專題7.22：解析幾何中面積問題的研究與拓展

1、專題：解析幾何中面積問題的研究與拓展【探究拓展】探究1：如圖，設(shè)A,2B分別為橢圓E:xrab 0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),過原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M (異于點(diǎn)A, B),交橢圓于C, D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在第一象限內(nèi))ABC和ABD的面積分別為S1與S2 .(1)若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為1-x,求橢圓的離心率;3(2)設(shè) C(xO, y°)，D( x0， y°), ( x°0,y0S1bx0 ay0 ab bx° ay。abS2bx° ay0 ab bx° ay0ab2abbx0 ay0 abbxo ayo1:三角換元：t 2

2、sin一(0,一42當(dāng)且僅當(dāng)t 22時(shí)(此時(shí)一時(shí)等號(hào)成立)，4S1可取得最大值3 2 . 2S22：基本不等式的應(yīng)用：(bx0)2 (ay0)2a2b2 L2,同理可得結(jié)果2(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求包的最大值.S22斛：(1) e 一短;3橢圓的外切矩形的對(duì)角線和橢圓的交點(diǎn)處的切線必和另一條對(duì)角線平行;且在該交點(diǎn)處，此時(shí) S1,S2,呈都是最大的.S22 X探究2:如圖，橢圓C1 : f a2X b截得的線段y2，一一 ,31 1(a b 0)的離心率為 ，x軸被曲線C2: yb2長(zhǎng)等于Ci的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(1)求G, C2的方程;(2)設(shè)G與y軸的焦點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與G相交于

3、點(diǎn)A,B,直線MA,MB 分別與Ci相交與D,E.(I )證明：MDL ME;(II )記 MABA MDE的面積分別是 S1,S2.問：是否存在直線l，使得息17請(qǐng)說明理由.S232c解：(1)由題息知e 一a3 .二,從而a22b,又2vb a,解得 a 2,b 1.2故Ci, C2的方程分別為y21, y x2 1.4(2) (i )由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為 k,則直線l的方程為y kx.y kx 2由 2得xy x 1kx 1 0.設(shè)人(為01), Blxzyz),則X1,X2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x2k, x1 x21.又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0, 1),所以kMA kMBU

4、X12y2 1 (kx1 1)(kx2 1) k “x? k(x1 X2) 1X2X1X2X1X2(iik2 k2 11.故 MAL MB 即 MDL ME.）設(shè)直線 MA的斜率為k1,則直線MA的方程為,yykx 1,由k1x2X1, 解得1k, k12A的坐標(biāo)為（k1,k2 1）.又直線MB的斜率為1k1同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（k1 ' k121).121MAi|MB|1 . 1k22|kJkx 1,4y2 4得（1 04k12)x28klx 0.“，n x解得 yX0,十 或1y8kl1 4k12, 4 k12 11 4 k12D的坐標(biāo)為（8kl4k12 12 ,21 4k12 1

5、 4k12).又直線ME的斜率為1同理可得點(diǎn) kE的坐標(biāo)為（一48k1 4 k122 ,2 ).k12 4 k12是S21| MD |2|ME|232(1 k12) | k1 |22(1 k2)*； 4).因此S1S2k1217).由題意知,k217 A r 217) 17,解得 k12324,或 k；又由點(diǎn)AB的坐標(biāo)可知,k12k 一1kf故滿足條件的直線l存在,探究3:如圖，已知橢圓k1k1且有兩條,k1工，所以kk1其方程分別為3 X.22y _1的左焦點(diǎn)為F ,過點(diǎn)F的直線交橢圓于3A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G , AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).(2)不存在，計(jì)算可得

6、k2探究4:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓b21(a b 0)的離心率A的半徑為a ,過點(diǎn)Ai作圓A的切e , A, 4分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓 2線，切點(diǎn)為P ,在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q .(1)求直線OP的方程；(2)求_PQ的值;QAi設(shè)4片命敬.過處口作兩條互相垂苴的苴線1分別央耦自疾于意史匚，分別煙&于 記4口3白科乙為如留面科H別為號(hào)求5國生量六值.“C第13規(guī)EP ,解：(i)連結(jié)ap ,則a2pAP,且 A2P a ,又 AA 2a ,所以 A1A2P 60o.所以 POA2 60°,所以直線OP的方程為由知，直線 A2 P的方程為a) ,

7、 AP的方程為y (x a),解得xp 3因?yàn)閑3 c 3，即,所以c1 2 ,，、一1 a2,故橢圓E的方程為422x 4y .+ 122.a ay 由2 xaa),解得xQ_ PQ所以QA1a2a7(7)(a)不妨設(shè)OM的方程為y kx (k 0),y kx , 聯(lián)立方程組x24 y2-2 + -2-解得1 ,B(ak1 4k2' ,1 4k2，所以O(shè)B a工;21 4k21用代替上面的 kak ,得 OC1 k：.同理可得,4 k22a2akOM , ON .1 k21 k2所以Si S21OB 4OC OMON a4(1 4k2)(4 k2).因?yàn)?1 4k2)(4 k2)21

8、14(k292) 17k4當(dāng)且僅當(dāng)k 1時(shí)等號(hào)成立，所以S1 S2的最大值為a-探究2 x5：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C： a(a b 0)過點(diǎn)A( 1,1),離心率為、. 63(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)(不同于A, B),直線AP, BP分別與直線x在點(diǎn)P使得 PAB和PMN的面積相等若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.3交于點(diǎn)MAB得N 一N,問:M x是否存12a2 a解得1,2c ,遮3 ,4,b2x2.橢圓C的方程為 一4(2)如圖，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P (xo,yo),則直線AP的方程為y

9、y0 11 %(x >19 RH®茬存在點(diǎn)F使福MA口寫門W的面積相等，嵌照P的坐標(biāo)為,兩，片 貝IJ g |期卜|尸Eki n /.APB 二2| FM卜|產(chǎn)叫H目ZAffW。sin ZAPS - sin AMPN.所以新鄙叫黑卜晨;%'-1解易詢=g，從而吊=土4, ¥故存在點(diǎn)尸虎得小辦E和MMN的面樹目患 點(diǎn)尸坐標(biāo)為仁.土毛一).+>探究6:已知點(diǎn)M是圓C: (x 1)2 y2 8上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) D (1, 0),點(diǎn)P在直線DM上，點(diǎn)N在直線CM uur uur uur uuum上，且滿足 DM 2DP , NP DM =0,動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線 E

10、。(1)求曲線E的方程；22吉京1(a b 0)(2)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 AOB®積S的最大值。探究7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過定點(diǎn)T(t ,0)(t為已知常數(shù))作一條直線與橢圓相交于A, B兩個(gè)不同點(diǎn)，求 AOBm積S的最大值.22探究8.已知橢圓G、冬1(a b 0)過點(diǎn)a (0, 5), a bB( 8,3), C, D在橢圓G上，直線CD過坐標(biāo)原點(diǎn) 0,且段AB的右下側(cè).求：(1)橢圓G的方程；(2)四邊形ABCD勺面積的最大值.探究9:如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,長(zhǎng)軸土勻?yàn)镸N且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m, 2n m n

11、,過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1, C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.記 m, BDM和 ABN的面積分別為S和S2. n(1)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若§S2，求的值；(2)當(dāng) 變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得§S2并說明理由解:(I)S1解得：短1 (舍去小于1的根)(II)設(shè)橢圓C1:2上12m2N2-1,直線 l : ky xnky x22x y22a m同理可得，BDMS2BDAB21 2m k2a mNaam2mk2ABN的的高相等Nb NdNb NaNayBNayB如果存在非零實(shí)數(shù)k使得S1S2 ,則有1 Na1 Nb ,212

12、 2n k,解得k22 24n2當(dāng) 1 也時(shí)，k20,存在這樣的直線1 石時(shí)，k2 0,不存在這本¥的直線l .2b 0)的右焦點(diǎn)F作直X探究10：平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過橢圓M :ax y V3 0交1M于A,B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為-.2(1)求M的方程；(2) C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的對(duì)角線CD AB,求四邊形ABCD面積的最大值由此可得府以M的方取為因此|，司n&jJ *|C£?i = V2|因?yàn)槟9的斜率為1所以四邊厚ACBD面朔的展人位為O為坐標(biāo)原點(diǎn)2Ml11當(dāng).0酎.s取割量k也.最大值為由已知，四邊拒/次的質(zhì)載團(tuán)的中

13、點(diǎn).當(dāng)直線過Fi作Ci的不垂直于y軸的弦AB , M為ABC2的方程又由題意如.M的右焦點(diǎn)為（力&）探究11: （2014湖南）如圖役金（鼻,斯,冉口”內(nèi)工司與，片）2 x 雙曲線C2 : a2y 一1的左、右焦點(diǎn)分別為b22匕 1（a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 E,F2 b22 xaOM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形 APBQ面積的最小值.【解析】因?yàn)榻凶炙载螶 £即a4 b43a4,因此 a2 2b2,從而 F2（b,0）, 42F4（同,0）,于時(shí)攝 b IF2F4I J3 1,所以b 1 , a2 2.故G,C2的方程分別為 222 X 2y21 ,萬 y21(

14、2)因AB不垂直于y軸，且過點(diǎn)F( 1,0),故可設(shè)直線AB的方程為x my 1x my 1由 x22得，（m2 2）y2 2my 1 0y 12易知此方程的判別式大于0,設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y12my2 mV1V222 m因此x1X2 m（y1 y2）AB的中點(diǎn)為（告m 2-） 2,故直線PQ的斜率為 m , PQ2的方程為mxmx2 得，y2 1（22 2m ）x所以2422"7,y2mC 2）2 m.: 222 m 4|PQ| 2x y 2c 2,2 m設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d ,則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為PQ ,所以2d|mX1 2yJ |mx2 2y2 |因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線mx 2y 。的異側(cè)，所以(mx1 2y1)(mx2 2y2) 0,于| mx1 2y11 | mx