8、正比例和反比例

1、年級(jí)六年級(jí)科目數(shù)學(xué)主講老師正比例和反比例二、本周學(xué)習(xí)目標(biāo)1、使學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境認(rèn)識(shí)成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判 斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。2、使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù) 據(jù)在方格紙上畫(huà)出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個(gè)量的數(shù)值看圖估計(jì)另一個(gè) 量的數(shù)值。3、使學(xué)生在認(rèn)識(shí)成正比例、反比例的量的過(guò)程中，初步體會(huì)數(shù)量之間相依互變的 關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提升思維水平。4、使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的意 識(shí)，養(yǎng)成積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)

2、學(xué)的信心。三、考點(diǎn)分析1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值 （也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值， 正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：-=K （一定）。X2、用“描點(diǎn)法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對(duì)照?qǐng)D像， 能根據(jù)一種量的值，估計(jì)另一種量相對(duì)應(yīng)的值。3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量， 它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y分別表示兩

3、種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積， 反比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：xy= K （一定）。4、兩個(gè)變量的比值一定，這兩個(gè)變量成正比例；兩個(gè)變量的積一定，這兩個(gè)變量 成反比例；沒(méi)有上述兩種關(guān)系，這兩個(gè)變量不成比例?！镜湫屠}】例1、（正比例的意義） 一列火車行駛的時(shí)間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系?時(shí)間/時(shí)123456路程/千米120240360480600720分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時(shí)間和路程兩種量。（2）從左往右看，時(shí)間擴(kuò)大，路程也擴(kuò)大；從右往左看，時(shí)間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的120240360量。（3）路程和時(shí)間的比值始終不變，0 = 120 , 一 =

4、120 ,= 120這123個(gè)比值就是火車的行駛速度。通過(guò)觀察和計(jì)算，我們對(duì)路程和時(shí)間的關(guān)系有兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：第一點(diǎn)路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時(shí)間變化，路程也隨著變化； 第二點(diǎn)路程和對(duì)應(yīng)的時(shí)間的比的比值路程（也就是速度）是一定的，有這樣的關(guān)系：=速度（一定）。時(shí)間具備了這兩個(gè)條件，我們就可以得到結(jié)論：行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系；行駛的路程和時(shí)間成正比例的量。點(diǎn)評(píng)：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個(gè)條件， 再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。 如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比

5、值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：上=K （一定）。X例2、（判斷是否成正比例） 練習(xí)本的單價(jià)一定，買練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)是不是成正比例？為什么？分析與解：根據(jù)正比例的意義， 看兩個(gè)變量的比值是否一定，如果兩個(gè)變量的比值定，那么這兩個(gè)變量就成正比例，反之，則不成正比例。買練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習(xí)本的單價(jià)有下面的關(guān)系：買練習(xí)本的總價(jià)數(shù)量練習(xí)本的單價(jià)（一定）所以練習(xí)本的數(shù)量和總價(jià)成正比例。例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系如下。時(shí)間/分1234567路程/千米7142128354249（1 ）圖中的點(diǎn)A表示時(shí)間為1分鐘時(shí)，磁懸浮列車駛過(guò)的路程為7千

6、米。請(qǐng)你試著描出其他各點(diǎn)。（2 ）連接各點(diǎn)，它們?cè)谝粭l直線上嗎？（3）根據(jù)圖像判斷，列車運(yùn)行2分半鐘時(shí)，行駛的路程是多少千米？行駛 30千米分析與解：根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個(gè)點(diǎn)，再依次連成直線。路程和時(shí)間相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值都是 7,即速度一定，路程和時(shí)間成正比例，圖像是一條直線。對(duì) 照?qǐng)D像，可以根據(jù)時(shí)間的值估計(jì)出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計(jì)出時(shí)間的值，估計(jì)時(shí)允許有一定的出入。（1）描點(diǎn)、連線如圖。（2）在一條直線上，因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間成正比例，正比例的圖像是一條直線。（3）根據(jù)圖像，列車運(yùn)行 2分半鐘時(shí)，行駛的路程是 17.5千米；行駛30千米大 約需要4.3分鐘。例4、（辨析）圓的周

7、長(zhǎng)和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例?分析與解：圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例?？闪斜砼袛?。半徑/cm123456直徑/cm24681012周長(zhǎng)/cm6.2812.5618.8425.1231.437.68面積/cm 23.1412.5628.2650.2478.5113.04圓的周長(zhǎng)和直徑的相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值都是3.14，所以圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。 圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。例5、（反比例的意義）下表是王師傅加工一批零件時(shí)，每小時(shí)加工零件個(gè)數(shù)隨時(shí) 間變化的情況。這兩種

8、量有什么關(guān)系？每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)/個(gè)2030406080加工的時(shí)間/時(shí)128643分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間兩種 量。（2）從左往右看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)擴(kuò)大，加工的時(shí)間反而縮??； 從右往左看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)縮小，加工的時(shí)間反而擴(kuò)大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（3）每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和相對(duì)應(yīng)的加工的時(shí)間的積都始終不變，如20 X 12 = 240 ,30 X 8 = 240 , 40 X 6 = 240而這個(gè)積就是這批零件的總個(gè)數(shù)。通過(guò)觀察和計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的 量，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)隨著加工的

9、時(shí)間變化而變化，但無(wú)論它們?cè)趺醋兓?，相?duì)應(yīng)的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)X加工的時(shí)間=零件的總個(gè)數(shù)（一定）。所以每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工的時(shí)間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。點(diǎn)評(píng)：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步： 一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個(gè)條件， 再看它們的乘積是否一定， 進(jìn)行判斷。不要省去任何一步。 如果用字母x和y分別表示 兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值， 正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：xyK （一定）。例6、（判斷是否成反比例） 總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是不是成反

10、比例？ 為什么？分析與解：根據(jù)反比例的意義， 看兩個(gè)變量的乘積是否一定， 如果兩個(gè)變量的積一 定，那么這兩個(gè)變量就成反比例，反之，則不成反比例。每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關(guān)系：每公頃的產(chǎn)量 X公頃數(shù)=總產(chǎn)量（一定）所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)成反比例。例7、（辨析）和一定，一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)成反比例。分析與解：判斷兩個(gè)變量是否成反比例，關(guān)鍵是看兩個(gè)變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個(gè)加數(shù)的積是變化的，所以它們不成反比例。和一定，一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)不成反比例。因?yàn)樗鼈兊姆e不一定。點(diǎn)評(píng)：有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也

11、不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減 數(shù)一定，被減數(shù)和差等。例& （綜合題1） （1）長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)和寬成反比例嗎？為什么？（2）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬成反比例嗎？為什么？分析與解：判斷時(shí)可以用列表的方式列舉數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)計(jì)算的公式來(lái)推導(dǎo)。（1 ）因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng) X寬=長(zhǎng)方形的面積（一定），所以長(zhǎng)和寬成反比例。（2）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng) =（長(zhǎng)+寬）X2,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng) +寬的和一定，但 不是積一定，所以長(zhǎng)和寬不成反比例。例9、（綜合題2）分別說(shuō)明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中， 每?jī)煞N量的比例關(guān)系。（1）大米的總千克數(shù)一定，每天吃

12、的千克數(shù)和天數(shù)；（2）每天吃的千克數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和天數(shù)；（3）天數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。分析與解：在大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中， 當(dāng)某一種量一 定時(shí)，另外兩種量可能成正比例關(guān)系， 也可能成反比例關(guān)系?？梢愿鶕?jù)數(shù)量關(guān)系式來(lái)判 斷。（1）因?yàn)槊刻斐缘那Э藬?shù)X天數(shù)=大米的總千克數(shù)（一定），所以大米的總千克數(shù)一定時(shí)，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。（2）因?yàn)榇竺椎目偳Э藬?shù)天數(shù)=每天吃的千克數(shù)（一定），所以每天吃的千克數(shù)一定時(shí)，大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。（3）因?yàn)榇竺椎目偳Э藬?shù) 每天吃的千克數(shù)天數(shù)（一定），所以天數(shù)一定時(shí)，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)成正比

13、例?！灸M試題】1仔細(xì)觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么? 表格1數(shù)量/本13681020總價(jià)/元41224324080表格2單價(jià)/元1.523456總價(jià)/元6812162024表格3 用60元錢購(gòu)買筆記本，筆記本的單價(jià)和可以購(gòu)買的數(shù)量如下表:單價(jià)/元1.523456數(shù)量/本4030201512102、 用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25頁(yè)，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X 頁(yè)。題中（）量一定，關(guān)系式：（）0（）=（）（定），（ ）和（）成（）比例。3、 一間會(huì)客室地面用邊長(zhǎng) 0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長(zhǎng) 0.4米 的正方形地磚，需要

14、Y塊。題中（）量一定，關(guān)系式:( )0(）和（）成（）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長(zhǎng)、高這三種量中當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)一定時(shí)，（）與（）成（）比例；當(dāng)咼一疋時(shí)，（）與（）成（）比例；當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，（）與（）成（）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中，當(dāng)（）一定時(shí)，（）與（）成正比例；當(dāng)（）一定時(shí)，（）與（）成反比例；6、當(dāng) a x b = c ( a、b、c為三種量，且均不為 0）。（）一定，（）與（）成（）比例；（）一定，（）與（）成（）比例；（）一定，（）與（）成（）比例；7、判斷。（1 ）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。（）（2） 、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。（）（3） 、X

15、和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量， 同時(shí)5X-7Y= 0,X和Y不成比例。（）（4） 、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（5） 、在一定的距離內(nèi)，車輪周長(zhǎng)和它轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)成反比例。（）（6） 、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。（）（7）訂閱小學(xué)數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)手冊(cè)的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。（）（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時(shí)間成反比例。（）（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。（）（10）正方體的棱長(zhǎng)和體積成正比例。（）（11）被除數(shù)一定，除數(shù)和商成反比例。（）（12）圓的周長(zhǎng)和它的直徑成正比例。（）8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。

16、（1 ）、裝配一批電視機(jī)，每天裝配臺(tái)數(shù)和所需的天數(shù)（）。（2 ）、正方形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)（）。（3）、水池的容積一定，水管每小時(shí)注水量和所用時(shí)間（）。（4） 、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)（）。（5）、在一定時(shí)間里，加工每個(gè)零件所用的時(shí)間和加工零件的個(gè)數(shù)（）。（6） 、在一定時(shí)間里，每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)和加工零件的個(gè)數(shù)（）。9、 思考：明明三歲時(shí)體重 12千克，十一歲時(shí)體重 44千克。于是小張就說(shuō)：“明明的體 重和身高成正比例?！蹦阏J(rèn)為小張的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？10、某造紙廠每小時(shí)造紙 1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)各造紙多少噸？來(lái)。（1）把下表填寫完整。造紙時(shí)間/時(shí)1234造紙噸數(shù)/噸1.5（

17、2 ）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們連起（3）造紙噸數(shù)與造紙時(shí)間成正比例嗎？為什么?（4）根據(jù)圖像判斷，5小時(shí)造紙多少噸？【試題答案】1、仔細(xì)觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么? 表格1數(shù)量/本13681020總價(jià)/元412243240801=4,12 = 4 , 24= 436因?yàn)榭們r(jià)數(shù)量單價(jià)（一定），所以單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數(shù)量成正比例。表格2單價(jià)/元1.523456總價(jià)/元68121620246812=4,= 4 ,= 41.523總因?yàn)榭傹R=數(shù)量（一定所以數(shù)量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成正比例。表格3 用60元錢購(gòu)買筆記本，筆記本的單

18、價(jià)和可以購(gòu)買的數(shù)量如下表:單價(jià)/元1.523456數(shù)量/本4030201512101.5 X 40 = 60，2 X 30 = 60, 4 X 15 = 60因?yàn)閱蝺r(jià)X數(shù)量=總價(jià)（一定），所以總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例。2、 用一批紙裝訂練習(xí)本，每本 25頁(yè)，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X 頁(yè)。題中（ 紙的總頁(yè)數(shù) ）量一定，關(guān)系式：（每本頁(yè)數(shù) ）X （裝訂本數(shù)） =（紙的總頁(yè)數(shù) ）（一定），（每本頁(yè)數(shù) ）和（ 裝訂本數(shù)）成（反）比例。3、 一間會(huì)客室地面用邊長(zhǎng) 0.3米的正方形地磚鋪，需要 640塊。如果改用邊長(zhǎng) 0.4米 的正方形地磚，需要 Y塊。題中（ 會(huì)客室地面面積

19、）量一定，關(guān)系式：（每塊磚的面積 ）X （磚的塊 數(shù)）=（會(huì)客室地面面積 ）（一定），（每塊磚的面積 ）和（ 磚的塊數(shù) ） 成（反）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長(zhǎng)、高這三種量中當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)一定時(shí)，（側(cè)面積）與（高）成（正）比例；當(dāng)高一定時(shí)，（側(cè)面積）與（ 底面周長(zhǎng)）成（正）比例； 當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，（底面周長(zhǎng)）與（ 高）成（ 反）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中，當(dāng)（除數(shù) ）一定時(shí)，（被除數(shù)）與（ 商）成正比例； 當(dāng)（被除數(shù)）一定時(shí)，（除數(shù)）與（商）成反比例；6、 當(dāng)a x b = c （ a、b、c為三種量，且均不為 0）。 （c ）一定，（a ）與（b ）成（反）比例； （a ） 一定，（c ）與（b ）成（正）比例； （b ） 一定，（c ）與（a ）成（正）比例；7、判斷。（1 ）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。（V ）（2） 、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。（x ）（3） 、X和丫表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)5X 7Y= 0,X和丫不成比例。（ X ）（4） 、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。（V ）（5） 、在一定的距離內(nèi)，車輪周長(zhǎng)和它轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)成反比例。（V ）（6） 、兩種相關(guān)