2兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(二)

1、2.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第二課時(shí)）*學(xué)習(xí)目標(biāo)*1 .進(jìn)一步理解兩個(gè)基本原理 .2 .會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題*要點(diǎn)精講*1 .弄清兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個(gè)原理的前提和條件.這兩個(gè)原理都是指完成一件事而言的.其區(qū)別在于：（1）分類計(jì)數(shù)原理是“分類”，分步計(jì)數(shù)原理是“分步”；分步計(jì)數(shù)原理中每（2）分類計(jì)數(shù)原理中每類辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成一件事,步中每種方法都只能做這件事的一步，不能獨(dú)立完成這件事2 .元素能重復(fù)的問題往往用計(jì)數(shù)原理3 .計(jì)數(shù)過程做到既不重復(fù)，也不遺漏。*范例分析*5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳4人中互相贈(zèng)送（每一個(gè)運(yùn)動(dòng)

2、員不能拿自己例1. （1）三人相互傳球，由甲開始發(fā)球，經(jīng)過球方法的種數(shù)是（A、6 B、8 C、10 D、16（2） 1, 2, 3, 4號(hào)足球運(yùn)動(dòng)員各有一件球衣在的球衣），則不同的贈(zèng)送方法有（A. 6種B. 9種）C. 11 種評(píng)注：第（2）小題是著名的貝努利裝錯(cuò)信封問題當(dāng)了 n封不同的信和n只相應(yīng)的不同的信封，D. 23 種n =4時(shí)的特例。原意是，若一個(gè)人寫 問這個(gè)人把這n封信都裝錯(cuò)了信封的裝法有6多少種？問題可轉(zhuǎn)化為：n個(gè)不同元素a1,a2,|,an進(jìn)行排列，其中ai =1,2,|”，n ）不排第i個(gè)位置的排法種數(shù)。由容斥原理，可得相應(yīng)的排法種數(shù)為:n!-Cn n-1 ! C2 k kn

3、-2 !-|ll -1 Cn - n-例2. （1）在一個(gè)正六棱錐的所有棱所在的直線中，異面直線共有多少對(duì)？（2）如下圖，共有多少個(gè)不同的三角形 ？（幾何問題）例3.如圖一，要給，四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同涂色方法種數(shù)為()例4.用0, 1, 2, 3, 4, 5這六個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù)的奇數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)能被 3整除的數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù)？(數(shù)字問題)*規(guī)律總結(jié)*1 .運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解題要注

4、意兩者的本質(zhì)區(qū)別，分類計(jì)數(shù)原理要求各類 的每一種方法都能使事件獨(dú)立完成，分類時(shí)應(yīng)做到不重復(fù)、不遺漏；運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必不可少的彼此獨(dú)立的步驟，分步時(shí)注意步與步之間的連續(xù)性2 .計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏的主要原因在于分類分步的標(biāo)準(zhǔn)不清，通常應(yīng)檢查分類是否按元素的性 質(zhì)進(jìn)行的，分步是否按事件發(fā)生的過程進(jìn)行的.綜合運(yùn)用兩個(gè)原理，一般是先考慮分類，然后再逐類考慮分步.分類時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)和方案，防止重復(fù)或遺漏*基礎(chǔ)訓(xùn)練*一、選擇題1 .某大學(xué)的信息中心 A與大學(xué)各部門、各院系 B, C, D, E, F, G, H, I之間擬建立信息聯(lián)網(wǎng)工程，實(shí)際 測(cè)算的費(fèi)用如圖所示（單位：萬元），請(qǐng)觀察圖形

5、，可 以不建部分網(wǎng)線，而使得信息中心A與大學(xué)各部門、各院系連通（直接或中轉(zhuǎn)），則最少的建網(wǎng)費(fèi)用是（A . 12萬元B . 13萬元C. 14萬元D . 16萬元A. 12B. 11C. 24D. 232 .從集合1 , 2, 3和1, 4, 5, 6中各取1個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確 定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）.3 .甲、乙、丙、丁四人相互傳球，第一次甲傳給乙、丙、丁三人中的一人，第二次由拿球 者再傳給其他三人中任一人，這樣共傳了4次，則第四次仍傳回到甲的方法共有（）A、21 種 B、24 種 C、27 種D、42 種4.1. 6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，

6、要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A. 300 種B. 240 種C. 144 種D. 96 種5 .在某市舉行的 長(zhǎng)城杯”足球比賽中，由全市的 6支中學(xué)足球隊(duì)參加 上匕賽組委會(huì)規(guī)定：比 賽采取單循環(huán)賽制進(jìn)行，每個(gè)隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得。分.在今年即將舉行的 長(zhǎng)城杯”足球比賽中，參加比賽的市第一中學(xué)足球隊(duì)的可能的積分值有A.13 種B.14 種C.15 種D.16 種 （C ）二、填空題6 .從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個(gè)相加，所得和為奇數(shù)的不同情形有 種.FErD LJcAB7 .由0,1,2,3,4可以

7、組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)有 個(gè)。8 .如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A, B,C, D, E, F,如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通。現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路 不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有 種。三、解答題9 .將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異點(diǎn)，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)|10 .設(shè)集合A=2, 4, 6, 8, B=1 , 3, 5, 7, 9,今從A中取一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，從 B中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，問：(1)能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)?(3)能組成多少個(gè)能被 3

8、整除的兩位數(shù)？*能力提高*5個(gè)開關(guān)共有25種可能.在這2511 .已知下圖的每個(gè)開關(guān)都有閉合與不閉合兩種可能，因此 種可能中，電路從 P到Q接通的情況有()12A.30 種B.10 種C. 16 種D. 24 種12 .用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(1)有多少個(gè)四位偶數(shù)？(2)若按從小到大排列，3204是第幾個(gè)數(shù)？2.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(第二課時(shí))*參考答案*例1.解：(1)畫樹枝圖，共有10種不同的方法，選 Co(2)方法1:畫樹枝圖，略。方法2：記1, 2, 3, 4號(hào)足球運(yùn)動(dòng)員對(duì)應(yīng)的球衣為a,b,c,d ,5 X 4=20個(gè),共有5+5=10個(gè)先

9、讓1號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇有3種方法，如選b；然后，讓與球衣b對(duì)應(yīng)的2號(hào)運(yùn)動(dòng)員選才3,也有 3種方法，如選d;再讓與d對(duì)應(yīng)的4號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇，則只能選 a。因此，不同的贈(zèng)送方法有 3 3 =9種。例2 .解：(1)每一條側(cè)棱對(duì)應(yīng)著 4對(duì)異面直線，共有 6 M 4 = 24對(duì);(2)所有不同的三角形可分為三類”第一類：其中有兩條邊是原五邊形的邊，這樣的三角形共有 5個(gè)第二類：其中有且只有一條邊是原五邊形的邊，這樣的三角形共有第三類：沒有一條邊是原五邊形的邊，即由五條對(duì)角線圍成的三角形由分類計(jì)數(shù)原理得，不同的三角形共有 5+20+10=35個(gè).例3.解：圖一，5父4父3父3=180種；變式：圖二，5父4父3父

10、4 =240 ;圖三，5X4X4X 4=320 種。圖四，5M4(1父4+3父3)=260種。例4.本題是一種典型的選數(shù)與組數(shù)的問題，與計(jì)數(shù)有關(guān)，故考慮利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決，但需要注意的是，無論組成多少位數(shù)字，首位均不能為0.(1)分三步：先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有 5種不同的選法；十位數(shù)字有5種選法；個(gè)位數(shù)字有4種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知， 所求的三位 數(shù)共有5父5父4 = 100個(gè)。(2)分三步：先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)字，因此有 5種不同的選法；十位數(shù)字有6種不同的選法；個(gè)位數(shù)字有6種不同的選法。由分步乘法計(jì)原理可知所求 的三位數(shù)共有 5X 6X6=18

11、0個(gè)。(3)分三步：先選個(gè)位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種不同的選法；再選百位數(shù)字有4種選法；十位數(shù)字也有4種選法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，所求的三位數(shù)共有3X4X4= 48個(gè).(4)被3整除的數(shù)它的各位數(shù)字之和被3整除。對(duì)0, 1, 2, 3, 4, 5這六個(gè)數(shù)字按被 3除后的余數(shù)進(jìn)行分類：A0=0,3, A=1,4, A =2,5,則這三個(gè)數(shù)字只能每個(gè)集合各取一個(gè)，A,A2中各取一數(shù)有2 m 2種選法。若 A中取數(shù)字0,可組成2 M2個(gè)三 位數(shù)；若A0中取數(shù)字3,可組成3M2父1個(gè)三位數(shù)；所求白三位數(shù)共有 4M10 = 40個(gè)。*基礎(chǔ)訓(xùn)練*15 BDABC ;4 .提示：去巴黎有

12、4人可以選擇、去倫敦有 5人可以選擇、去悉尼有 4人可以選擇、去莫 斯科有3人可以選擇，故共有 4M5M4M3 = 240種選擇。5 .提示：按該隊(duì)勝平的場(chǎng)數(shù)統(tǒng)計(jì)，可能的積分值有15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5,4, 3, 2, 1, 0,共 15 種可能。6 . 25.7 . 30.提示：0為個(gè)位的三位數(shù)有 4M3 = 12個(gè)；2或4為個(gè)位的三位數(shù)有 2M 3M 3 = 18個(gè)。8 . 63.提示：每個(gè)焊接點(diǎn)脫落與否有2種可能，所有6個(gè)焊接點(diǎn)脫落與否有 26種可能，其中只有1種情形能使電路暢通，故電路不通的可能有26 -1 = 63種。9 .解：記四棱錐PA

13、BCD，頂點(diǎn)P有5種不同的染法。若A, B,C,D用4種不同顏色染， 有4x3x2x1=24種不同的染法；若A,B,C,D用3種不同顏色染，則A,C或B,D同 色，有2x4x3x2=48種不同的染法；若A,B, C, D用2種不同顏色染，則A,C與B,D 同色，有4x3=12種不同的染法。綜上，共有5M(24+48+12 ) = 420種不同的染色方法10 .解：(1)能組成4X5=20個(gè)不同的兩位數(shù)；(2)十位數(shù)字為2的有4個(gè)，十位數(shù)字為4的有3個(gè)，十位數(shù)字為6的有2個(gè)，十位數(shù)字 為8的有1個(gè)，共10個(gè)；(3)能被3整除的兩位數(shù)有 21, 27, 45, 63, 69, 81, 87共7個(gè)。3 一11 .選Co提不：若1和2閉合，則3、4、5有2種可能；若1閉合2斷開，則5一定閉 合，3、4至少有一個(gè)閉合，有 3種可能；若1斷開2閉合，則4 一定閉合，3、5至少 有一個(gè)閉合，有3種可能；若1