整理+常微分方程

1、精品文檔精品文檔第六章常微分方程為了深入研究幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等許多實(shí)際問(wèn)題，常常需要尋求問(wèn)題中有關(guān)變量之間 的函數(shù)關(guān)系而這種函數(shù)關(guān)系往往不能直接得到，而只能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義及已知的公 式或定律，建立起含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，這就是所謂的微 分方程.通過(guò)求解微分方程，可以得到所需求的函數(shù).本章主要介紹微分方程的基本概念、 幾種常見(jiàn)類型的微分方程的解法及微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.第一節(jié)常微分方程的基本概念、實(shí)例分析設(shè)某一平面曲線上任意一點(diǎn)（X, y）處的切線斜率等于該點(diǎn)橫（1, 3），求該曲線方程.一列車在直線軌道上以30 ms的速度行駛，制動(dòng)時(shí)列車獲得引例6.1【曲線方程】坐

2、標(biāo)x的2倍，且曲線通過(guò)點(diǎn)引例6.2【火車制動(dòng)】加速度-0.6m/s2，問(wèn)開始制動(dòng)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能把列車剎?。繌闹苿?dòng)到列車停住這段 時(shí)間內(nèi)列車行駛了多少路程？、微分方程的基本概念上述兩個(gè)引例中，關(guān)系式（6-1 ）和（6-5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方 程.下面介紹微分方程的一些基本概念.（或微分）的方程，稱為微分方程.若未知函數(shù)只含有一個(gè)自常微分方程；若未知函數(shù)是多元函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是指偏導(dǎo)數(shù)，這樣 微分方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階1.微分方程解的概念 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 變量，這樣的微分方程稱為 的方程稱為偏微分方程.數(shù).本書我們只討論常微分方程，以下簡(jiǎn)稱為微分方

3、程. 例如，方程dy 2=Xdx都是一階微分方程.方程d2s2=-0.6 和 y-3y+2y = x .都是二階微分方程.由引例6.1和引例6.2可知，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先建立微分方程， 滿足微分方程的函數(shù)，也就是說(shuō)，要找到這樣的函數(shù)，將其代入微分方程后， 成為恒等式，這個(gè)函數(shù)叫做 微分方程的解求微分方程解的過(guò)程，叫做然后設(shè)法找出 能使該方程解微分方程.例如，函數(shù)（6-3）和（6-4）都是微分方程（6-1）的解；函數(shù)（6-8）和（6-10）都是 微分方程（6-5）的解.如果微分方程的解中包含有任意常數(shù)，并且獨(dú)立的（即不可合并而使個(gè)數(shù)減少）任意 常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分

4、方程的通解.通解中任意常數(shù)取某一特定值時(shí)的解，稱為 微分方程的特解.例如函數(shù)（6-3）和（6-8）分別是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函數(shù)（6-4）和 （6-10）分別是微分方程（6-1 ）和（6-5 ）的特解.從上面兩引例看到，通解中的任意常數(shù)一旦由某種附加條件確定后，就得到微分方程 的特解，這種用以確定通解中任意常數(shù)的附加條件叫微分方程的初值條件.ds=I7 dt引例6.1的初值條件是yX二=3，引例6.2的初值條件是S7=0，v=30 .t=0通常情況下，一階微分方程的初值條件是，當(dāng)自變量取定某個(gè)特定值時(shí)，給出未知函 數(shù)的值yx =y0 ；二階微分方程的初值條件是yx 0XNy初

5、值條件是，當(dāng)自變量取定某個(gè)特定值時(shí)，給出未知函數(shù)以及直至x =%，yi =%，,y2x=y1 ； n階微分方程的xn-1階導(dǎo)數(shù)的值，即xnJ .,y卄xy =eX 禾n 2xy-xlnx = OX出二1，yxm=T的特解.例1驗(yàn)證函數(shù)y=CiCOs2x +C2Si n2x是微分方程y+4 y = 0的通解，并求滿足 初值條件y2 .微分方程解的幾何意義微分方程的每一個(gè)特解 y = y（ X）在幾何上表示一條平面曲線，稱為微分方程的積分曲線.而微分方程的通解中含有任意常數(shù)，所以它在幾何上表示一族曲線，稱為積分曲線 族.例如，弓側(cè) 6.1中的特解（6-4）式的幾何意義是過(guò)點(diǎn)（1, 3）的那一條積分

6、曲線，而通 解（6-3）式的幾何意義是以 C為參數(shù)的積分曲線族（圖6 1）.例2解微分方程y案例6.1【等軸雙曲線】已知一曲線過(guò)點(diǎn)（2, 3），且曲線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸間的部分恰為切點(diǎn)所平分，求此曲線方程.案例6.2【自由落體運(yùn)動(dòng)】一質(zhì)量為m的物體受重力作用而下落，假設(shè)初始位置和初始速度都為0,試確定該物體下落的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.第二節(jié)可分離變量的微分方程、可分離變量的微分方程2弓側(cè)6.3 求微分方程y=與的通解.x通過(guò)這個(gè)例子我們可以看到，在一個(gè)一階微分方程中，如果能把兩個(gè)變量分離，使方 程的一端只包含其中一個(gè)變量及其微分，另一端只包含另一個(gè)變量及其微分，這時(shí)就可以 通過(guò)兩邊

7、積分的方法來(lái)求它的通解，這種求解的方法稱為分離變量法，變量能分離的微分方程叫做 可分離變量的微分方程.變量可分離的微分方程的一般形式為乎=f(X)Q(y).dx求解步驟為:(1)分離變量,= f(x)dx, g(y)(2)兩邊積分,求出積分，得通解G(y) =F(x) +C .其中G(y)、F(x)分別是求微分方程求微分方程和f (x)的一個(gè)原函數(shù). g(y)dy二=2xy的通解.y =10x為滿足初值條件yx =0的特解.求微分方程22xsin ydx + (x + 3)cos ydy = 0滿足初值條件 ynx/6的特解.=0的通解.1 + y6.3【鈾的衰變】放射性元素鈾由于不斷地有原子

8、放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)求微分方程案例未衰變的原子的含量M成正比，已知t=0時(shí)鈾的含量為 M0，求在衰變過(guò)程中鈾含量M （t ）隨時(shí)間t變化的規(guī)律.案例6.4【降落傘降落 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)（案例6.5【銷售預(yù)測(cè)】x和銷售接近飽和水平程度 a -x之積（a為飽和水平）dydx二昭）x(6-24)】設(shè)降落傘從跳傘塔降落后，所受空氣阻力與速度成正比，t=0 ）速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.在商品銷售預(yù)測(cè)中，t時(shí)刻的銷售量用X = x（t）表示.如果商品銷售的增長(zhǎng)速度與銷售量dt成正比，求銷售量函數(shù)x（t

9、）.、齊次微分方程如果一階微分方程 = f(x, y)dx可以化成的形式，則稱此方程為齊次微分方程.2dy _ xy - y dx -例如，微分方程（xy-y2）dx-（X2+2xy）dy =0是齊次方程.因?yàn)榇朔匠炭梢宰冃螢?=X X2 X +2xy +2（）x6-24 ）的形式.這類方程的求解分三步進(jìn)行:（1）將原方程化為方程（2）作變量代換u.x以U為新的未知函數(shù)（注意U仍是x的函數(shù)），就可以把齊次微分方程化為可分離變量 的微分方程來(lái)求解.由U = y，得xy =ux,兩端求導(dǎo)，得dy 丄 du=u +xdxdx代入方程（6-24 ）中，得du u +x dx 這是變量可分離的微分方程.

10、分離變量并積分，得.dudxy(u)u X 求出積分后，再以 u = y代回，便得到所求齊次方程的通解.x求微分方程X2=xy-y2的通解.dx dx求微分方程xdy =(2xtan + y)dx滿足初值條件ynx 的特解.xm 2x第三節(jié)階線性微分方程形如(6-25)+ P （x）y =Q（x） dx的微分方程稱為 一階線性微分方程，其中P（x） , Q（x）都是自變量x的已知函數(shù)，Q（x）稱 為自由項(xiàng).所謂“線性”指的是，方程中關(guān)于未知函數(shù) y及其導(dǎo)數(shù)y都是一次式.當(dāng)Q（x）h0時(shí), 稱方程（6-25）稱為一階非齊次線性微分方程；當(dāng)Q（x）三0時(shí)，方程（6-25）變?yōu)?6-26)dy +P

11、（x）y =0 .dx稱方程（6-26）為方程（6-25 ）所對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程例如，方程y +_ y = SIn X X是一階非齊次線性微分方程.它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程是1y+- y =0 .X而方程=x2 + y2, ( y )2 +xy = eX, 2 y/ + xy =0didx等，雖然都是一階微分方程，但都不是線性微分方程.下面討論一階非齊次線性微分方程（6-25 ）的解法.先求非齊次線性微分方程（6-25）所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（6-26）的通解.它是可分離變量的微分方程，分離變量，得d = -P（x）dx,y兩端積分，并把任意常數(shù)寫成InC的形式，得In y = -

12、 JP（x）dx +lnC ,化簡(jiǎn)后即得線性齊次微分方程（6-26 ）的通解為(6-27)y-CeW其中C是任意常數(shù).下面利用“常數(shù)變易法”求非齊次線性微分方程（6-25 ）的通解.方程（6-25）不能用分離變量的方法求解，但方程（6-25）與方程（6-26）的左端是一樣的，只是右端不同，故（6-26）是（6-25）的特殊情況.因此可以設(shè)想（6-25）與（6-26）的解一定有聯(lián)系，不妨按照（6-26）的解題思路分析它們之間的聯(lián)系，把dyP （x）y =Q（x）dx變形為型=宙_ p(x)ldx,y L y 兩邊積分，得普dx_fp(x)dx罟dx _p(x)dxy = e= e eon其中e八

13、 是x的函數(shù)，記為C（x） 于是上式可以寫成_rp（x）dxy=C（x）e把（6-28）式和（6-27）式比較，它們的區(qū)別僅僅是把（6-28）式中的函數(shù)C（x） 上述推導(dǎo)表明，方程（6-25）的解一定可以表示為_p（x）dxy = C（x）e的形式，如果能進(jìn)一步求出C（x），就求出了方程（6-25）_Jp（x）dx將y =C（x）e 代入方程（6-25）,得（6-28）6-27）式中的常數(shù)C變成了的解，下面求C(x) _JP(x)dx+ P(x)C(x)e= Q(x),整理，得C(x)=Q(x)eF兩邊積分，得IP（x）dxC（x） = jQ（x）e dx + C 將上式代入（6-28）式中，

14、得方程（6-25）通解為(6-29)廠eRg（x）eEdx+c6-26 ）通解中的6-25）的通解這種方法稱推導(dǎo)（6-29）式的方法是把方程（6-25）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（ 任意常數(shù)C變易為待定函數(shù)，然后求出非齊次線性微分方程（ 為常數(shù)變易法下面來(lái)分析非齊次線性微分方程（6-25）的通解結(jié)構(gòu)由于方程（6-25）的通解公式（6-29）也可以寫成y=CeTP（X）dX+ef（X）dXJQ（x）eJP（X）dXdx 上式右端第一項(xiàng)是方程（6-25）所對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程（6-26）的通解，第二項(xiàng)是原非齊次線性微分方程（6-25）的一個(gè)特解（它可從通解（6-29）中，取C=0得到）.由6-25）

15、的通解是由其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程 6-25）的一個(gè)特解構(gòu)成的.的通解的步驟總結(jié)如下：6-26 ）的通解；此可知，一階非齊次線性微分方程的通解是由它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的 一個(gè)特解相加而構(gòu)成的這個(gè)結(jié)論揭示了一階非齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu).定理6.1一階非齊次線性微分方程（6-26）的通解加上非齊次線性微分方程（6-25）求出對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程（用常數(shù)變易法或用公式（6-29）求方程（6-25）的通解. 求微分方程dy -（ZY +=0的通解.經(jīng)過(guò)上面的討論，將求方程（1）（2）求微分方程滿足初值條件y=1的特解.X出案例6.6【物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律】d- y =(x +1)3dx

16、x+1(6-32)一質(zhì)量為m的物體，在傾斜角為a的斜面上由靜止下滑， 摩擦力為kv + LP，其中v為運(yùn)動(dòng)速度，P為物體對(duì)斜面的正壓力，k, L為常數(shù)，求速度隨時(shí)間的變化規(guī)律.案例6.7【電流方程】有一個(gè)電路如圖6 3所示，其中電源電動(dòng)勢(shì)為 E = EmSi not（Em，都是常量），電阻R和電感L都是常量，求電流i（t ）E0圖6.36.1).為了便于應(yīng)用，現(xiàn)將一階微分方程的幾種常見(jiàn)類型及解法歸納如下(見(jiàn)表表6.1 一階微分方程常見(jiàn)類型及解法方程類型方程解法可分離變量的微分方程dy.=f(x)g(y) dx將不同變量分離到方程兩邊，然后積分J / =Jf(x)dx g(y)齊次微分方程dy

17、=屛y弓1進(jìn)新的未知函數(shù)U =，所以y =ux，xdxlx 丿翌=U + XdU，原方程化為可分離變量的方程dxdx一階 線性 微分 方程齊次方程+ P (x)y = 0 dx分離變量，兩邊積分或用公式 y =Ce J()非齊次方程字 +P (x)y =Q(x) dx用常數(shù)變易法或公式法廠e)dxjQ(x)eJP(x)dxdx + c第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程我們把形如y”+p( x)y +q(x)y= f(x)(6-38)的微分方程叫做 二階線性微分方程，其中y； y y都是一次的，P(X), q(x) , f(x)是x 的已知連續(xù)函數(shù)，f (x)叫做自由項(xiàng).當(dāng)f(x)三0時(shí)，稱方程y

18、+ p(x)y + q(x)y = 0為 二階齊次線性微分方程；當(dāng)f(x)H0時(shí)，稱方程(6-38)為二階非齊次線性微分方程 在方程(6-38)中，如果y 和y的系數(shù)均為常數(shù)，且 f (x)三0 ,則(6-38)式成為y+ py，+qy =0 .(6-39)方程(6-39)叫做二階常系數(shù)齊次線性微分方程下面討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和解法.、二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定義6.1 設(shè)有兩個(gè)不恒為零的函數(shù)y y1 (x)和yy2(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義，若存在兩個(gè)不同時(shí)為零的常數(shù)Ci, C2，使Cyi Cy2三0在(a, b)內(nèi)成立，則稱yi(x)和y2(x)在(a,

19、b)內(nèi)線性相關(guān)，否則叫做 線性無(wú)關(guān)定義6.1的另一種說(shuō)法是：若上三常數(shù)，則yi與y2線性相關(guān)；若 業(yè)豐常數(shù)，則yi與y2y2y線性無(wú)關(guān).Zyisin2x例如 yi =sin 2x, ysin xcosx ,因?yàn)?=2 ,所以yi與 y 線性相關(guān).y2 sin xcosxx再如，yix2 xV彳e_x= e,y2=e ，因?yàn)?=e h常數(shù)，所以yi與y2線性無(wú)關(guān).V2 e(6-39)的兩個(gè)解,(6-39)的兩個(gè)線定理6.2 如果函數(shù)Vi (X)與y (x)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程那么y =Ciyi(x)+C2y2(x) 也是方程(6-39)的解，其中Ci, C2是任意常數(shù).例如，yi =si

20、n X, ycosx都是方程y + y =0的解，不難驗(yàn)證 Ciyi +C2y2 =6 sin x +C2 cosx 也是方程y + y=0的解.6.2表明，齊次線性微分方程的解具有可疊加性定理定理6.3如果函數(shù)yi(x)與月2 (x)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程性無(wú)關(guān)的特解，那么y =Ciyi（x） +C2y2（x）6-39）的通解，其中Ci, C2是任意常數(shù).就是方程（例如，方程y-y=0,容易驗(yàn)證y = e與y2ex_xe=e是所給方程的兩個(gè)特解，且yiy2解.2x=e工常數(shù)，即它們是線性無(wú)關(guān)的.因此,xxy=Cie +C2e就是該方程的通、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法由前面討論可知

21、，求方程（6-39）的通解，可歸結(jié)為求它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，再 根據(jù)定理6.2寫出通解.從方程（6-39）的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它的解應(yīng)有如下特點(diǎn)：未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 數(shù)y”與未知函數(shù)y只相差一個(gè)常數(shù)因子也就是說(shuō)，方程中的 式.而指數(shù)函數(shù)y =erx正是具有這種特點(diǎn)的函數(shù)因此，設(shè) 將y，二階導(dǎo)y, y； y應(yīng)具有相同的形= erx是方程（6-39）的解,代入方程（6-39），得因?yàn)?，故有只要找到r，使rx rx 2 rxy=e,y=re,y =re(r2 + pr +q)erx =0 .2r + pr +q =0 ，r2 + pr成立，則y=e伏就是方程（6-39）的特解而 方程（6-39）的解的問(wèn)題

22、，歸結(jié)為求代數(shù)方程（定義6.2 方程（6-40）叫做微分方程（6-39）的特征方程，特征方程的根叫做 特征 根.方程（6-40 ）是一元二次方程，它的根有三種情況，相應(yīng)地，方程（ 三種情況：（1 ）當(dāng) P+ q =0r是方程（6-40）的根，這樣一來(lái)，求微分6-40）的根的問(wèn)題.(6-40)6-39 ）的解也有-40時(shí)，特征方程（6-40）有兩個(gè)不相等的實(shí)根-p + Jp2 -4q從而可得方程（26-39）的兩個(gè)特解-p-Jp2-4q2又因?yàn)閥iri xI=e , y2 =er2x所以yi與y線性無(wú)關(guān).因此,(2 )當(dāng) P2 4q =0 時(shí),此時(shí)，我們只得到微分方程（也=獸之（2 5常數(shù)，y

23、e2微分方程（6-39 ）的通解為y =Cierix +C2er2x.特征方程（6-40）有兩個(gè)相等的實(shí)根Pri =r2 = r = 一 ,26-39）的一個(gè)特解rxyi =e 為了求得微分方程（6-39）的通解，還需求出另一個(gè)特解y2，且要求吐豐常數(shù).為yi此，不妨設(shè)仏=u（x），即y2 = yiu(x) =erxu(x), u(x) 將yi其中u(x)為待定函數(shù)下面來(lái)求y2 =u(x)erx ,y； =rerxu(x) +e咲u(x) =e咲ru(x) +u(x),y = rerx (ru(x)+u(x) +e伙ru (x)+u7x) = erx u (x) +2ru(x) + r2u(x

24、),代入方程(6-39),整理后得因er H0，且erx u(x) +(2r + p)u(x) +(r2 + pr + q)u(x) = 0 r =是r2 + pr +q =0的重根，故22r + pr +q = 0 , 2r + p =0 ,所以有 兩次積分后得u(x) =CiX +C2 因?yàn)槲覀冎灰髲亩玫椒匠蹋ㄒ?u（x） H常數(shù)，所以為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨取 G =1, C2 =0 ,得yiu（x） = x 6-39）的另一個(gè)與yi =erx線性無(wú)關(guān)的特解為rxy2 = xy1 = xe .因此微分方程（6-39 ）的通解為（C0）y =尹(G cos P X + C2 sin P x)例

25、1求微分方程y”-2y3y=0的通解.tn =0的特解.例2求微分方程s”+4s+4s = 0滿足初值條件St#=1，s例3 求微分方程y” + 2y + 5y=0的通解.案例6.8【電壓變化規(guī)律】如圖所示，電路中 E =20V , C=0.5F , L = 1.6H ,R=4.8fJ，且開關(guān)S在撥向A, B之前，電容C上的電壓Uc =0 .（1） 開關(guān)S先被撥向A，求電容C上的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律Uc（t）；（2） 達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，再將開關(guān)撥向B，求Uc（t）.企_B第五節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程在二階非齊次線性微分方程y+p（x）y + q（x）y = f（X）中，如果y和y的系數(shù)p

26、（x） = p , q（x） =q均為常數(shù)，則方程變?yōu)?6-41)y + py+qy = f（X）.方程（6-41 ）叫做二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41 ）的通解結(jié)構(gòu)，有如下定理：定理6.4 如果y*是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41）的一個(gè)特解，丫是與方程（6-41 ）對(duì)應(yīng)的齊次方程(6-42)的通解，那么(6-43)y =Y + y*是方程（6-41 ）的通解.與定理6.1比較，可以看出，二階線性微分方程與一階線性微分方程一樣，其通解的 結(jié)構(gòu)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解.例如，

27、方程y” + y=x2是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，Y= Gsi nx + C2COSX是與其對(duì)應(yīng)的齊次方程 y中y =0的通解；又容易驗(yàn)證 y*=x2-2是方程y + y=x2的一2 2個(gè)特解.因此y =Y +y*=Gsi nx+C2COSx+x -2是方程y + y=x的通解.、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法F面我們來(lái)討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41）的解法.由定理6.4知道，方程（6-41）的通解y等于它的一個(gè)特解 y*與它對(duì)應(yīng)的齊次線性微 分方程（6-42）的通解Y的和即y =Y +y * .方程（6-42）微分方程（6-41）這里僅就方程的通解丫的求法我們已經(jīng)討論過(guò)，因此現(xiàn)在只需解決如何求非齊次線性 的一個(gè)特解.（6-41）的右端函數(shù)f（X）取以下三種常見(jiàn)形式進(jìn)行討論:1 - f(X)=Fn(x)這時(shí)方程(6-41)(其中Pn(x)為x的一個(gè)n次多項(xiàng)式) 變成y+pyQqy = Pn(x).(6-44)因?yàn)榉匠? 以方程(6-44)6-44)的特解也應(yīng)該是多項(xiàng)式，且有以下特征:的右端是多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式，所若q K0，方程(6-44)的特解y*與Pn(x)是同次多項(xiàng)式，這時(shí)可設(shè)y* =Qn(x)(Qn(x)與Rd)都是n次多項(xiàng)式)； 若q