2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講三角函數(shù)

1、1、 本講進(jìn)度三角函數(shù)復(fù)習(xí)2、 本講主要內(nèi)容1、 三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等；3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、角的概念的推廣。從運(yùn)動(dòng)的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于 3600 的角。這樣一來，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定（通常把角的始邊 放在x軸正半軸上，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，下同）。為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進(jìn)終 邊相同的角的概念，凡是與終邊相同的角，都可以表示成k3600+ %的形式，特例，終邊在x軸上的角集合%| %=k 180O, k6Z,終邊在y軸上的角集合司=k 180&

2、#176;+90°, k 6 Z,終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合%|%=k 900, k6Z。在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)， 通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式=| %|R,扇形面積公式s 1 r -r2i |,其中為弧所22對(duì)圓心角的弧度數(shù)。2、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角 函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。設(shè)P（x, y）是角口終邊上任一點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），記r |OP| vx2 y2 ,則sin

3、y , cos j , , yxtan 一 , cot 一。xy利用三角函數(shù)定義，可以得到（1）誘導(dǎo)公式：即-t 與之間函數(shù)值關(guān)系（k6Z）, 2其規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限” ；(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系， 商數(shù)關(guān)系。3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例，對(duì)公式要 熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式： cos2 %=2cos 2 %-1=1-2sin 2 % ,變形后得 cos2 *J, sin23二，可以作為降哥公式使用。22三角變換公式除用來化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了

4、前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期性的定義：設(shè)T為非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域中的每一個(gè)x,均有f(x+T尸f(x),則稱 T為f(x)的周期。當(dāng)T為f(x)周期時(shí)，kT (k6Z, k0)也為f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾 何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法(1) 等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問題；(2) 數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題；(3) 分類討論。四、典型例題例1、 已知函數(shù) f(x)= log2 (sin x cosx) 2(1) 求它的定義域

5、和值域；(2) 求它的單調(diào)區(qū)間；(3) 判斷它的奇偶性；(4) 判斷它的周期性。解題思路分析:x 2kd)X必須滿足sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函數(shù)線及2k -函數(shù)定義域?yàn)?2k-,2k 5), k6Z 44sin x cosx , 2 sin(x4).0 sin x cos,2k4.29川, 4函數(shù)值域?yàn)?,)2(3) f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱f(x)不具備奇偶性(4) f(x+2 兀尸f(x)函數(shù)f(x)最小正周期為2兀注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以I、II象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx 的符號(hào)；以H、m象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分

6、 sinx+cosx的符號(hào)，如圖。例2、 化簡(jiǎn) 2<1 sinJ2(1 cos ) a % 6 (兀，2 兀)解題思路分析：湊根號(hào)下為完全平方式，化無理式為有理式,.222 1 sin sin cos 2sincos (sin - cos-)2222222.22(1 cos ) 2(1 2 cos 1) 4 cos 22原式=2 |sin 一 cos一 | 21 cos一 |222二 cos 02當(dāng)2 2 4 ,3眩sin萬cos萬0原式=2sin 2當(dāng) 3 一 ,32 時(shí) sin cos 042222原式=2sin 4cos 222.5sin(-2arctan 2)2sin 原式=:2

7、 . 5 sin(32arctan 2)注:1、本題利用了 “1”的逆代技巧，即化1為si叱c吟，是欲擒故縱原則。般地有 1 sin 2| sincos |, V1 cos2 42 1cos |, 1cos2拒 |sin |。2、三角函數(shù)式 asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為va2 b2 sin(x )(取arctan -)是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin 士cosx ,a± 33 cosx ,要熟練掌握變形結(jié)論。士sinx例3、求(-f ).。解題思路分析:-2 . _ 0. 2 , 一 0庫卡 _ 3 cos 140 sin 140八工一

8、sin 21400 cos2 140012sin100(3cos1400 sin1400)( 3cos1400 sin 1400)1(sin 400 cos400)22sin1004sin800 sin 2000120-sin2 80048sin 2000sin 800 cos80012sin100“ sin 2000160sin 160016注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本 題平方差公式。例 4、已知 00< %< B<90 0,且 sin % , sin B 是方程x2 (T2cos400)x cos2400 1 =0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)

9、根，求sin( ,5 %)的值。解題思路分析：由韋達(dá)定理得 sin %+sin =亞 cos40 0, sin %sin 3=cos 2400-1二 sin 3-sin %=(sin sin )2 q(sinsin )2 4sin sinJ2(1 cos2 400).2 sin 400又 sin %+sin B=品 cos40 0sin 1(、2 cos400. 2 sin 400) sin 8502sin 1(,2 cos400. 2 sin 400) sin 502< 00< %< B< 90 085050sin( 3-5 %)=sin60 0=.注：利用韋達(dá)定理變

10、形尋找與sin % , sin B相關(guān)的方程組，在求出sin % , sin B后再利用單調(diào)性求, (3的值。例 5、(1)已知 cos(2 %+ B)+5cos 3=0 ,求 tan( %+ 3) tan % 的值；(2)已知 空一以 5,求3cos2 4sin2的值。 sin 3 cos解題思路分析：(1)從變換角的差異著手。: 2 %十 后(%+ B)+ % , =( %+ B)-0c8cos( %+ B)+ %+5cos( %+ B)- %=0展開得:13cos( %+ B)cos %-3sin( %+ (3)sin %=0同除以 cos( %+ B)cos %得：tan( %+ 3)

11、tan13 %3(2)以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā).2 sin cos 2 tan 1sin 3 cos tan 32 tan 1 之 5tan 3 . tan 0=2/. 3cos2 4 sin 22. 23(cos sin ) 8 sin cos22sin cos一 23 3tan8 tan1 tan2注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降哥。例6、已知函數(shù)f(x).4 x 一sin sina 22 x2 (a 6(0, 1),求f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性,單調(diào)性。解題思路分析:對(duì)三角函數(shù)式降哥.4 x . 2 x . 2 xsin sin sin 一 (1222/12

12、1 _2(sinx) sin x24.2 x、 sin )2.2 x 2 x sin cos -221 1 cos 2xcos2x 18cos2x 1f(x)= a 8令 u 1 cos 2x 8貝 U y=a u0<a<1y=a u是減函數(shù)由 2x 2k, 2k 得 xk2, k ,此為f(x)的減區(qū)間由2x 2k ,2k得乂 k , k-,此為f(x)增區(qū)間 u(-x)=u(x). f(x)=f(-x):f(x)為偶函數(shù)u(x+ 兀尸f(x)f（x+ 兀尸f（x）. f（x）為周期函數(shù)，最小正周期為兀當(dāng) x=k 兀（k6Z）時(shí)，ymin=11當(dāng) x=k 兀+ 萬（k6Z）時(shí)，y

13、nax= a4注：研究三角函數(shù)性質(zhì)，一般降哥化為 y=Asin（ wx+ d）等一名一次一項(xiàng)的形式。五、同步練習(xí)（一）選擇題1、下列函數(shù)中，既是（0,-）上的增函數(shù)，又是以兀為周期的偶函數(shù)是A、y=lgx 2B、y=|sinx|C、 y=cosxy=sin 2x2、 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x 圖象關(guān)于直線x=- &對(duì)稱，則a值為A、-亞B、-1C、1D、V2x=3、函數(shù) y=Asin( wx+(|) (A>0 , d>0),在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng) x=1 時(shí)，ymax =2 ;當(dāng)5時(shí)，ymin=-2 ,則此函數(shù)解析式為 8A、 y 2sin(x )B、 y 2sin(

14、2x ) C、 y 2sin(x )D、2444y 2sin(2x ) 84、已知 t1=1998 ,則 sec2 tan2 的值為 1 tanA、 1997B、 1998C、 1999D、 20005、已知 tan a , tan 3 是方程 x2 3j3x 4 0 兩根，且, 3 (-,-) > 則+B 等于A、2B、2 或C、或2D、3333336、若x y ,貝U sinx siny的最小值為 3A、-1B、-1C>-D> -2447、函數(shù) f(x)=3sin(x+10 0)+5sin(x+70 0)的最大值是A、5.5B、6.5C、7D、88、若8 6 (0, 2兀

15、,則使sin 0<cos 0<cot 0<tan 8成立的。取值范圍是A、(-，-)B、(。，)C、(9,) D、(Z,2)4 244249、下列命題正確的是A、 若, B是第一象限角，"B ,則sin %>sin BB、 函數(shù) y=sinx cotx 的單調(diào)區(qū)間是(2k -, 2k -), k6Z22C、 函數(shù)y 3s2x的最小正周期是2兀sin 2xD、 函數(shù)y=sinxcos2 (|)-cosxsin2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則 y - , k Z10、 函數(shù)f (x) log 1 (sin 2x cos2x)的單調(diào)減區(qū)間是 33A、(k , k)B、(k

16、 ,k - C. (k ,k 一)D 、488888(k -,k 5 ) kZ 88(二)填空題11、 函數(shù)f(x)=sin(x+ 0)+ 3cos(x- 0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則8=12、 已知 + 3=-,且 q3(tan %tan 3+c)+tan %=0 (c 為常數(shù))，那么 tan 3=?13、 函數(shù)y=2sinxcosx- /3 (cos2x-sin 2x)的最大值與最小值的積為 14、 已知(x-1) 2+(y-1) 2=1 ,則x+y的最大值為15、 函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對(duì)稱中心是 (三)解答題16、 已知 tan(%-B)=1 , tanB=；，% , (3 -兀，0),求 2%-3 的值。17、是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin 2x+acosx+ -a厘在閉區(qū)間0,-上的最大值是 8221 ?若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值。18、已知 f(x)=5sinxcosx-