平行線分線段成比例經(jīng)典例題與變式練習(xí)(精)

1、平行線分線段成比例 平行線分線段成比例定理及其推論1. 平行線分線段成比例定理如右圖, 如果 1l 2l 3l , 則B C E FA C D F=AB DE AC DF =AB ACDE DF=. 2. 平行線分線段成比例定理的推論:如右左圖,在三角形中,如果 DE BC ,則 AD AE DEAB AC BC=3. 平 行 的 判 定 定 理 :如 右 右 圖 , 如 果 有 BCDEAC AE AB AD =,那么 DE BC 。 專題一、平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用【例 1】 如 圖, DE BC ,且 DB AE =, 若510AB AC =, ,求 AE 的長?！纠?2】

2、 如 圖 , 已 知 /A B E F C D ,若 A B a =, CD b =, EF c =, 111c a b=+.【鞏固】 如圖, AB BD , CD BD ,垂足分別為 B 、 D , AC 和BD 相交于點(diǎn) E , EF BD ,垂足為 F . 證明:111AB CD EF+=.【 鞏 固 】 如 圖 , 找 出ABD S 、 BED S 、 BCD S 之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論 .【例 3】 如 圖 , 在 梯 形 ABCD 中 , A BC D , 129AB CD =, , 過 對角 線 交 點(diǎn) O 作 EF CD 交 AD BC , 于E F , ,求 EF 的長。

3、【 鞏固 】 如圖,在梯形 ABCD 中, A D B C ,AD a BC b E F =, , , 分別是 AD BC , 的中點(diǎn), AF交 BE 于 P , CE 交 DF 于 Q ,求 PQ 的長。l 3l 2l 1FE D C BA BCDEEDC BAFE DCBAFEDCBAEDCBAFEDBAFED CBAFED CBA專題二、定理及推論與中點(diǎn)有關(guān)的問題【例 4】(1如圖(1 ,在 ABC 中, M 是 AC 的中點(diǎn), E 是 AB 上一點(diǎn),且 14AE AB =, 連 接 EM 并 延 長 , 交 BC 的 延 長 線 于 D , 則 BCCD=_. (2如圖(2 ,已知 A

4、BC 中, :1:3AE EB =, :2:1BD DC =, AD 與 CE 相交于 F ,則EF AFFC FD+ 的值為( A. 52 B.1 C.32D.2【例 5】 如 圖,在 ABC 中, D 為 BC 邊的中點(diǎn), E 為 AC 邊上的任意一點(diǎn),BE 交 AD 于點(diǎn) O .(1當(dāng) 1A 2AE C =時,求AOAD 的值;(2當(dāng) 11A 34AE C =時,求AOAD的值; (3試猜想 1A 1AE C n =+時 AOAD的值,并證明你的猜想 .【例 6】 如 圖, AD 是 ABC 的中線, 點(diǎn) E 在 AD 上, F 是 BE 延長線與 AC 的交點(diǎn) . (1如果 E 是 A

5、D 的中點(diǎn),求證:12AF FC =; (2由(1知,當(dāng) E 是 AD 中點(diǎn)時,12AF AEFC ED=成立,若 E 是 AD 上任 意一點(diǎn)(E 與 A 、 D 不重合 ,上述結(jié)論是否仍然成立,若成立請寫出證明,若不成立,請說明理由 .【鞏固】 如圖,已知 ABC 中, AD 是 BC 邊上的中線, E 是 AD 上的一點(diǎn),且 BE AC =,延長 BE 交 AC 于 F 。求證:AF EF =。FEDCBA【例 7】 如 圖, ABC 中, D 為 BC 邊的中點(diǎn),延長 AD 至 E ,延長 AB 交 CE的延長線于 P 。若 2AD DE =,求證 :3AP AB =。E DB OPEC

6、BA (1MEDC BA(2ED CBA F DCBA【鞏固】 如圖, ABC 中, BC a =,若 11D E , 分別是 AB AC , 的中點(diǎn),則 1112D E a =;若 22D E 、 分別是 11D B E C 、 的中點(diǎn),則 2213224aD E a a =+= ; 若 33D E 、 分別是 22D B E C 、 的中點(diǎn),則 33137248D E a a a =+= ; 若 n n D E 、 分別是 -1-1n n D B E C 、 的中點(diǎn),則 n n D E =_.專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例 【例 8】 如 圖, 在四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 相交于

7、點(diǎn) O , 直線 l 平行于 BD ,且與 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延長線分別相交于點(diǎn) M 、 N 、 R 、 S 和 P .求證:PM PN PR PS =【鞏固】 已知,如圖,四邊形 ABCD ,兩組對邊延長后交于 E 、 F ,對角 線 BD EF , AC 的延長線交 EF 于 G .求證:EG GF =.【例 9】 已 知:P 為 ABC 的中位線 MN 上任意一點(diǎn), BP 、 CP 的延長線分別交對邊 AC 、 AB 于 D 、 E ,求證:1AD AEDC EB +=【例 10】 在 ABC 中, 底邊 BC 上的兩點(diǎn) E 、 F 把 BC 三等分, BM

8、 是 AC上 的 中 線 , AE 、 AF 分 別 交 BM 于 G 、 H 兩 點(diǎn) , 求 證 :5:3:2BG GH HM =【例 11】 如圖, M 、 N 為 ABC 邊 BC 上的兩點(diǎn), 且滿足 BM MN NC =,一條平行于 AC 的直線分別交 AB 、 AM 和 AN 的延 長線于點(diǎn) D 、 E 和 F . 求證:3EF DE =.【例 12】 已知:如圖, 在梯形 ABCD 中, /AB CD , M是 AB 的中點(diǎn),分別連接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ,且 AC 與 MD 交 于點(diǎn) E , DB 與 MC 交于 F .E nD n E 3D 3E 2D 2E 1

9、D 1C BAlSR PNBA GFEDBPNME D CBA MFECBFNM E CB A(1求證:/EF CD(2若 AB a =, CD b =,求 EF 的長 .【鞏固】 如圖, 在梯形 ABCD 中, AD BC , 396AD BC AB =, , , 4CD =,若 EF BC ,且梯形 AEFD 與梯形 EBCF 的周長相等,求 EF 的長?！纠?13】 如圖, ABCD 的對角線相交于點(diǎn) O ,在 AB 的延長線上任取一點(diǎn) E , 連接 OE 交 BC 于點(diǎn) F , 若 A B a A D c B E b =, , 求 BF 的 值。【例 14】 已知等腰直角 ABC 中, E 、 D 分別為直角邊 BC 、 AC 上的點(diǎn),且 CE CD =,過 E 、D 分別作 AE 的垂線,交斜邊 AB 于 L , K .求證:BL LK =.【習(xí)題 1】 如已 知D EA , 2OA OC OE =,求證:AD BC .【習(xí)題 2】 在 ABC 中, BD CE =, DE 的延長線交 BC 的延長線于 P ,