【蘇教版】函數(shù)精講教案1.函數(shù)概念與表示

1、第一講函數(shù)概念與表示一課標(biāo)要求1通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；3通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；4通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。三要點(diǎn)精講1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)

2、關(guān)系f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng) f: A-B為從集合A到集合B 的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f（x）, xCA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域； 與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f（x）| xC A叫做函數(shù)的值域。注意：（1） “y=f（x）”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“ y=g（x）”；（2）函數(shù)符號(hào)“y=f（x）”中的f（x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是 f乘x。2構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域（ 1）解決一切函數(shù)問(wèn)題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：

3、自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x 的取值范圍（如： 分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x 的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。（ 2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題。配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函 數(shù)圖象等）。3兩個(gè)函數(shù)的相等

4、：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域 A、值域C和對(duì)應(yīng)法則fo當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此， 定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。4區(qū)間（ 1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（ 2）無(wú)窮區(qū)間；（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示。5映射的概念一般地，設(shè) A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)元素 x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng) f: At B 為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“ f: At B”。函數(shù)是

5、建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為 “任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就 叫映射。注意：(1)這兩個(gè)集合有先后順序， A到B的射與B到A的映射是截然不同的.其中 f 表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥?2) “都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思。6 .常用的函數(shù)表示法(1)解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的 解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式；(2)列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之

6、間的關(guān)系。7 .分段函數(shù)若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱(chēng)分段函數(shù)； 四.典例解析題型1:函數(shù)概念一一x-3 (x >100),例1. (1)設(shè)函數(shù)f(x) =,，求f(89).Jf(x+5) (x <100)d"8,11(2)設(shè)函數(shù)f (x)=,則滿(mǎn)足f (x)=的x值為Jog81，xW (1,+2)4解：(1)這是分段函數(shù) 變換問(wèn)題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換，f(89) = f(f(94) = f(f(f(99) = f(f(f(f(104) = f(f(f(101)=f(f (98)= f (f( f (103)= f (f (

7、100)= f (97)= f (f(102)= f (99)=f(f (104) = f (101) =98.1(2)當(dāng) xC ( 8, 1 ，值域應(yīng)為,+8,2當(dāng)xC (1, +OO)時(shí)值域應(yīng)為(0, +8),1 一 ，、 .y= yC (0, +8),4，此時(shí) xC ( 1, +8),=3。,11 log81x= _ , x= 81 44點(diǎn)評(píng)：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧(賦值、變量代換、換元等等)，這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。2ex±x( 2變式題：設(shè)f(x) =, 2則f(f(2)的值為()log3(x _1), x _2.A. 0B. 1C. 2D. 3解：選項(xiàng)

8、為Co例2.1(1)函數(shù)f(x )對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足條件f(x+2) =，若f(1)=-5，則f xf (f戶(hù) ；1(2)函數(shù)f(x )對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足條件f(x+2) =二，若f(1)=_5，則f xf (f (5 )=°1 .1、解：(1)由 f (x +2 )=得 f(x+4) = f (x),所以 f (5) =f (1)=5,f xf x 2貝U f f 5 = f (-5) - f (-1) = -一f(-1 2)511(2)由 f (x +2 )=得 f (x +4 )= f(x),所以 f (5) = f (1) = 5 ,f xf x 2f f 5 = f(-5)

9、 = f(-1)=1f (-1 2)點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式， 考察學(xué)生的邏輯思維能力。題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同例3.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？(1) f (x) = v*x2 , g (x) = 3/x3 ；|x|1 x >0,(2) f (x) = ！I , g (x) =3x-1 x <0;(3) f (x) =2噸x2n+, g (x) = ( 2n 設(shè))2nT (nCN *);(4) f (x) = xx 城'x+1 , g ( x) = Jx2 + x ;(5) f (x) =x2 2x 1 , g (t) =t22t

10、1。解：(1)由于f(x)= Jx2 =|x|, g (x) = 3x3 =x,故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù); Ixl 一1x>0.(2)由于函數(shù) f (x) = .的7E義域?yàn)?一8, 0) U (0, +8),而 g (x) = J x-1 x < 0;的定義域?yàn)镽,所以它們不是同一函數(shù)；(3)由于當(dāng)nCN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，-f (x) =2ntx2n*=x, g (x) = (2nSx) 2nT=x,它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；(4)由于函數(shù)f(x)= JxJx+1的定義域?yàn)閤|x>0,而g(x)= Jx

11、2+x的定義域?yàn)閤|xw 1或x> 0,它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；(5)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù) y=f (x)和y=g (x),當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都 相同時(shí)，y=f (x)和y=g (x)才表示同一函數(shù) 若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完 全相同，反之亦然。(1)第(5)小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透.要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f (x) =x2+1, f (t) =t2+1, f

12、 (u+1) = (u+1) 2+1都可視為同一函數(shù)。(2)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。題型三：函數(shù)定義域問(wèn)題例4.求下述函數(shù)的定義域：(1)f(x)=x2lg(2x-1)+ (3-2x)°；(2) f (x) = lg(x -ka) lg(x2 -a2).22x-x2 >0雨 2x-1 >0133解：(1) ,解得函數(shù)定義域?yàn)?一,1)U(1,)U(一,2.2x-1:12223-2x =0x > ka(2) v J 22 ,(先對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，然后對(duì) k進(jìn)行分類(lèi)討論)x > a當(dāng)a=0(k w R)時(shí)

13、，函數(shù)定義域?yàn)?0,十整);，口 x a ka當(dāng)a a 0時(shí)，得、,、x < -a或x > aa >0 , _ _1)當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)定乂域?yàn)?ka,y), k之1a >02）當(dāng),時(shí)，函數(shù)定乂域?yàn)椋╝,y）,-1 <k <13）當(dāng),a>0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,a）U （a,+=c）； k < -1x > ka當(dāng)a <0時(shí)，得)x < a或x > -aa<0八 、1）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,+=c）,k < -1a <02）當(dāng),時(shí)，函數(shù)定乂域?yàn)椋?收），-1 <k <13）當(dāng)3a <0

14、時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,a）U（e+=c）。 k >1點(diǎn)評(píng)：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類(lèi)討論的能力。例5.已知函數(shù)£（乂）定義域?yàn)椋?, 2）,求下列函數(shù)的定義域：2 f (x )+23; (2) y =f(x2) 1-olog 1(2 -x)解：（1）由0vx2v2,得.尤旦/ 0,所以f的的定義城為（濫0）U（0,互 ，、也<然<'叵，且芯盧o,得由，解陶>014<也所以所求的定義域?yàn)椋?. 4）.點(diǎn)評(píng)：本例不給出f（x）的解析式，即由f（x）的定義域求函數(shù)f

15、g（x）的定義域,關(guān)鍵在于理 解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類(lèi)型是一些數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中 產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到。變式題：已知函數(shù)f （x） = 3'3x_1的定義域是 R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ax ax - 3A. a> 1B. - 12<a<0C. 12vav0D. a< -33解：由a=0或12第0，一小、可得12<a<0,答案B。 = a2 4ax(3 <0,題型四：函數(shù)值域問(wèn)題例5.求下列函數(shù)的值域：223X 1(1) y=3x x+2； (2) y"x 6x5； (3) y =

16、;x -2(4) y =x +4 J1 -x ； (5) y = x + Ji x2 ； (6) y =| x-1| 十 | x + 4 | ；2x2 -x 2x2 x 1(8)2x2 -x 12x -11(x >-) ; (9)21 -sin x2 一cosx解：（1）（配方法）y y = 3x2c 1 22323_ x + 2 = 3(x ) + 2,612 122，23、y=3x x+2 的值域?yàn)橐?+=c) o122改題：求函數(shù) y=3x x+2, xW1,3的值域。解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)y=3x2x+2在xW1,3上單調(diào)增，.當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)有最小值為 4;當(dāng)x = 3

17、時(shí)，原函數(shù)有最大值為 26。，函數(shù) y =3x2x+2, xw 1,3的值域?yàn)?,26。（2）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)N = x2 6x 5 （ >0）,則原函數(shù)可化為 y =心。一 ，22又 N =x 6x5 = （x+3） +4E4, . 0<4 ,故用0,2,y = Jx2 6x5 的值域?yàn)?,2。（3）（法一）反函數(shù)法：y=3x上的反函數(shù)為y=2n,其定義域?yàn)閤WR|x#3, x-2x -33x 1.原函數(shù)y =-的值域?yàn)?y w R | y ¥ 3。x-2（法二）分離變量法：y =3x11 =3x117 =3+工， x-2x-2x-2二一00,3+工#3,x2x 一

18、2一一 3x 1 _.函數(shù)y =斐_的值域?yàn)閥W R|y#3。x-2（4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)1二百反之0,則x = 1t2,.原函數(shù)可化為 y =1t2+4t=(t2)2+5(t 之 0), y <5,原函數(shù)值域?yàn)?_g,5。注：總結(jié)y =ax b -二;cx d型值域,變形：y = ax2 + b +Jcx2 +d 或 y = ax2 +b + Jcx +d(6)數(shù)形結(jié)合法:2x-3(x：,-4)y q x-1| +| x+4| =45(-4<x<1),2x，3(x :二 1)y ±5,，函數(shù)值域?yàn)?,收）。判別式法：:2x +x +1 A0恒成立，函數(shù)的7

19、E義域?yàn)镽o,2x2 -x 2/曰由y 得:x x 1_ 2一 一一(y -2)x +(y + 1)x + y2 = 0d當(dāng) y2=0 即 y=2 時(shí)，即 3x + 0=0, ，x = 0w R當(dāng) y2 #0即 y # 2時(shí)，: x w R時(shí)方程(y2)x2+(y+1)x+y 2 = 0 恒有實(shí)根, . _ = (y +1)2 -4X(y -2)2 町原函數(shù)的值域?yàn)?,5 o(8)_2-2x x+1 x(2x -1)+12x T2x -111121-=x二十二，2x-121 2x -22.x-1>0,2x-12121 x 21-2rT=&.1(x -2)d12當(dāng)且僅當(dāng)x-工=-2

20、時(shí)，即x = 一烏時(shí)等號(hào)成立。212x 1 y 之 2 + ,21，原函數(shù)的值域?yàn)镴2 +,-He)。點(diǎn)評(píng)：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見(jiàn)類(lèi)型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。題型五：函數(shù)解析式1 Q 1例 6. ( 1)已知 f (x + )= x +,求 f (x);x x一一 2(2)已知 f (-+1) =lgx,求 f (x);x(3)已知 f (x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足 3 f (x+1) 2f (x1) = 2x+17 ,求 f(x);1(4)已知 f (x)滿(mǎn)足 2f (x) +f()=3x,

21、求 f(x)。xj-1311 31解：(1) f(x+)=x3+ - = (x+)3 3(x+), x x xx3.一人 2，(2)令一+1 =t ( t >1),則 x = f(x)=x -3x (x 之 2 或 xE 2)。x(x >1) °2,2 f(t)=lg=，f(x)=lg- t-1x -1(3)設(shè) f (x) =ax +b(a o 0),則 3f(x +1)2f (x-1) = 3ax +3a +3b-2ax+2a _2b =ax + b +5a = 2x+17 ,a =2, b =7, 1- f (x) =2x +7。(4) 2f(x) + f (-) =

22、3x ， x把中的x換成1 ,得2f (1)+ f (x) =0，x xx3父2 得3f (x) =6x , x一、c 1 f (x) =2x 。 x點(diǎn)評(píng)：第(1)題用配湊法；第(2)題用換元法；第(3)題已知一次函數(shù)，可用待定 系數(shù)法；第(4)題用方程組法。例7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+xo(I )若 f(2)=3，求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);(n)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(xo)= xo。求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式。解：(I)因?yàn)閷?duì)任意 xC R,有 f(f(x)-x2 + x)=f(x)x2+x, 所以 f(f(

23、2) 22+2)=f(2) 22+2。又由 f(2)=3,得 f(3 22+2)3 22+2,即 f=1。若 f(0)=a,則 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a尸a。(n)因?yàn)閷?duì)任意 xCR,有 f(f(x) x2+x)=f(x) x2+x。又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x0,使彳導(dǎo)f(xo)- xo。所以對(duì)任意xC R,有f(x) x2 +x= xo.。在上式中令 x= xo,有 f(%) x2 + xo= xo。又因?yàn)?f(xo) xo,所以 x0x0=o,故 xo=O 或 xo=1。若 x0=o,則 f(x) x2 +x=o,即 f(x)= x2 二。但方程X2 i=x有兩上不同實(shí)根

24、，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x2o°若 x2=1 ,貝U有 f(x) x2 +x=1 ,即 f(x)= x2 i+1。易驗(yàn)證該函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件。綜上，所求函數(shù)為f(x)= x2 i+1 (xW R)。點(diǎn)評(píng)：該題的題設(shè)條件是一個(gè)抽象函數(shù)，通過(guò)應(yīng)用條件進(jìn)一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。題型六：函數(shù)應(yīng)用例8.某租賃公司擁有汽車(chē) loo輛.當(dāng)每輛車(chē)的月租金為 3ooo元時(shí)，可全部租出。當(dāng) 每輛車(chē)的月租金每增加 5。元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛。租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 15。元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)5o元。(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為 36oo元時(shí)，能租出

25、多少輛車(chē)？(2)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為36oo元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為：36oo -3ooo5o二12,所以這時(shí)租出了88輛車(chē)。(2)設(shè)每輛車(chē)的月租金定為 x元，則租賃公司的月收益為:f (x) = (1oo x -3ooo、)5o(x15o)x - 3ooo5oX 5o,25o(x405o)2+3o7o5o。,一 Ix整理得：f (x)二一+162x-21ooo=-5o所以，當(dāng)x=4o5o時(shí)，f (x)最大，其最大值為 f (405o)=3o705o。即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4o5o元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益

26、為3o7o5o元.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問(wèn)題本身的限制。例9.對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行1#洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義 選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，為：1-污物質(zhì)量)物體質(zhì)量(含污物)為o.8 ,要求清洗完后的清潔度為Q.99o有兩種方案可供其質(zhì)量變?yōu)閍(1 Ma £3)。設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是X+0.8 (x>a-l),x 1用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是上士，其中

27、c(0.8<c< 0.99)是該物體初次y a清洗后的清潔度。(I )分別求出方案甲以及 c = 0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(n)若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最?。坎⒂懻揳取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。解：(I )設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與Z。由題設(shè)有 £08=0.99,解得x=19。x 1由c = 0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿(mǎn)足方程：y+0.95a =0.99，解得y=4a,故z=4a+3.即兩種方案的用水量 y a分另為19與4 a+3。因?yàn)楫?dāng)1 <a

28、 <31, x z = 4(4 a) >0,即* > z ,故方案乙的用水量較少。(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y ,類(lèi)似(I)得5c -4x=4 , y=a(99 100c) (*)5(1 -c)5c - 41于是 x y =+a(99 -100c) = 100a(1 -c) -a -15(1 -c)5(1 -c)當(dāng) a為定值時(shí)，x + y >2j1x100a(1-c) -a-1 = -a + 4/5a-1,:5(1-c) ')一，1、當(dāng)且僅當(dāng) =100a(1 -c)時(shí)等號(hào)成立。5(1 -c)，11此時(shí)c=1+(不合題意，舍去)或c=1=W (0

29、.8,0.99), 10 . 5a10、5a1將c=1 -L代入(*)式得x10 '. 5a= 2.5a-1 a-1, y = 2.5a - a.一1故c =1 - 一一 時(shí)總用水量最少，10 5a此時(shí)第一次與第二次用水量分別為 最少總用水量是T(a) = a+4j5&1。當(dāng) 1 Ea 三3時(shí),T (a)=1 -1 0, ,a故T( a)是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說(shuō)明，隨著a的值的最少總用水量，最少總用水量最少總用水量。點(diǎn)評(píng)：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決。該題典型代表高考的方向。題型7:課標(biāo)創(chuàng)新題43

30、2例 10. (1)設(shè) f (x) =x +ax +bx +cx + d ,其中 a、b、c、d 是常數(shù)。如果 f(1) =10, f (2) =20, f (3) =30，求 f(10)+ f(-6)的值；一 /, 2)、(2)若不等式2x -1 > m(x -1)對(duì)滿(mǎn)足2 W mW 2的所有m都成立，求x的取值范 圍。解：構(gòu)造函數(shù)g(x) = f(x)10x,則g(1) = g=g=0,故：f(10) f(-6) =(10 -1)(10 -2)(10 -3)(10 -m)100 (-6 -1)( -6 - 2)( -6 -3)( -6 -r) -60 =8104.2(2)原不等式可化為(x -1)m -(2x -1) < 0.2構(gòu)造函數(shù)f(m) = (x 1)m (2x1)(2 Wm W2)，其圖象是一條線段。根據(jù)題意，只須：2f (-2) = -2(x2 -1) -(2x -1) <0,= 一一 一 2一一、f(2) =2(x -1)-(2x -1) <0,2 _ _2x +2x -3 >0,一 2 一，一即 L2x - 2x -1 <0.解得-1.713:二 x :二點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)題目通過(guò)重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了