線性代數(shù)與解析幾何：第一章 行列式4

1、展開定理展開定理： 行列式行列式D等于它等于它的任意一行（列）的各元素的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和積之和.11122(1,2, );iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2, );jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn按照第按照第i行展開：行展開：按照第按照第j列展開列展開：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjij

2、i 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證把行列式把行列式D= |aij |按第按第j行展開，有行展開，有2,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 把把ajk換成換成aik (k=1,n)，即第，即第 j 行換成第行換成第 i 行，行，可可得得行行第第 j行行第第 i當當ij時，時，).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同3關于代數(shù)余子式的重要性質關于代數(shù)余子式的重要性質 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當當當當 ;

3、,0,1jijiDDAaijnkjkik當當當當 .,0,1jijiij當當，當當其中其中4按照行展開按照行展開按照列展開按照列展開思考題思考題階行列式階行列式設設nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 5思考題解答思考題解答解解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 21!1.njnj62222123111112312131122221231 3112121221231 312311111 1 001101 例例解解 nn

4、nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa計算從下到上，每行減去上一范德蒙行列式行的 倍，得1112131122231321 213131 311 112121221 231 31232222212121311()()( )()() nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21311232324221311222245313133111()()()()()() ()()() ()()()()()范德蒙行列上述行列式是n-1階范德蒙行列

5、式，對其式繼續(xù)降階，得nnnnnnnijj innnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD ij等于所有差a -a 的乘積(1i,j)。n三、三、Cramer法則法則nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)(設含有設含有n個未知量個未知量n個方程的線性方程組一般形式為個方程的線性方程組一般形式為:其中其中 aij (i,j=1,2,n) 稱為稱為方程組的系數(shù)方程組的系數(shù); bj (j=1,2,n) 稱為稱為常數(shù)項常數(shù)項.101111 1122121 122221 122000nnnnnnnnna

6、 xa xa xa xa xa xa xa xa x)(特別地，特別地， bj=0(j=1,2,n) 稱為稱為n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 .如如 所示。所示。)(由系數(shù)由系數(shù)aij(i,j=1,2,n)構成的行列式構成的行列式:Daaaaaaaaannnnnn212222111211nnnnnjjjnnjjjnjaaaaaabbbaaaaaaD2111211211121112111叫做方程組的叫做方程組的系數(shù)行列式系數(shù)行列式 (j=1,2,n)第j列列12克萊姆（克萊姆（Cramer）法則）法則.,2211DDxDDxDDxnn 定理定理5.3 如果線性方程組如果線性方程組()式的系數(shù)

7、行列式式的系數(shù)行列式D0,那么它那么它有唯一解有唯一解,其解為其解為:推論推論 若若齊次齊次線性方程組線性方程組()的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式D0 則它則它只有唯一零解只有唯一零解如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組()有非零解有非零解，則它的，則它的系數(shù)系數(shù)行列式等于零行列式等于零主要在于解行列式要先判數(shù)系數(shù)行列式是否不為0!13例例 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570/p>

8、57 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 1560412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx16例例 判定齊次線性方程組1234123412341234230230320230 xxxxxxxxxxxxxxxx是否僅有零解.解解: : 計算系數(shù)行列式計算系數(shù)行列式1123123131122311D21314132rrrrrr11230114047110157推論推論 若齊次若齊次線性方程組線性方程組()的系數(shù)行的系數(shù)行列式列式D0 則則它只有唯一零它只有唯一零解解171530 所以方程組僅有零解所以方程組僅有零解.11230114047110157D1144711157 21314rrrr1140327063327639 162181. 用克拉默法則解方程組的兩個條件用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)方程個數(shù)等于