高二數(shù)學選修4-4平面直角坐標系中極坐標系 (高考必修課)

1、從這向北走從這向北走100米。米。我知道了。我知道了。2食堂在什么位置？食堂在什么位置？以超市所在直線為以超市所在直線為X軸軸以教學樓所在直線為以教學樓所在直線為Y軸軸. .腦子腦子進水了？進水了？3從 這 向 北 走從 這 向 北 走 1 01 0 0 0 米 ！米 ！出發(fā)點出發(fā)點方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用點的位置。這種用方向方向和和距離距離表示平面上一表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。4回憶：直角坐標系的建立xyo構(gòu)成要素：構(gòu)成要素：兩條數(shù)軸互相垂直，兩軸交

2、點設(shè)為原點； 通常取向右、向上為兩軸的正方向 單位長度相同?；貞洠褐苯亲鴺讼档慕yo構(gòu)成要素：構(gòu)成要素：兩條數(shù)軸互相垂直，兩軸交點設(shè)為原點； 通常取向右、向上為兩軸的正方向 單位長度相同。要素：要素： 極點、極點、 極軸、極軸、長度單位、角度單位及角長度單位、角度單位及角度的正方向度的正方向,xOM (0, ), 可為任意值可為任意值.( , )例題解析例題解析例例1 1.在極坐標系中表示下列坐標對應(yīng)的點在極坐標系中表示下列坐標對應(yīng)的點.xO4234547432(4,)65(3,)127(2,)623(5,)123(1,)4由極坐標描點的步驟：由極坐標描點的步驟： (1) 先按先按極角極角

3、找到點所找到點所在射線；在射線； (2) 在此射線上按在此射線上按極徑極徑描點描點.8例題解析例題解析例例2.2.試寫出下列點所對應(yīng)的極坐標試寫出下列點所對應(yīng)的極坐標. .xO232(5,)6A(3,)2BAB5(4,)6CC7(5,)6DDE11(4,)6E9 指出下列各點在極坐標系中的位置指出下列各點在極坐標系中的位置（4，9 /4）（4， /4）（4，-7 /4）XO （1）一個點的極坐標不唯一）一個點的極坐標不唯一 發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)：極角變化極角變化A （2）極角之間是什么關(guān)系？）極角之間是什么關(guān)系？ 哇！原來這些極角都是終邊相同的角。一點的極坐標唯一嗎？一點的極坐標唯一嗎？( , ) (

4、,2)k 表示同一點表示同一點如果限定0,02或 ,那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應(yīng)了.與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別與直角坐標系的聯(lián)系與區(qū)別極坐標系與直角坐標系的異同是什么？極坐標系與直角坐標系的異同是什么？都是用都是用有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對來表示平面上的點來表示平面上的點. .其中的其中的有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對意義不同意義不同. .直角系的坐標與平面上點是直角系的坐標與平面上點是一一對應(yīng)一一對應(yīng)的的; ;極坐標系的坐標與平面上點極坐標系的坐標與平面上點多對一多對一的的; ;有沒有辦法使極坐標與點之間一一對應(yīng)？有沒有辦法使極坐標與點之間一一對應(yīng)？0,02且（或）除極點除極點(0, )外外

5、，限制，限制12探索探索Ox已知一點已知一點, , 與它關(guān)于與它關(guān)于極軸極軸所在直線對稱的點如何表示？所在直線對稱的點如何表示？M( , )M ( ,)若若M M 的坐標為的坐標為 , ,則則MM的坐標可以是的坐標可以是( , ) ( ,)探索探索Ox已知一點已知一點, , 與它關(guān)于與它關(guān)于極點極點對稱的點如何表示？對稱的點如何表示？M( , )M ( ,) 若若M M 的坐標為的坐標為 , , 則則MM的坐標可以是的坐標可以是( , ) ( ,). 1516在直角坐標系中在直角坐標系中, , 以原點作以原點作為極點為極點,x,x軸的正半軸作為極軸的正半軸作為極軸軸, , 并且兩種坐標系中取相

6、并且兩種坐標系中取相同的長度單位同的長度單位17x=cos, y=sin1819問題解析例 :將點M的極坐標 化成直角坐標;解: 25 3sin5sin.32y所以, 點M的直角坐標為 25 3sin5sin.32y25cos5cos,32x 2(5,)35 5 3(,).221. 1. 極點與直角坐標系的原點極點與直角坐標系的原點重合重合; ;2. 2. 極軸與直角坐標系的極軸與直角坐標系的x x軸的正半軸的正半 軸軸重合重合; ;3. 3. 兩種坐標系的單位長度兩種坐標系的單位長度相同相同. .極坐標與直角坐標的互化公式極坐標與直角坐標的互化公式21x=cos, y=sin互化公式的三個前

7、提條件：互化公式的三個前提條件：兩個重合一個相同兩個重合一個相同已知下列點的極坐標，求它們已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。的直角坐標。22極徑的推廣負極徑“負”的意義是什么？標準之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反a與. a與.Ox(, )M ( , ) 若M的坐標為 則M的坐標也可以是(, ) ( ,). 特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時）特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為，認為 0 。因為。因為負極徑負極徑只在極少數(shù)情況用只在極少數(shù)情況用。23四、正、負極徑時，點的確定過程比較OXPOXP1作射線OP，使XOP= /4 2在OP的反向延長線上取一點M，使OM= 31作

8、射線OP，使XOP= /4 2在OP的上取一點M，使OM= 3M畫出點 （3，/4） 和（3，/4）M小結(jié)：小結(jié)： 從比較來看從比較來看, 負極徑比正極徑多了一個操負極徑比正極徑多了一個操作作, 將射線將射線OP“反向延長反向延長”.極徑的推廣負極徑“負”的意義是什么？標準之下3攝氏度與-3攝氏度.方向相反a與. a與.Ox(, )M ( , ) 若M的坐標為 則M的坐標也可以是(, ) ( ,). 特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時）特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為，認為 0 。因為。因為負極徑負極徑只在極少數(shù)情況用只在極少數(shù)情況用。25負極徑小結(jié)：負極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨摌O

9、徑變?yōu)樨?，極角增加極角增加 。練習：寫出點練習：寫出點 的負極徑的極坐標的負極徑的極坐標（6， ）6答：（答：（6， +）6特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為認為 0 。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。說明：說明：. 點的極坐標的不唯一性點的極坐標的不唯一性( ,)(- , +)( , +2k)(- , +（2k+1）)2.在極坐標系中,與(,)關(guān)于極軸對稱的點是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD題組三 1. 在極坐標系中，與點(3, )重合的點是( )6A.(3, ) B. (3, ) C. (

10、3, ) D. (3, ) 6665653.在極坐標系中,與點(8, )關(guān)于極點對稱的點 的一個坐標是 ( )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 656665A1. 1. 極點與直角坐標系的原點極點與直角坐標系的原點重合重合; ;2. 2. 極軸與直角坐標系的極軸與直角坐標系的x x軸的正半軸的正半 軸軸重合重合; ;3. 3. 兩種坐標系的單位長度兩種坐標系的單位長度相同相同. .極坐標與直角坐標的互化公式極坐標與直角坐標的互化公式29x=cos, y=sin互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：兩個重合一個相同兩個重合一個相同例題解析例1. 化極

11、坐標方程 為直角坐標方程.4cos解224 cos ,cossinxy由 , 得224xyx22(2)4.xy因此所求直角坐標方程為22(2)4.xycossinxy解1 由 得2222224(0)xxyxyxy30用 同乘方程兩邊，有練習1練習1練習 2. 極坐標方程 表示的曲線是 .cos202cos()43. 圓 的圓心的極坐標是 ， 半徑是 . 331 1( , )2 222例題解析例2.化直角坐標方程 為極坐標方程.0 xy解:cossinxy由 , 得cossin0,(cossin )0,0或者cossin0tan1,(Z)4kk表示極點，0(R).4故所求極坐標方程為表示 直線,

12、(Z)4kk過極點34例3：化直角坐標方程 為極坐標方程。2280 xyy圓的極坐標方程所所滿滿足足的的等等式式任任意意點點的的坐坐標標是是求求曲曲線線上上因因此此，求求曲曲線線的的方方程程就就),(yx以此類推曲線的極坐標方程是什么？如何來求極坐標方程？所滿足的等式意點的極坐標曲線上任曲線的極坐標方程的是),( 怎樣求曲線的極坐標方程？下結(jié)論建立極坐標系設(shè)點（,）找,的關(guān)系化簡 F(,)=0 122 yxcos ,sinxy ( , ) ( , )x y 21y2 2解解：在在直直角角坐坐標標系系下下，滿滿足足條條件件 的的圓圓的的方方程程為為x x( , ) 又又極極坐坐標標方方程程是是曲

13、曲線線上上任任意意點點滿滿足足的的關(guān)關(guān)系系式式根根據(jù)據(jù)前前面面直直角角坐坐標標與與極極坐坐標標的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化公公式式1 此此圓圓的的極極坐坐標標方方程程為為21(1)例1：已知圓O的圓心在原點，半徑為1，求其極坐標方程。例1：已知圓O的圓心在原點，半徑為1，求其極坐標方程。解：如果以圓心O為極點，從O出發(fā)的一條射線為極軸建立直角坐標系，那么圓上各點的幾何特征就是它們的極徑都等于半徑r.設(shè) 為圓上任意一點，則|OM|=r，即故極坐標方程為 .( , )M 11222222()cos ,sin(cos)(sin )2 cosxayaxyaaa解解：直直角角坐坐標標系系下下化化簡簡得得此此圓圓的的極極

14、坐坐標標方方程程為為牛刀小試例2.求以 為圓心, 半徑為 的圓的極坐標方程.( ,0)C a(0)a a例題解析例2.求以 為圓心, 半徑為 的圓的極坐標方程.( ,0)C a(0)a a ( , )P 2aMOx解: 方法二：如圖所示:設(shè)點P坐標為( , ) 即2 cosa則|cos|OPOM( , )P 42 已知圓C 的半徑為r ，圓心在不同的位置上，圓的極坐標方程分別為？.直線的極坐標方程例題1：求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。4 oMx4 其極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求射線的極坐標方程為(0)4 新課講授分析： 如圖，所求的射線上任一/ 4 點的極角都是1、求過極點，傾斜角為 的射線的極坐標方程。54 易得5(0)4 思考：2、求過極點，傾斜角為 的直線的極坐標方程。4 (0)4 5(0)4 和例題解析例2.如圖, 求過 , 與極軸正方向夾角為 的直線方程.( ,0)(0)M aa ( , )P ( ,0)M aO解:則 ,|(0)OP 設(shè)點P坐標為 ,( , ) x(0)