e時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與信息技術(shù)

1、e時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與信息技術(shù)（提綱） 王鵬遠(yuǎn) 北大附中 2008 11 提要1、 技術(shù)的飛速發(fā)展給生活工作在e時(shí)代的人們帶來(lái)哪些影響？2、 技術(shù)的進(jìn)步給工作在e時(shí)代數(shù)學(xué)教師帶來(lái)哪些變化？3、 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合是發(fā)展的必然選擇、理想和現(xiàn)實(shí)的沖突4、 怎樣認(rèn)識(shí)信息技術(shù)與用于數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)？5、 在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)會(huì)削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考嗎？6、 一個(gè)嶄新的課題信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的有機(jī)融合7、 實(shí)效性信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵 技術(shù)的飛速發(fā)展給生活工作在e時(shí)代的人們帶來(lái)哪些影響？我們生活在一個(gè)技術(shù)迅猛發(fā)展的時(shí)代，我們的生活方式和工作方式正由于技術(shù)的進(jìn)步悄無(wú)聲息地發(fā)生著深刻的變化只要看看

2、大街上利用手機(jī)通訊人群你就能感受到這一點(diǎn)了啊，原來(lái)e時(shí)代這么具體！再一想，辦公室的辦事員，商場(chǎng)的收銀員，工廠的工程師，銀行的會(huì)計(jì)，醫(yī)生，記者，他們的工作方式都發(fā)生了變化，效率提高了，工作變得更加便捷；聯(lián)系我們的日常生活，也感到數(shù)字化正在提高人們的生活質(zhì)量，如網(wǎng)上的信息查詢，網(wǎng)上定購(gòu)電子機(jī)票，提款機(jī)取錢(qián)，持卡消費(fèi)，網(wǎng)上閱讀，網(wǎng)上聊天，人們一方面感受到技術(shù)的進(jìn)步帶來(lái)的好處，另一方面又遭遇到技術(shù)的挑戰(zhàn)特別是老年人，他們不會(huì)打手機(jī)，不會(huì)上網(wǎng)發(fā)信息，嘆息這社會(huì)發(fā)展得太快了，怎么跟也跟不上呀！隨著生活和工作方式的改變，人們的觀念也在變e時(shí)代，這是一個(gè)充滿變革的時(shí)代 技術(shù)的進(jìn)步給工作在e時(shí)代數(shù)學(xué)教師帶來(lái)哪些

3、變化？如果說(shuō)信息技術(shù)的進(jìn)步使辦公室的辦事員，商場(chǎng)的收銀員，工廠的工程師，銀行的會(huì)計(jì)等多種行業(yè)的人們的工作負(fù)擔(dān)有所減輕的話，現(xiàn)在問(wèn)數(shù)學(xué)教師是否也享受到信息技術(shù)的進(jìn)步帶來(lái)的實(shí)惠了嗎？他們的工作負(fù)擔(dān)是否由于信息化有所減輕？他們的生活質(zhì)量是否由于信息化有所提高？對(duì)于大多數(shù)教師對(duì)這個(gè)問(wèn)題的答案是否定的其中有些教師甚至抱怨教育信息化不但沒(méi)有減輕反而加重了他們的負(fù)擔(dān)過(guò)去在傳統(tǒng)教學(xué)如果備課用一小時(shí)，現(xiàn)在為了體現(xiàn)信息技術(shù)做課件就得三小時(shí)甚至半天或幾天看來(lái)，信息技術(shù)能使許多從事別的工作的人受益，惟獨(dú)對(duì)數(shù)學(xué)教師不僅無(wú)益反而有害！事情果真如此嗎？否！原來(lái)信息技術(shù)發(fā)展得太快了，以至絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師還不了解技術(shù)在教育上深

4、藏的潛力一個(gè)是不了解除了傳統(tǒng)的教學(xué)資源外，現(xiàn)在還有可以共享的新型的數(shù)學(xué)教育資源一個(gè)是不了解除了傳統(tǒng)的教學(xué)工具之外還有先進(jìn)的智能教育平臺(tái)因此，多數(shù)數(shù)學(xué)教師還停留在某種個(gè)體手工業(yè)勞動(dòng)者的工作方式，他們生活在e時(shí)代，但他們的工作方式和思維方式還停留在上個(gè)世紀(jì)讓我們結(jié)合下面的例子看第一個(gè)問(wèn)題，關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的資源庫(kù)例、為什么橢圓是圓錐截線，怎么和課本上的定義統(tǒng)一？例、怎樣利用投針求圓周率的近似值？例、怎樣幫助學(xué)生理解定積分的概念？這些問(wèn)題通過(guò)調(diào)出課件庫(kù)中的相應(yīng)課件：雙球、投針實(shí)驗(yàn)和定積分都可以輕松得到解決。不必從事低水平的重復(fù)勞動(dòng)。因此，生活在e時(shí)代對(duì)教學(xué)資源應(yīng)該有新的認(rèn)識(shí)，還應(yīng)該有共享資源的意識(shí)。讓我

5、們結(jié)合下面的例子看第二個(gè)問(wèn)題，關(guān)于數(shù)學(xué)工具例、一張紙對(duì)折次，次，次，次，次，可以得到多少層？例、已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1的左右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形內(nèi)切圓圓心的軌跡?？磥?lái)計(jì)算機(jī)的數(shù)字計(jì)算功能和智能畫(huà)圖功能確實(shí)可以大大減輕數(shù)學(xué)教師的負(fù)擔(dān)，提高工作的成效！一個(gè)資源庫(kù)，一個(gè)工具平臺(tái)應(yīng)該是生活在在e時(shí)代的數(shù)學(xué)教師所必備的。誰(shuí)說(shuō)數(shù)學(xué)教師不能享受信息技術(shù)的進(jìn)步帶來(lái)的成果呢？ 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合是發(fā)展的必然選擇、理想和現(xiàn)實(shí)的沖突處在這個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)得到了前所未有的發(fā)展的大好時(shí)機(jī)，數(shù)學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)域極大地拓寬了，應(yīng)用數(shù)學(xué)的人群也不僅限于從事理工科的人員，更多的人在工作中需要數(shù)學(xué)。數(shù)

6、學(xué)教育因此遇到了極大的挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)能否變得容易一些？數(shù)學(xué)教學(xué)能否更有成效，使學(xué)習(xí)者通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力？于是中外教育工作者開(kāi)始寄希望于技術(shù)，希望借助信息技術(shù)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)的難度，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)。這就是這些年來(lái)在教師培訓(xùn)中和不少雜志文章中提到的信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合。近年來(lái)，國(guó)家在改善學(xué)校教學(xué)環(huán)境方面投入了巨大的資金，學(xué)校建立了校園網(wǎng)，教室里有了多媒體。教育部還制定了中小學(xué)教師教育技術(shù)能力標(biāo)準(zhǔn)，建立了培訓(xùn)、考核認(rèn)證制度。以為教學(xué)質(zhì)量會(huì)因此而得到明顯的提高。但是事與愿違，理想和現(xiàn)實(shí)發(fā)生了沖突。教育質(zhì)量并沒(méi)有隨著信息技術(shù)環(huán)境的改善得到提高。這一情況

7、不僅在我國(guó)存在，在發(fā)達(dá)國(guó)家也存在。例如美國(guó)年的一份調(diào)查報(bào)告說(shuō)使用教學(xué)軟件無(wú)助提高教學(xué)質(zhì)量。那么信息技術(shù)真的對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)不產(chǎn)生積極的影響嗎？我們的看法是要研究什么是一般通用的信息技術(shù)，什么是適合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的適合學(xué)科特點(diǎn)的信息技術(shù)，后者才是數(shù)學(xué)教師歡迎并能對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)起作用的信息技術(shù)。、 怎樣認(rèn)識(shí)信息技術(shù)與用于數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)？ 一談技術(shù)，現(xiàn)在一般指的是多媒體和網(wǎng)絡(luò)，被專(zhuān)家推薦給教師在課堂上使用最多的則是ppt。其實(shí)這些技術(shù)本身不是專(zhuān)為數(shù)學(xué)開(kāi)發(fā)的，當(dāng)然很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，得不到數(shù)學(xué)教師的普遍認(rèn)可。深入學(xué)科教學(xué)首先需要研究數(shù)學(xué)對(duì)技術(shù)最迫切的需求。數(shù)學(xué)是怎么一門(mén)學(xué)科呢？恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是

8、研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)?！边@就是說(shuō)數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象和數(shù)與形。盡管隨著近代數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象更廣泛了，但在初等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象是“數(shù)”與“形”這一點(diǎn)并沒(méi)有改變。所以數(shù)學(xué)教學(xué)最關(guān)注的顯然還是處理“數(shù)”與“形”的技術(shù)。對(duì)于處理“數(shù)”的技術(shù)人們并不陌生，例如算盤(pán)、計(jì)算尺、計(jì)算器等就是用來(lái)計(jì)算數(shù)的，它們的優(yōu)勢(shì)是比手工計(jì)算要快，而這些技術(shù)在以往初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中都遇到過(guò)。只是現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的速度太快了，國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了多種專(zhuān)為數(shù)學(xué)研發(fā)的工具平臺(tái)，具有更加強(qiáng)大的處理“數(shù)”與“形”的功能，對(duì)此，廣大教師卻并不熟悉。 技術(shù)的進(jìn)步對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有怎樣的影響呢？讓我們以“指數(shù)爆炸”

9、為例進(jìn)行一些討論。過(guò)去，沒(méi)有技術(shù)的支持，我們只能把印度王子獎(jiǎng)勵(lì)軍棋發(fā)明家大米的故事講給學(xué)生聽(tīng)，但棋盤(pán)上64個(gè)格子放的大米?？倲?shù)1+2+究竟有多大，教師只能把事先計(jì)算的結(jié)果講給他們聽(tīng)。有了計(jì)算器情況變了，學(xué)生不是通過(guò)聽(tīng)而是可以通過(guò)自己實(shí)地計(jì)算來(lái)感悟指數(shù)爆炸。然而在課堂上用計(jì)算器計(jì)算時(shí)間顯得不夠，計(jì)算速度還嫌慢，怎么辦？現(xiàn)在智能教育平臺(tái)就大顯神通了。學(xué)生可以更迅速地通過(guò)操作得到結(jié)果（下圖是利用智能平臺(tái)計(jì)算的結(jié)果，其中左面是程序工作區(qū)，右面是計(jì)算結(jié)果）。實(shí)踐表明課堂使用的效果很好，學(xué)生們被這個(gè)結(jié)果所吸引，以至下課后學(xué)生還久久不愿離開(kāi)，圍著計(jì)算機(jī)數(shù)這個(gè)結(jié)果的位數(shù)。 這里的指數(shù)爆炸實(shí)際上說(shuō)的是指數(shù)函數(shù)在

10、底大于1時(shí)增長(zhǎng)得快的函數(shù)性質(zhì)，它比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快得多。例如就比增長(zhǎng)得快?？梢杂谩皥D”形象地說(shuō)明這一點(diǎn)，只要畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象就行了，許多教師在教學(xué)上就是這么做的，不過(guò)以往是在黑板上用粉筆畫(huà)圖，當(dāng)然比較費(fèi)時(shí)間。有了技術(shù)的支持，情況大不一樣了，我們可以隨手畫(huà)出下面的數(shù)形結(jié)合的“動(dòng)”圖。用鼠標(biāo)選擇橫軸上的點(diǎn)x拖動(dòng)，可以看到對(duì)應(yīng)于兩個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的變化以及相應(yīng)的函數(shù)值的變化。這個(gè)動(dòng)圖的優(yōu)越性不僅在于通過(guò)動(dòng)表現(xiàn)函數(shù)的變化，還在于可以通過(guò)“動(dòng)手”操作觀察函數(shù)值的變化。一個(gè)圖比語(yǔ)言更容易被人理解，而可以動(dòng)手操縱的動(dòng)態(tài)圖象比原來(lái)的靜圖的效果更是強(qiáng)過(guò)千百倍。有誰(shuí)會(huì)拒絕這樣的技術(shù)支持呢？不過(guò)光靠直觀還不夠。

11、譬如學(xué)生不滿足拿指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)作比較。他們可能問(wèn)比增長(zhǎng)得快嗎？一般地，如何認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)？例如比增長(zhǎng)得快嗎？這時(shí)如何理解指數(shù)爆炸？如果光憑圖象觀察很可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論，因?yàn)閺膱D上看，要比增長(zhǎng)快得多，而受計(jì)算機(jī)屏幕大小的限制又不便于展現(xiàn)當(dāng)自變量取很大數(shù)值時(shí)函數(shù)的圖象。（見(jiàn)下圖左）難道的增長(zhǎng)真的不如嗎？這時(shí)技術(shù)又可以幫忙了，讓我們通過(guò)數(shù)字計(jì)算比較當(dāng)x充分大時(shí)兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的大小?？匆韵掠?jì)算的結(jié)果，這里計(jì)算機(jī)屏幕上的變量尺的滑紐是可以用鼠標(biāo)選中拖動(dòng)的（這個(gè)變量尺中變量的變化范圍也可以人為很方便地設(shè)定），當(dāng)把滑紐x拖動(dòng)到364 .42時(shí)我們看到后來(lái)居上，以后并一直超過(guò)函數(shù)。（見(jiàn)下圖右

12、）看以下計(jì)算的結(jié)果，這里計(jì)算機(jī)屏幕上的變量尺的滑紐是可以用鼠標(biāo)選中拖動(dòng)的（這個(gè)變量尺中變量的變化范圍也可以人為很方便地設(shè)定），當(dāng)把滑紐x拖動(dòng)到364 .42時(shí)我們看到后來(lái)居上，以后并一直超過(guò)函數(shù)。 由此看來(lái)，隨著技術(shù)的進(jìn)步關(guān)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)方法可以得到不斷改進(jìn)。同樣的內(nèi)容，教學(xué)效果卻可以大不相同！數(shù)學(xué)教學(xué)嘗到了技術(shù)支持的甜頭。不難設(shè)想，如果廣大教師了解了現(xiàn)在先進(jìn)的智能教育平臺(tái)有這么強(qiáng)大的處理數(shù)和形的能力，他們的教學(xué)將會(huì)變得怎樣?？梢钥隙?，數(shù)學(xué)課堂會(huì)更加吸引學(xué)生，數(shù)學(xué)將變得容易理解，更加有趣，更有魅力。、 在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)會(huì)削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考嗎？技術(shù)是個(gè)雙刃劍，對(duì)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用技

13、術(shù)一些教師有一些擔(dān)心。一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是如何處理直觀和抽象。有的教師擔(dān)心：用了形象和直觀，學(xué)生看了可能只是知其然而不知其所以然，學(xué)生的思維活動(dòng)將被直觀取代，那么技術(shù)還不如不用的好。 這種擔(dān)心有一定的道理。因?yàn)閿?shù)學(xué)是具有高度抽象性的學(xué)科，如果數(shù)學(xué)教學(xué)止步于形象直觀或過(guò)早地呈現(xiàn)直觀材料都會(huì)削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，但數(shù)學(xué)教學(xué)中卻決不應(yīng)該忽視直觀的作用。經(jīng)驗(yàn)表明，如果沒(méi)有充分的直觀支持，學(xué)生的數(shù)學(xué)概念多是死記硬背，抽象思維的質(zhì)量是大打折扣的。他們頭腦中所謂的抽象數(shù)學(xué)概念實(shí)際上是他們自己并不理解的生澀空洞的文字和數(shù)學(xué)符號(hào)的組合，沒(méi)有任何生命力。教學(xué)中這樣的例子還少嗎，例如有多少高中學(xué)生真正理解函數(shù)的概念，真正理

14、解極限的定義？這顯然不是由于使用直觀形象材料太多的緣故，也不是使用技術(shù)造成的。所以不應(yīng)該把直觀和抽象對(duì)立起來(lái)，也不能以數(shù)學(xué)具有高度的抽想性為由拒絕使用技術(shù)。 下面我們以函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)為例進(jìn)行一番討論。最近全球金融危機(jī)引起了億萬(wàn)人對(duì)股市的關(guān)注，每天多少眼球緊盯著股市的升降不放，但這其中沒(méi)有多少人能聯(lián)系到這后面的函數(shù)單調(diào)性的概念，更沒(méi)有多少人能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)的單調(diào)性。這說(shuō)明抽想的數(shù)學(xué)概念和公眾之間存在不小的距離，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交瘮?shù)學(xué)表述方式與公眾之間存在一條難以逾越的語(yǔ)言鴻溝。所以縮短認(rèn)識(shí)上距離，克服語(yǔ)言間的鴻溝就是數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注的問(wèn)題了。我們的看法是有必要設(shè)計(jì)一個(gè)啟發(fā)學(xué)生積極參與的

15、過(guò)程，由特殊到一般，由直觀到抽象，由感性到理性，由意會(huì)到言傳，由不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)明到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硎?，再由抽象到具體。 課本是這樣敘述函數(shù)單調(diào)性的定義的： “設(shè)D是函數(shù)的定義域，區(qū)間I是D的子集，如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值，當(dāng)<時(shí)都有，那么就說(shuō)是區(qū)間I上的遞增函數(shù)，如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值，當(dāng)<時(shí)都有，那么就說(shuō)是區(qū)間I上的遞減函數(shù)?！?學(xué)生對(duì)這段話感到難于理解，教學(xué)上怎么處理？使用技術(shù)能有助于克服困難嗎？其實(shí)以往的教學(xué)也需要借助直觀。以往的教材先是從正比例和二次函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，進(jìn)而用“一般地說(shuō)，函數(shù)的單調(diào)性可以這樣定義”由此引出上面那段文字。這里正比例和二次函數(shù)的圖象就是幫助學(xué)生理解單調(diào)性概念

16、的具體的直觀材料。但這對(duì)于突出函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間性質(zhì)，以及理解定義中的“如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值，當(dāng)<時(shí)都有”起的作用顯然不夠?，F(xiàn)在利用利用智能平臺(tái)可以方便地呈現(xiàn)出下面函數(shù)的圖象（左下圖），讓學(xué)生從圖象觀察函數(shù)的變化，這個(gè)函數(shù)圖象比起直線和二次函數(shù)圖象復(fù)雜，有兩個(gè)函數(shù)遞減區(qū)間和一個(gè)函數(shù)遞增區(qū)間，著就更能凸現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性是緊密和某一區(qū)間聯(lián)系在一起的。在這個(gè)圖象的基礎(chǔ)上還可以呈現(xiàn)一個(gè)通過(guò)鼠標(biāo)控制的動(dòng)圖，用鼠標(biāo)選擇橫軸上動(dòng)點(diǎn)x拖動(dòng)，觀察函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。這一動(dòng)函數(shù)值隨著自變量如何變化清晰可見(jiàn)。為了幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)單調(diào)性的定義，還可以呈現(xiàn)右下圖。這里、都可以通過(guò)鼠標(biāo)拖動(dòng)，于是“對(duì)于

17、I上任意兩個(gè)值，當(dāng)<時(shí)都有”這段話中“任意的”通過(guò)拖動(dòng)鼠標(biāo)得到了很好的詮釋。我們還可以利用“隱藏/顯示”功能根據(jù)教學(xué)需要呈現(xiàn)動(dòng)圖或靜圖。譬如在引入概念時(shí)呈現(xiàn)靜圖以給學(xué)生更多的思考，隨著概念抽象的不斷深入再呈現(xiàn)動(dòng)圖。選擇“隱藏”還是“顯示”的時(shí)機(jī)則根據(jù)課堂學(xué)生思維活動(dòng)的需要和節(jié)奏而定。由此可見(jiàn)，技術(shù)確實(shí)可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中派上用場(chǎng)，不僅沒(méi)有削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，反而能促進(jìn)學(xué)生的深入思考。再一個(gè)問(wèn)題是對(duì)于計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在教師中間也存在著爭(zhēng)議。其實(shí)，當(dāng)前不少教師已經(jīng)自覺(jué)或不自覺(jué)地把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入到教學(xué)中去了。例如，在講解函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，教師演示利用幾何畫(huà)板做的可控制系數(shù)的二次函數(shù)圖象課件，

18、通過(guò)鼠標(biāo)控制系數(shù)的變化，讓學(xué)生觀察屏幕上函數(shù)圖象隨之發(fā)生的變化，進(jìn)而歸納出函數(shù)的圖象和性質(zhì)。對(duì)于其教學(xué)效果，教師們則是評(píng)價(jià)不一?？隙ǖ囊庖?jiàn)是：通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以生動(dòng)地在屏幕上看到系數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，由一系列特例得出一般規(guī)律，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象易于理解了；反對(duì)的意見(jiàn)是：數(shù)學(xué)畢竟不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)把結(jié)果一下子呈現(xiàn)出來(lái)，無(wú)形中削弱了數(shù)學(xué)思考，憑什么a>0時(shí)函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面的上半部分？憑什么函數(shù)圖象都過(guò)原點(diǎn)且與y軸對(duì)稱(chēng)？學(xué)生看到計(jì)算機(jī)的演示結(jié)果卻不思考其中的道理，從長(zhǎng)遠(yuǎn)看是有益還是有害？ 我們的意見(jiàn)是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展并不都是來(lái)自邏輯推理。幾何學(xué)實(shí)際上起源于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，某些數(shù)學(xué)

19、的靈感也來(lái)源于實(shí)驗(yàn)、觀察和猜想。所以數(shù)學(xué)不排斥實(shí)驗(yàn)，特別是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)階段，但數(shù)學(xué)不能止步于實(shí)驗(yàn)和猜想。而計(jì)算機(jī)則為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)了一個(gè)理想的實(shí)驗(yàn)室。計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維提供了技術(shù)的平臺(tái)。讓我們看兩個(gè)例子。 一個(gè)來(lái)自幾何的例子。ABC中，ADBC, BEAC, CFAB，則AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)，且ADE=ADF（下圖左）。如果把這個(gè)題目直接給學(xué)生，它的教學(xué)價(jià)值僅僅是訓(xùn)練學(xué)生的推理證明能力，而淹沒(méi)了這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)探究過(guò)程。現(xiàn)在修改一下教學(xué)思路，設(shè)計(jì)成如下的活動(dòng)：讓學(xué)生按照本題的已知條件畫(huà)圖，問(wèn)他們發(fā)現(xiàn)了什么。這時(shí)學(xué)生的任務(wù)就比剛才復(fù)雜了，多數(shù)學(xué)

20、生可能發(fā)現(xiàn)了三線交于一點(diǎn)，而一眼看出ADE=ADF的學(xué)生就比較少。這就鍛煉了學(xué)生的洞察和猜想能力，當(dāng)然接下去要驗(yàn)證或證明猜想。從數(shù)學(xué)教育的價(jià)值看，后者更有意義。技術(shù)在其中又能起什么作用呢？我們以為在計(jì)算機(jī)上畫(huà)圖，一是快速準(zhǔn)確，二是通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖形中的不變關(guān)系，三是能夠及時(shí)測(cè)量動(dòng)態(tài)圖形中我們關(guān)心的數(shù)據(jù)。因此計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就更有成效。把題目改一下，ABC中，ADBC，E為 AC上任意一點(diǎn)，連BE交AD于L，作直線CL交AB于F，這時(shí)ADE=ADF還成立嗎（下圖右）？ 我們可以用鼠標(biāo)選中點(diǎn)E拖動(dòng)觀察ADE和ADF的大小，還可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)的測(cè)量，然后才是對(duì)觀察到的事實(shí)進(jìn)行證明，不是僅看到現(xiàn)

21、象而已。上述實(shí)驗(yàn)并不排斥推理，也不排斥動(dòng)筆在紙上畫(huà)圖和證明，但更側(cè)重讓學(xué)生經(jīng)歷包含發(fā)現(xiàn)探究在內(nèi)的全過(guò)程。顯然這樣完整的實(shí)驗(yàn)需要?jiǎng)邮?，還要?jiǎng)幽X，不僅需要合情推理，還需要演繹推理。 一個(gè)來(lái)自代數(shù)的例子。一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖象如果相交，其交點(diǎn)的位置如何，一定在一、三象限的角平分線上嗎？如果在，請(qǐng)給出證明，否則，請(qǐng)給出反例。 大多數(shù)學(xué)生（包括不少教師）都認(rèn)為其交點(diǎn)一定在一、三象限的角平分線上，理由是一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖象關(guān)于一、三象限的角平分線對(duì)稱(chēng)。其實(shí)這個(gè)認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，讓我們?cè)谟?jì)算機(jī)上作下面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：1 作函數(shù)的圖象；2 作一、三象限的角平分線；3 作函數(shù)的圖象關(guān)于一、三象限的角平分線的對(duì)

22、稱(chēng)圖形；4 作可通過(guò)鼠標(biāo)控制a、b變化的變量尺；5 用鼠標(biāo)選擇控制a、b變化的滑紐觀察屏幕上函數(shù)圖象的變化。于是得到了下面的反例：，這個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，其中有兩個(gè)不在一、三象限的角平分線上。這個(gè)實(shí)驗(yàn)充分體現(xiàn)出技術(shù)的優(yōu)越性，如果沒(méi)有智能平臺(tái)的支持而僅僅借助與紙和筆很難這么迅速地得到反例。另外，這個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)自一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，通過(guò)這樣的問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑的科學(xué)精神和批判性思維，而這樣的問(wèn)題的教育價(jià)值比大量模仿固定題型的訓(xùn)練要有意義。我們是否可以考慮用計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富學(xué)生的課外活動(dòng)呢？ 、 一個(gè)嶄新的課題信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的有機(jī)融合這樣看來(lái)，我們需要面對(duì)一個(gè)嶄新的課題，

23、即信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的有機(jī)融合怎樣才能作到這點(diǎn)呢？首先還是要對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分析，對(duì)技術(shù)能在教學(xué)中發(fā)揮的作用進(jìn)行分析，然后設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)例如，講一元一次方程，不等式的解法，就不必用技術(shù)講函數(shù)圖象的變換，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論等就適合用技術(shù)例：怎樣講函數(shù)的周期性？例：怎樣講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性？除了選準(zhǔn)使用技術(shù)的內(nèi)容還要考慮使用技術(shù)的時(shí)機(jī)方式等等、 實(shí)效性信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵教學(xué)效率、教學(xué)效果是使用信息技術(shù)始終需要關(guān)注的問(wèn)題。我們以下舉幾個(gè)高考復(fù)習(xí)的例子。例已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C D 分析:這里的兩個(gè)函數(shù)是什么函數(shù),見(jiàn)到

24、這兩個(gè)函數(shù)應(yīng)該想到哪一串知識(shí)?又應(yīng)該如何下手?例設(shè) (理科學(xué)生做)函數(shù)y=x22x在區(qū)間a，b上的值域是1,3,則點(diǎn)（a，b）的軌跡是圖中的（ ）A線段AB和線段AD B線段AB和線段CDC線段AD和線段BC D. 線段AC和線段BD例.函數(shù)f(x)=x|x| + bx+ c 給出下列四個(gè)命題：c = 0時(shí)，y= f(x)是奇函數(shù)b=0 , c >0時(shí)，方程f(x)=0 只有一個(gè)實(shí)根y = f(x)的圖象關(guān)于(0 , c)對(duì)稱(chēng)方程f(x)=0至多有兩個(gè)實(shí)根其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）A4 B3 C2 D1例. 設(shè)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍 第（1）問(wèn)要用到哪些知識(shí)？別急，一步步來(lái)！ 第（2）問(wèn)看懂了嗎？畫(huà)個(gè)圖也許能猜出結(jié)果來(lái)，然后證明你的猜想。（）當(dāng)（）時(shí)，即；當(dāng)（）時(shí)，即因