yīng)用于方程（5-29）有： （5-33） ， 矩陣A的特征多項(xiàng)式為 （5-34）其中A1，A為該矩陣的兩個(gè)特征向量，分別為矩陣的跡的一半和矩陣的行列式 （5-35） （5-36） （5-37）對(duì)Newmak方法有：, （5-38）其中 h為時(shí)間步長(zhǎng)，。Newmak方法放大矩陣的規(guī)模是二維的，因此特征值也只有兩個(gè)，可以根據(jù)它們進(jìn)行分析。有的算法放大矩陣是三維的，例如Wilson-方法,在無(wú)阻尼情況下放大矩

5、陣為： （5-39）放大矩陣A的特征多項(xiàng)式為： （540）其中A1，A2，A3為該矩陣的三個(gè)特征向量，分別為矩陣的跡的一半、各階主子式的和以及矩陣的行列式，對(duì)Wilson-方法有 （5-41）此外，在幾個(gè)不同時(shí)刻應(yīng)用數(shù)值算法，然后將方程中的速度和加速度項(xiàng)消去，可得數(shù)值算法關(guān)于位移的差分方程，例如Newmak方法，有 （5-42）很顯然，其特征方程與其放大矩陣A的特征方程是相同的，使用關(guān)于位移的線(xiàn)性多步方式和放大矩陣來(lái)說(shuō)明算法性能是一樣的，只不過(guò)各有方便之處。522 算法的穩(wěn)定性分析設(shè)為放大矩陣A的特征值，則定義為A的譜半徑，若特征值互異，則的算法是穩(wěn)定的，但若有重特征根，則要求。如果算法的穩(wěn)定

6、性要求對(duì)步長(zhǎng)的選取有限制，稱(chēng)算法是有條件穩(wěn)定的，反之為無(wú)條件穩(wěn)定的。放大矩陣的譜半徑小于等于1成立的充分條件是 （5-43）對(duì)的放大矩陣 （5-44）上兩式是關(guān)于算法自由參數(shù)的不等式，由它可以判斷算法是否無(wú)條件穩(wěn)定，若不是，將給出穩(wěn)定條件。 例51分析Newmak方法、Wilson-方法的穩(wěn)定性解： 將（5-38）代入（5-43）有顯然，當(dāng) （5-45）算法無(wú)條件穩(wěn)定。當(dāng)且 （5-46）算法穩(wěn)定，但為條件穩(wěn)定，其中為臨界采樣頻率。由于（5-43）式僅僅是充分條件，所以可進(jìn)一步按照穩(wěn)定性的定義得到節(jié)敘述的無(wú)條件穩(wěn)定條件。對(duì)Wilson-方法，將（5-41）代入（5-44）得 （5-47）容易看出

7、，其中第一，二，五不等式恒成立，對(duì)第三，四不等式若希望對(duì)任意的均成立，則有：求解上述不等式得 （5-48）實(shí)際使用中通常選取=1.4 算法的相容性和收斂性直接積分算法的相容性、收斂性分析同樣要使用其位移型的差分方程，或?qū)?yīng)的單步多值形式。在算法（5-30）式中，用精確解代替近似解，即可得到局部截?cái)嗾`差表達(dá)式，用符號(hào)表示 （5-49）局部截?cái)嗾`差表達(dá)式用放大矩陣的特征量以最常用的線(xiàn)性三步法為例可表示為 （5-50）其中分別為對(duì)應(yīng)的的放大矩陣的三個(gè)特征向量，然后將 在點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，然后利用運(yùn)動(dòng)平衡方程化簡(jiǎn)即可。若局部截?cái)嗾`差表達(dá)式為步長(zhǎng)的s（s>0）階小量，則稱(chēng)算法是s階相容的。對(duì)的放大矩

8、陣，可仿照上述步驟，來(lái)驗(yàn)證算法的相容性。在經(jīng)典的數(shù)值算法收斂性分析理論中，一個(gè)重要的結(jié)論就是相容加穩(wěn)定等于收斂，其相容的階數(shù)就是算法的精度階。收斂性的含義也是當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)趨于零，算法的數(shù)值解趨于精確解。對(duì)直接積分算法該定理同樣可以證明是成立的。例52分析Newmak法的相容性和精度解：其局部誤差仿照(550)式得： (5-51)也可以由(5-42)是直接求得，即將在點(diǎn)泰勒展開(kāi)，并注意到在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程有： （5-52）顯然，當(dāng)物理阻尼為零時(shí)，選擇算法是二階的，即截?cái)嗾`差是步長(zhǎng)的二階小量。物理阻尼的存在，使算法精度降了一階，但若同時(shí)選擇，算法精度仍然是二階的，一般稱(chēng)為Newmak線(xiàn)加速度法。顯然N

9、ewmak方法中有兩個(gè)參數(shù)待定，每種特定的選取都是一個(gè)特定的算法，最常用的幾個(gè)算法見(jiàn)表5-1表5-1： 常用的Newmak族直接積分算法方法名稱(chēng)穩(wěn)定條件無(wú)阻尼問(wèn)題精度階有阻尼問(wèn)題精度階類(lèi)型1/21/4平均加速度方法（梯形法）無(wú)條件21隱式1/21/6線(xiàn)性加速度方法22隱式1/20中心差分方法21顯式如果在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)需要求解一個(gè)隱式的方程組，則稱(chēng)算法是隱式的，反之不需要求解方程，直接計(jì)算即可得到下一時(shí)刻的值，則稱(chēng)算法是顯示的。從5.1節(jié)的Newmak方法的計(jì)算步驟可以看出，這類(lèi)方法是隱式的，但對(duì)于中心差分方法，若質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣都是對(duì)角矩陣就可以顯示地計(jì)算。顯然顯示方法計(jì)算量要小得多。讀者可

10、自行分析Wilson-方法的精度，不難分析，無(wú)論是無(wú)阻尼還是有阻尼其精度都是2階的，它也是隱式方法。 算法耗散和彌散特性算法的精度，在小步長(zhǎng)的情況下可以通過(guò)局部截?cái)嗾`差分析來(lái)說(shuō)明比較，但是，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，步長(zhǎng)的選取可能不是很小，此時(shí)如何來(lái)度量算法的計(jì)算精度，當(dāng)然可以針對(duì)有解析解的問(wèn)題進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，將數(shù)值解與解析解進(jìn)行比較來(lái)分析算法的計(jì)算精度。理論上還可以通過(guò)數(shù)值耗散(disspation)和彌散（dispersion）來(lái)輔助度量與分析，為引出這兩個(gè)概念的含義，我們?nèi)匀灰詥巫杂啥扔凶枘嶙杂烧駝?dòng)問(wèn)題為例，該問(wèn)題的解析解為： (5-53)當(dāng)直接積分算法用于這樣的問(wèn)題，前小節(jié)已經(jīng)講述過(guò)它可以

11、寫(xiě)成形如(5-42)的關(guān)于位移的有限差分形式，就是可以得到一個(gè)關(guān)于位移的有限差分方程，對(duì)于一個(gè)收斂的且有一定精度的算法，這個(gè)差分方程通常有一對(duì)共扼復(fù)根， (5-54)其中，該兩根稱(chēng)為主根，其它根稱(chēng)為寄生根(spurious roots)。解的一般形式可寫(xiě)為 (5-55)式中的稱(chēng)為算法阻尼比，當(dāng)有物理阻尼存在時(shí)，它還包括了物理阻尼的影響，稱(chēng)為算法頻率，對(duì)應(yīng)的稱(chēng)為算法周期?？梢钥吹缴鲜角皟身?xiàng)與(5-53)式形式是相同的，這給了我們與精確解進(jìn)行比較的可能，如果 1） 寄生根的影響較小，即 。2） 解表達(dá)式中得常數(shù)差別不太大。這樣，我們就可以通過(guò)比較不同算法的算法阻尼比和相對(duì)周期誤差，來(lái)比較算法的計(jì)算

12、精度。此時(shí)，對(duì)無(wú)阻尼問(wèn)題，可以很明顯看到算法阻尼比會(huì)使得數(shù)值解曲線(xiàn)的幅值與解析解相比要降低而產(chǎn)生振幅衰減，這就是所謂的算法的數(shù)值耗散。同時(shí)，不同的算法的算法周期與精確的周期會(huì)有一定的誤差，這個(gè)誤差一般用相對(duì)周期誤差來(lái)表示，它會(huì)使得數(shù)值解曲線(xiàn)上產(chǎn)生周期的延長(zhǎng)或縮短，即所謂的數(shù)值彌散。實(shí)際分析時(shí)，可以首先通過(guò)求解放大矩陣的特征方程得到特征方程的主根和寄生根，若主根可以表示為： (5-56)并注意到式(5-54)有 (5-57) (5-58) (5-59) (5-60)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，一般總希望算法在低頻段有較小的耗散和彌散，而且在低頻段，當(dāng)時(shí)，可以很方便地獲得它們的近似解析表達(dá)式。在高頻段算法的

13、耗散特性，用譜半徑來(lái)說(shuō)明更適合，一般用來(lái)度量算法對(duì)高頻分量的耗散特性，特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)算法具有高頻漸進(jìn)消去特性，即當(dāng)算法計(jì)算一步以后高頻極限完全地被耗散掉，而其它高頻分量由高到低漸進(jìn)地被耗散。由前面的敘述可以看到，算法放大矩陣的特征向量決定了算法對(duì)應(yīng)特征方程的根，也就決定了算法的穩(wěn)定性，同時(shí)確定了譜半徑、以及算法耗散和彌散特性。這些特性有時(shí)也稱(chēng)算法的譜特性。放大矩陣相同的不同算法，稱(chēng)為互相相同的，放大矩陣不同但特征值相同，稱(chēng)算法互相相似，或稱(chēng)算法頻譜等價(jià)的。對(duì)于算法的耗散特性，應(yīng)該說(shuō)明的是高頻耗散特性對(duì)實(shí)際的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)求解是有益的，因?yàn)閷?shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散以后計(jì)算出的高頻行為并不真正代表系統(tǒng)

14、的物理行為，它是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在空間進(jìn)行有限元離散的結(jié)果，是虛假的行為，而不具備高頻耗散特性的算法，是將所有頻率上的響應(yīng)全部進(jìn)行了積分，盡管步長(zhǎng)取得相對(duì)較大時(shí)，高頻的積分不準(zhǔn)確，這樣的計(jì)算結(jié)果顯然與系統(tǒng)實(shí)際的反應(yīng)不一致。但是同時(shí)要注意，它在低頻也不同程度地引入了數(shù)值耗散，這樣這些算法就不適合進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算，因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間以后應(yīng)該精確計(jì)算的低頻響應(yīng)，由于耗散特性的存在，已經(jīng)被耗散得面目全非，因此，有耗散特性的直接積分方法只適合計(jì)算瞬態(tài)的、短時(shí)間內(nèi)的低頻動(dòng)力響應(yīng)。例5-3 分析Newmak族算法頻譜特性解：對(duì)Newmak族算法來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)，算法才可能有二階精度，我們僅討論這一種情況。此時(shí)算法放大矩陣的兩個(gè)特

15、征量為： (5-61)則譜半徑不考慮物理阻尼時(shí)，對(duì)任意的有 (5-62) (5-63)就是無(wú)阻尼時(shí)，Newmak族算法不存在數(shù)值耗散，但有一定的相對(duì)周期誤差。對(duì)有阻尼問(wèn)題， (5-64) 算法的超調(diào)特性譜半徑這個(gè)指標(biāo)對(duì)算法性能的影響還需要進(jìn)一步說(shuō)明的是，它只決定算法的長(zhǎng)期特性，即可以保證隨著算法計(jì)算步數(shù)的增加計(jì)算過(guò)程是數(shù)值穩(wěn)定的。但對(duì)無(wú)條件穩(wěn)定的算法，由于步長(zhǎng)大小選擇沒(méi)有限制，一般在滿(mǎn)足指定精度的條件下，盡可能取較大的時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)于非零初始條件問(wèn)題，在計(jì)算開(kāi)始的幾步可能會(huì)出現(xiàn)初始數(shù)據(jù)及其誤差（如初始位移，速度的測(cè)量誤差，初始加速度的計(jì)算誤差）被放大的現(xiàn)象，這稱(chēng)為超調(diào)(overshoot)。這種

16、現(xiàn)象是放大矩陣A病態(tài)，有較大的條件數(shù)而產(chǎn)生的。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于當(dāng)算法是收斂的，不會(huì)出現(xiàn)超調(diào)。一般為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只分析當(dāng)時(shí)，在計(jì)算的第一步是否會(huì)出現(xiàn)超調(diào)。例54 分析Newmak平均加速度法的超調(diào)特性為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將Newmak平均加速度法用于無(wú)阻尼自由振動(dòng)問(wèn)題，此時(shí)其放大矩陣為： 在時(shí)，可得近似等式 (5-65)其中分別表示關(guān)于的零次和一次關(guān)系式。由此可知算法在位移上無(wú)超調(diào)，但由于初位移的影響，在速度上有關(guān)于線(xiàn)性超調(diào)現(xiàn)象。前面提過(guò)Wilson-方法有很強(qiáng)的超調(diào)現(xiàn)象，對(duì)無(wú)阻尼問(wèn)題，從放大矩陣的各元素的表達(dá)式中，很容易得到在時(shí)，可得近似等式 (5-66) (5-67)其中分別表示關(guān)于的二次和一次關(guān)

17、系式。由此可知Wilson-方法在位移上關(guān)于初位移有二次超調(diào)，同時(shí)關(guān)于初始速度有一次超調(diào)。在速度上有關(guān)于初位移一次超調(diào)。另外，也可以用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)指定的初始條件，計(jì)算出近似解，然后與精確解比較，或計(jì)算系統(tǒng)能量范數(shù)： (5-68)然后將比較。顯然，由于直接積分方法適合于短時(shí)間的瞬態(tài)問(wèn)題計(jì)算，因此超調(diào)現(xiàn)象也是必須加以注意的。綜上所述，對(duì)一個(gè)數(shù)值積分算法理論上要分析其相容性，穩(wěn)定性，數(shù)值的耗散與彌散特性，對(duì)無(wú)條件穩(wěn)定的算法還要分析其超調(diào)特性。這樣才可能對(duì)算法的本質(zhì)有深入的了解，進(jìn)而指導(dǎo)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的解釋與分析。此外，由于直接積分方法對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平衡方程進(jìn)行數(shù)值積分的目的在于估計(jì)結(jié)構(gòu)真實(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。

18、為了精確地預(yù)計(jì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，要求模態(tài)分解以后所有的單自由度平衡方程都必須被精確地積分，但在直接積分法中，對(duì)所有的方程積分都相當(dāng)于采用相同的步長(zhǎng)h，所以時(shí)間步長(zhǎng)的選擇必須針對(duì)系統(tǒng)的最小周期。如果是系統(tǒng)的最小周期的話(huà)，則h選為，其中一般n10。對(duì)條件穩(wěn)定的算法，當(dāng)然還要同時(shí)考慮這個(gè)選取是否滿(mǎn)足算法穩(wěn)定性的要求。對(duì)有條件穩(wěn)定的算法，要求，若n取10，多數(shù)的條件穩(wěn)定算法的穩(wěn)定條件都滿(mǎn)足，不難驗(yàn)證表51中的條件穩(wěn)定算法全都滿(mǎn)足。但需要注意的是，對(duì)于大型、復(fù)雜的實(shí)際結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)有限元離散以后通常都有上萬(wàn)，甚至幾十萬(wàn)個(gè)自由度，其最大固有頻率通常都很大，也就是系統(tǒng)的最小周期非常小，此時(shí)，按來(lái)選取步長(zhǎng)就非常小，

19、這會(huì)大大增加計(jì)算量。而實(shí)際工程上只關(guān)心較低階的固有頻率，同時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也主要由若干較低階的響應(yīng)構(gòu)成，因此在計(jì)算時(shí)高頻可以不用精確積分，就積分出那些主要的，感興趣的低頻響應(yīng)就可以了。也就是步長(zhǎng)可選擇為，比大倍。由于實(shí)際情況中可能會(huì)非常大，這樣條件穩(wěn)定算法的穩(wěn)定條件就可能無(wú)法滿(mǎn)足，而無(wú)條件穩(wěn)定算法對(duì)步長(zhǎng)的選取就沒(méi)有穩(wěn)定性的限制，因此對(duì)于實(shí)際的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算，多數(shù)都使用無(wú)條件穩(wěn)定算法。5.3 矩陣特征值問(wèn)題及解法531 .問(wèn)題分類(lèi) 這原本是廣義特征值問(wèn)題，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題，前乘，得 令，則有 這是代數(shù)里的標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問(wèn)題，對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題而言 M對(duì)角 對(duì)稱(chēng) M對(duì)稱(chēng)非對(duì)角 不一定對(duì)稱(chēng) 非

20、對(duì)稱(chēng)矩陣的結(jié)構(gòu)特征值問(wèn)題計(jì)算量很大，此時(shí)作如下處理：1 對(duì)M進(jìn)行Cholesky分解（因?yàn)镸對(duì)稱(chēng)正定） L（下三角陣）（上三角陣）代入方程 前乘得 提出U得 令 ， 則有 可以征明與A有相同的特征值，因?yàn)樗鼈兪窍嗨频木仃?，但是?duì)稱(chēng)的因?yàn)?所以對(duì)稱(chēng)。 只不過(guò)特征向量有所變化，求出以后 至于Cholesky分解，可直接由M（或K）的元素計(jì)算得到 的各非零元素 i=j+1,j+2,.,n上式依次取j=1,2,.,n，即可求得L的下三角部分各列元素。又若記 則其下三角之i=1,2,.,n行元素，依次為 j=1,2,i-15.3.2 特征值、特征向量的一些特性1.對(duì)角陣、三角陣、塊對(duì)角陣、塊三角陣對(duì)角陣

21、和三角陣的特征值就是這些矩陣對(duì)角元素的數(shù)值。塊對(duì)角陣和塊三角陣的特征值就是這些矩陣的對(duì)角線(xiàn)上各個(gè)子塊的特征值。2.幾種特殊矩陣（1）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)，其特征向量也可選為實(shí)向量。（2）反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值或者為純虛數(shù)，或者為零。（3）正定對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值全部大于零。（4）對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量彼此正交。3.與原矩陣A相關(guān)聯(lián)的幾種矩陣設(shè)矩陣A的特征值是，其對(duì)應(yīng)的特征向量是x，則（1）陣的特征值是，特征向量是x；（2）陣的特征值是（），特征向量x；（3）是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則的特征值就是；（4）陣的特征值是，特征向量仍為x,m為整數(shù)；（5）若A非奇異，則A的逆矩陣存在，記為，是的特征

22、值為，特征向量為x；（6）若矩陣B與A相似，即有可逆陣P存在，使 則B的特征值也是，特征向量是4.特征值的積與積若矩陣A的特征值為、.，則有 它們可作為校核、估計(jì)甚至計(jì)算特征值的手段，讀者可以自行驗(yàn)證。533 特征值問(wèn)題的基本計(jì)算方法 由于高于四次的一元代權(quán)方程無(wú)法求精確解，所以必然要采用迭代方法求計(jì)算求近似解。目前的迭代方法，只不過(guò)迭代的方法和技巧不同。已有很多成熟方法。 方法選擇時(shí)主要取決于 1) 所要求的特征對(duì)數(shù)目 2）K、M的階，3）K、M的帶寬以及是否帶狀。 根據(jù)用到的基本關(guān)系大致可分四類(lèi) 1.向量迭代法（冪迭代法Power iteration method） 基本關(guān)系 根據(jù)迭代格式

23、不同又分： 正向迭代 （冪迭代）逆迭代 （反冪迭代）主要用于求特征向量。 2.變換法 基本關(guān)系： 質(zhì)量歸化為的模態(tài)矩陣 雅可比迭代（Jacobi）（小模型實(shí)對(duì)稱(chēng)陣標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題的全部特征對(duì)方法） 廣義雅可比迭代（求全部特征對(duì)，小模型的廣義特征值問(wèn)題，或者有大量非對(duì)角線(xiàn)零元素和少量對(duì)角線(xiàn)零元素問(wèn)題） 豪斯霍爾德（Householder）3.多項(xiàng)式迭代法（不單獨(dú)使用）基本關(guān)系： 顯式多項(xiàng)式迭代 隱式多項(xiàng)式迭代4.斯圖姆（Sturm）序列法 利用的Sturm序列性質(zhì)來(lái)求解。 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題絕大多數(shù)使用有限元法方法離散求解。隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和速度能力的成倍提高，所建模型越來(lái)越精確，幾十萬(wàn)、上百萬(wàn)個(gè)自由度的計(jì)算成為可能。為此發(fā)展了一些針對(duì)大型特征值問(wèn)題的方法，它們綜合上述典型方法和技巧，常用的有：多項(xiàng)式迭代 行列式探索法（帶寬較窄的低階特征值問(wèn)題。 子空間迭代法（Subspace iteration）(與行列式法相似，但計(jì)算量小) 蘭索斯（Lanczos）法向量迭代 HQRI(HouseholderQR 迭代方法)（針對(duì)大型滿(mǎn)陣的大多數(shù)或全部的特征值和向量）逆迭