信號與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題及答案

信號與系統(tǒng)復(fù)習(xí)第一章信號與系統(tǒng)一、基礎(chǔ)知識在連續(xù)時間范圍內(nèi)（）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。周期信號是定義在區(qū)間，每個一定時間T（或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。連續(xù)周期信號為；離散周期信號為，m為零和整數(shù)。注意離散信號的周期性，只有當(dāng)為有理數(shù)時，序列才存在周期，否則不存在周期，故為非周期序列。物理可實現(xiàn)的信號常常為時間t（或k）的實函數(shù)，其在各時間的函數(shù)（或序列）值為實數(shù)；復(fù)數(shù)函數(shù)（或序列）值為復(fù)數(shù)的信號稱為復(fù)信號，最常用的是復(fù)指數(shù)信號。若信號的能量有界（即（能量），這時（功率）），則稱其為能量有限信號，簡稱為能量信號；若信號的功率有界（即，這時），則稱其為功率有限信號，建成為功率信號。沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)定義為，。沖激函數(shù)的移位性質(zhì)定義為，。沖激函數(shù)的尺度變換性質(zhì)為，沖激函數(shù)為偶函數(shù)。階躍信號可以表達(dá)函數(shù)在時間上的區(qū)域，如門函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的激勵為連續(xù)信號，若其響應(yīng)也是連續(xù)信號，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)；當(dāng)系統(tǒng)的激勵為離散信號時，若其響應(yīng)也是離散信號，則稱其為離散系統(tǒng)。系統(tǒng)的線性性兩個含義：齊次性和可加性；線性系統(tǒng)的完全響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)（或）和零輸入響應(yīng)（或）的和，即。由于時不變系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間變化，故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)形式就與輸入信號接入時間無關(guān)。若系統(tǒng)有，則或。如果LTI連續(xù)系統(tǒng)在激勵的作用下，則零狀態(tài)響應(yīng)為，那么，當(dāng)激勵為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為；如果LTI離散系統(tǒng)在激勵的作用下，則零狀態(tài)響應(yīng)為，那么，當(dāng)激勵為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為。若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵之前的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。就是說只有激勵出現(xiàn)后才有零狀態(tài)響應(yīng)，即。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指，對于有界的激勵，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，這常稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定。即，。基本計算信號表達(dá)與運(yùn)算信號表達(dá)將信號表達(dá)為閉合形式。見教材page33題1.3和1.4。信號運(yùn)算利用信號的平移、反轉(zhuǎn)、縮放等操作對信號進(jìn)行運(yùn)算。一般規(guī)則為首先平移，然后反轉(zhuǎn)，最后縮放來完成。見教材page33題1.6和1.7。(5)(1)(3)(5)特殊函數(shù)性質(zhì)和計算沖激函數(shù)利用沖激函數(shù)的性質(zhì)計算。見page35題1.10階躍函數(shù)利用階躍函數(shù)的定義和性質(zhì)計算。見教材page33題1.3、1.4、1.6和1.7。關(guān)系沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的微分，階躍函數(shù)是沖激函數(shù)的積分。即，。系統(tǒng)性質(zhì)線性性：見教材page38題1.24、1.25時不變性：見教材page38題1.24、1.25因果性：見教材page38題1.25穩(wěn)定性：見教材page38題1.25應(yīng)用見教材page33題1.2第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析一、基礎(chǔ)知識1、LTI連續(xù)系統(tǒng)的解等于差分方程的齊次解（或自由響應(yīng)）和特解（強(qiáng)迫響應(yīng)）之和。2、LTI連續(xù)系統(tǒng)的齊次解的函數(shù)形式僅僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而與激勵的序列形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。3、LTI連續(xù)系統(tǒng)的全響應(yīng)可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)為自由響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)和部分自由響應(yīng)之和。4、LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)激勵為沖激函數(shù)時的零狀態(tài)響應(yīng)；系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為系統(tǒng)激勵為階躍函數(shù)時的零狀態(tài)響應(yīng)。5、LTI連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的微分，即；階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分，即。6、沖激函數(shù)與一般函數(shù)的卷積積分等于該普通函數(shù)，即，或；時域平移的沖激函數(shù)與一般函數(shù)的卷積等于該函數(shù)的平移。7、兩個平移函數(shù)的卷積具有，其中平移具有。8、兩個函數(shù)和的卷積積分為，則該卷積積分的微分屬性滿足：二、基本計算1）時域系統(tǒng)分析見教材page79題2.4。2）沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)見教材page2.14和2.153）卷積積分見教材page81題2.17、2.18。三、應(yīng)用見教材page83題2.27、2.28第三章離散系統(tǒng)的時域分析一、基礎(chǔ)知識1、差分方程是具有地推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可以求得差分方程的數(shù)值解。2、LTI離散系統(tǒng)的解等于差分方程的齊次解（或自由響應(yīng)）和特解（強(qiáng)迫響應(yīng)）之和。3、LTI離散系統(tǒng)的齊次解的函數(shù)形式僅僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而與激勵的序列形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。4、LTI離散系統(tǒng)的全響應(yīng)可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)為自由響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)為強(qiáng)迫響應(yīng)和部分自由響應(yīng)之和。5、LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為系統(tǒng)激勵為單位序列時的零狀態(tài)響應(yīng)；系統(tǒng)的階躍序列響應(yīng)為系統(tǒng)激勵為階躍序列時的零狀態(tài)響應(yīng)。6、LTI離散系統(tǒng)單位序列響應(yīng)是階躍序列響應(yīng)的差分，即；階躍序列響應(yīng)是單位響應(yīng)的和，即。7、單位序列與一般序列的卷積和等于該序列，即，或；時域平移的單位序列與一般序列的卷積等于該序列的平移。8、兩個平移序列的卷積具有，其中平移具有。二、基本計算1）系統(tǒng)響應(yīng)見教材page110題3.6。2）單位序列響應(yīng)和階躍序列響應(yīng)見教材page111,3.83）卷積和見教材page111題3.12。三、應(yīng)用見教材page112題3.14*第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析一、基礎(chǔ)知識1、如果在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù)滿足等式，，則此函數(shù)稱為完備正交函數(shù)集。2、信號為周期信號的表示為：，其中m為任意整數(shù)，時間T稱為該信號的重復(fù)周期。3、任何滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)可以分解為直流和許多余弦（或正弦）分量。其中分量項為一次諧波或基波，分量為i次諧波。4、若為時間t的周期偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)分解中含有直流和相位為0的許多余弦分量；若為時間t的周期奇函數(shù)，其傅里葉級數(shù)分解中只含有相位為0的許多正弦分量。5、若為時間t的周期奇諧函數(shù)，其傅里葉級數(shù)分解中只含有奇次諧波，而不含直流和偶次諧波。6、周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式中傅里葉系數(shù)滿足的關(guān)系，其中，*表示共軛。負(fù)頻率的引入只是為了方便計算，沒有實際的物理意義。7、為了直觀地表示出信號所含各分量的振幅，以頻率（或角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波的振幅或復(fù)指數(shù)函數(shù)的振幅為縱坐標(biāo)作圖，獲得的線圖稱為幅度頻譜，簡稱幅度譜；各諧波初相位與頻率的線圖稱為相位頻譜，簡稱相位譜。如果為實數(shù)，那么可用的正負(fù)表示相位為0和。周期信號的頻譜是離散的，其中幅度譜為偶對稱，相位譜為奇對稱。8、脈沖寬度為的周期矩形脈沖（其周期為T），其頻譜（指數(shù)形式傅里葉級數(shù)系數(shù)）為；頻譜僅含有的各分量，即頻譜是離散的，相鄰兩譜線之間的間隔為；周期越大，譜線間隔越小，反之亦然；其各譜線的幅度按包絡(luò)線的規(guī)律變化，在的各處包絡(luò)為零，相應(yīng)的譜線的值為零（頻譜分量為零）。9、非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)的實質(zhì)為頻譜密度函數(shù)。包含幅度譜和相位譜；其中幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)。10、傅里葉變換的線性性質(zhì)有兩個含義：齊次性和可加性。11、周期信號的傅里葉變換（頻譜密度）由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波角頻率位置，其強(qiáng)度為各相應(yīng)幅度的倍。12、頻率響應(yīng)函數(shù)可以定義為系統(tǒng)響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的傅里葉變換與激勵的傅里葉變換之比，即。其幅頻函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù)，相頻特性為關(guān)于的奇函數(shù)。13、信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。在時域的表達(dá)為：，其中K和t0為常數(shù)；在頻域的表達(dá)為。14、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：，其中幅頻特性為，相頻特性為（線性相位）。15、理想低通濾波器在低于某一角頻率的信號將無失真?zhèn)魉?，而阻止角頻率高于的信號通過，其中為截止頻率。16、理想濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為17、理想低通濾波器實際上是不可能實現(xiàn)的。18、一個頻率在區(qū)間以外為零的頻帶有限信號，可以為一地有其在均勻間隔上的樣點值確定。19、為了能從取樣信號中恢復(fù)原信號，需要滿足兩個條件：必需是帶限信號，其頻譜函數(shù)在各處為零；取樣頻率不能過低，必需滿足，或者說取樣間隔不能太長，必需滿足，否則將會發(fā)生混疊。最低允許取樣頻率稱為奈奎斯特頻率。20、傅里葉變換性質(zhì)：尺度變換、時移特性、平移特性、卷積定理、時域微分、頻域微分?；居嬎?、周期信號的頻譜例題4.7（第201頁）解答：（a）指數(shù)形式三角形式（b）2、非周期信號的頻譜（1）常見信號的傅立葉變換（2）用的傅里葉變化性質(zhì)對稱性若，則（3）一般信號的傅立葉變換第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析一、基礎(chǔ)知識1、拉普拉斯變換中的復(fù)變量s在復(fù)平面上的取值區(qū)域稱為像函數(shù)的收斂域。2、因果信號像函數(shù)的收斂域為s平面的區(qū)域；反因果信號象函數(shù)的收斂域為s平面的區(qū)域；雙邊函數(shù)的拉普拉斯變換的收斂域為s平面的區(qū)域。3、對于因果信號，若拉普拉斯變換存在，則單邊的拉普拉斯變換和雙邊的拉普拉斯變換的值相等，且收斂域相同，為右半平面。4、不同信號的拉普拉斯變換的值相同，其收斂域一定不同。5、拉普拉斯變換性質(zhì)：尺度變換和時移特性；時域微分特性；復(fù)頻移（s域平移）特性；卷積定理。6、系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵的象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)。7、當(dāng)因果信號拉氏變換收斂域包括復(fù)平面虛軸，則其傅立葉變換。二、基本計算1、拉普拉斯變換1）正變換Page263題5.12）利用性質(zhì)Page236題5.3（2）、（5）、（13）、（15）Page264題5.4逆變換Page264題5.8（2）、（5）、（8）、（10）2、系統(tǒng)分析見教材page265題5.12、5.15。三、應(yīng)用見教材page26第六章離散系統(tǒng)的z域分析一、基礎(chǔ)知識1、雙邊Z變換和單邊Z變換，如果是因果序列，則單邊、雙邊z變換相等，否則二者不相等。2、在Z變換的定義中，如果能使定義中求和存在的所有復(fù)變量z在z平面上的取值區(qū)域。3、因果序列的z變換收斂域是在z平面上，收斂半徑為的圓外區(qū)域；反因果序列的z變換收斂域是在z平面上，收斂半徑為的圓內(nèi)區(qū)域；多個序列的z變換收斂域是每個序列收斂域的交集，即在z平面上的公共區(qū)域。4、起始點在負(fù)軸上的右邊序列，其z變換收斂域是在z平面上半徑為的圓外區(qū)域，但不包含點；起始點在正軸上左邊序列，其z變換收斂域是在z平面上半徑為的圓內(nèi)區(qū)域，但不包含0點。5、Z變換性質(zhì)：移位（移序）特性（注意單邊和雙邊的區(qū)別）、z域尺度變換、卷積定理、z域微分。6、LTI離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)Z變換的象函數(shù)與激勵Z變換的象函數(shù)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)。7、當(dāng)因果序列的Z變換收斂域包括z平面上的單位圓，則該序列的頻率特性可以定義為：。8、Z變換的復(fù)變量z和拉普拉斯變換的復(fù)變量s的關(guān)系為，z平面與s平面之間的映射為非一一映射；s平面的虛軸映射至z平面的單位圓上，s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)部；s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外部。二、基本計算1、Z變換1）正變換Page319題6.22）利用性質(zhì)Page320題6.5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）3）逆變換Page321題6.10、6.112、系統(tǒng)分析見教材page321題6.16。6.17三、應(yīng)用見教材page322題6.18、6.26第七章系統(tǒng)函數(shù)一、基礎(chǔ)知識1、LTI系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量為s或z的有理多項式分式，即。分母多項式的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點；分子多項式的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點。極點和零點的值可能是實數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于和的系數(shù)都是實數(shù)，所以零、極點若為復(fù)數(shù)，則必為共軛對。2、若LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實單極點（即極點在s平面的負(fù)實軸上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時單調(diào)趨于零；當(dāng)有實部為負(fù)數(shù)的共軛極點時（即極點在s平面的左半平面上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時振蕩趨于零。3、若LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有正實單極點（即極點在s平面的正實軸上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時單調(diào)趨于；當(dāng)有實部為正實數(shù)的共軛極點時（即極點在s平面的右半平面上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時振蕩趨于。4、若LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有一階虛數(shù)單極點（即極點在s平面的虛軸上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時是振蕩不變；當(dāng)高階虛數(shù)單極點（即極點在s平面的虛軸上），則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時振蕩趨于。5、若LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點有在z平面的單位圓內(nèi)的實軸上，則所對應(yīng)的響應(yīng)序列當(dāng)時單調(diào)趨于零；當(dāng)在z平面的單位圓內(nèi)的其它區(qū)域，則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時振蕩趨于零。6、若LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有極點在z平面的單位圓外的實軸上，則所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)當(dāng)時單調(diào)趨于；當(dāng)有極點在z平面的單位圓外的其它區(qū)域，則所對應(yīng)的響應(yīng)當(dāng)時振蕩趨于。7、若LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有一階單極點在z平面的單位圓上，則所對應(yīng)的響應(yīng)當(dāng)時振蕩不變；當(dāng)有高階單極點在z平面的單位圓上，則所對應(yīng)的響應(yīng)當(dāng)時振蕩趨于8、LTI連續(xù)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是其系統(tǒng)函數(shù)收斂域為；LTI離散系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是其系統(tǒng)函數(shù)收斂域