【KS5U解析】山東省青島市2020屆高三第三次模擬數(shù)學試題 Word版含解析

1、青島市2020年高三自主檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面上對應的點所在的象限為（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】先利用復數(shù)的四則運算得到，從而得到復數(shù)對應的點，故可得正確的選項.【詳解】，復數(shù)z在復平面上對應的點為，該點在第二象限，故復數(shù)z在復平面上對應的點所在的象限為第二象限，故選：b.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義，注意復數(shù)的除法是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，本題屬于基礎題.2.已知全集，集合，集

2、合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】化簡集合m，n，根據集合的交集、補集運算求解即可.【詳解】,故選：a【點睛】本題主要考查了集合的交集、補集運算，考查了一元二次不等式，余弦函數(shù)，屬于容易題.3.如圖是一個列聯(lián)表，則表中、處的值分別為（ ）總計總計a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】b【解析】【分析】根據表格中的數(shù)據可先求出、的值，再結合總數(shù)為可分別求得和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據可得，.故選：b.【點睛】本題考查列聯(lián)表的完善，考查計算能力，屬于基礎題.4.若直線，與平行，則下列選項中正確的（ ）a. p是q的必要非充分條件b. q是p的充分非必要條件c. p是

3、q的充分非必要條件d. q是p的非充分也非必要條件【答案】c【解析】【分析】根據與平行，得到或，再根據集合的關系判斷充分性和必要性得解.【詳解】因為與平行，所以或.經檢驗，當或時，兩直線平行.設，或，因為Ü,所以p是q的充分非必要條件.故選：c.【點睛】本題主要考查兩直線平行的應用，考查充分必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5.在中，如果，那么的形狀為（ ）a. 鈍角三角形b. 直角三角形c. 銳角三角形d. 等腰三角形【答案】a【解析】【分析】結合以及兩角和與差的余弦公式，可將原不等式化簡為，即，又，所以與一正一負，故而得解.【詳解】解：，即與異號，又，與一正一

4、負，為鈍角三角形故選：a.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，涉及到三角形內角和、兩角和與差的余弦公式，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.6.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（ ）a. 50種b. 60種c. 80種d. 90種【答案】c【解析】【分析】根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論，求出確定乙

5、，丙的選擇方法，即可得每種情況的選法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理，即可求出答案.【詳解】解：根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；則一共有種選法.故選：c.【點睛】本題考查分步乘法和分類加法的計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.7.在三棱柱中，側棱底面abc，若該三棱柱的所有頂點都在同一個球o的表面上，且球o的表面積的最小值為，則該三棱柱的側面積為（ ）a. b. c. d. 3【答案】b【解析】【分析】設三棱柱的上、下底面中心分別為、，則的中

6、點為，設球的半徑為，則，設，在中，根據勾股定理和基本不等式求出的最小值為，結合已知可得，從而可得側面積.【詳解】如圖：設三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點為，設球的半徑為，則，設，則，則中，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側面積為.故選：b.【點睛】本題考查了球的表面積公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的側面積，屬于基礎題.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有13個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題可知，設，且恒過定點，轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個交點，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合法，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題

7、可知，函數(shù)有13個零點，令，有，設，可知恒過定點，畫出函數(shù)，的圖象，如圖所示：則函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個交點，由圖象可得：，則，即，解得：，.故選：d.【點睛】本題考查將函數(shù)零點的個數(shù)轉化為函數(shù)圖象交點問題，從而求參數(shù)的范圍，考查轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多頁符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，則實數(shù)可能的取值為（ ）a. b. 1c. d. 2【答案】abc【解析】【分析】根據圖象平移求得函數(shù)的解析式，

8、再利用函數(shù)的單調性列出不等式求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，則滿足，解得，所以實數(shù)的可能的取值為.故選：abc【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.10.在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩張丘建算經是我國古代有標志性的內容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天

9、快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知匹丈，丈尺，若這一個月有天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（ ）a. b. 是等比數(shù)列c. d. 【答案】bd【解析】【分析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差，可得出數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用數(shù)列的通項公式即可判斷出各選項的正誤.【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，（非零常數(shù)），則數(shù)列是等比數(shù)列，b選項正確；，a選項錯誤；，c選項錯誤；，所以，d選項

10、正確.故選：bd.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.11.已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數(shù)可能的取值（ ）a. b. 3c. d. 【答案】ac【解析】【分析】根據題意，得出的導數(shù)，可令切點的橫坐標為，求得切線的斜率，由題意可得關于的方程有兩個不等的正根，考慮判別式大于0，且兩根之和大于0，兩根之積大于0，計算可得的范圍，即可得答案.【詳解】解：由題可知，則，可令切點的橫坐標為，且，可得切線斜率，由題意，可得關于的方程有兩個不等的正根，且可知，則，即，解得：，的取值可能為，.故選：ac.

11、【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，以及根據一元二次方程根的分布求參數(shù)范圍，考查轉化思想和運算能力.12.在如圖所示的棱長為1的正方體中，點p在側面所在的平面上運動，則下列命題中正確的（ ）a. 若點p總滿足，則動點p的軌跡是一條直線b. 若點p到點a的距離為，則動點p的軌跡是一個周長為的圓c. 若點p到直線ab的距離與到點c的距離之和為1，則動點p的軌跡是橢圓d. 若點p到直線ad與直線的距離相等，則動點p的軌跡是雙曲線【答案】abd【解析】【分析】a.根據平面，判斷點的軌跡；b.根據平面與球相交的性質，判斷選項；c.由條件可轉化為，根據橢圓的定義判斷；d.由條件建立坐標系，求點的軌跡方程

12、，判斷軌跡是否是雙曲線.【詳解】a.在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而點p在側面所在的平面上運動，且，所以點的軌跡就是直線，故a正確；b.點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點的軌跡為小圓，設小圓的半徑為，球心到平面的距離為1，則，所以小圓周長，故b正確；c. 點p到直線ab的距離就是點到點的距離，即平面內的點滿足，即滿足條件的點的軌跡就是線段，不是橢圓，故c不正確； d.如圖，過分別做于點，于點，則平面，所以，過做，連結，所以平面，所以，如圖建立平面直角坐標系，設，則，即，整理為：，則動點的軌跡是雙曲線，故d正確.故選：abd【點睛】本題考查立體幾何

13、中動點軌跡問題，截面的形狀判斷，重點考查空間想象能力，邏輯推理，計算能力，屬于中檔題型.三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分13.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】根據題意，由橢圓的標準方程的特點，結合已知條件列出不等式，求解即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題可知，方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的標準方程的特點，是基礎知識的考查，屬于基礎題.14.已知定義在的偶函數(shù)在單調遞減，若，則x的取值范圍_【答案】【解析】【分析】由題意結合偶函數(shù)的性質可得，再由函數(shù)的單調性即可得，即

14、可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，又在單調遞減，所以，解得.所以x的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調性的綜合應用，考查了運算求解能力與邏輯推理能力，屬于基礎題.15.若，則（1）_；（2）_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）化簡二項式為，利用通項，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，根據和（1）中，即可求解.【詳解】（1）由題意，可化為，由，可得，令，即時，可得，所以.（2）令，則，則，由（1）可得，所以.【點睛】本題主要考查了二項展開式的應用，以及導數(shù)四則運算的應用，其中解答中準確賦值，以及利用導數(shù)的運算合理構造是解答的關鍵，著重考查分析

15、問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.16.已知，是平面上不共線的兩個向量，向量與，共面，若，與的夾角為，且，則_【答案】【解析】【分析】設，由已知，可得，從而可求出，則，即可求出模長.【詳解】解：設，因為與的夾角為， 所以 ，則，解得，則，故答案為: .【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本題的難點是用已知表示.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.如圖，在直角梯形中，點是線段的中點，將，分別沿，向上折起，使，重合于點，得到三棱錐試在三棱錐中，（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）

16、證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據勾股定理的逆定理，得出，而，根據線面垂直的判定定理證出平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，根據空間坐標的運算可得出和平面的法向量，利用空間向量法求夾角的公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值【詳解】解：（1）由題知：在直角梯形中，所以在三棱錐中，所以， 又因為，所以平面， 又因為平面，所以，平面平面.（2）由（1）知：，又，以為坐標原點，以的方向分別作為軸，軸，軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，所以，設為平面的法向量，由，可得，令得：，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與

17、平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值，考查推理證明能力和運算求解能力.18.已知為等差數(shù)列，分別是下表第一、二、三行中某一個數(shù)，且，中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287請從， 的三個條件中選一個填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列存在；并在此存在的數(shù)列中，試解答下列兩個問題（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和【答案】（1）；（2）【解析】分析】(1)分別代入， ，結合已知條件可判斷，求出數(shù)列的公差，即可求出通項公式.(2)由(1)知，當n為偶數(shù)時，結合數(shù)列的

18、求和的定義求出，由等差數(shù)列的求和公式即可求解；當n為奇數(shù)時，即可求解.【詳解】解：（1）若選擇條件，當?shù)谝恍械谝涣袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械诙袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械谌袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿足條件的等差數(shù)列都不存在，若選擇條件，則放在第一行第二列，結合條件可知，則公差，所以，若選擇條件，當?shù)谝恍械谝涣袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械诙袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械谌袨?/p>

19、時，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿足條件的等差數(shù)列都不存在，綜上可知：，.（2）由（1）知，所以當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時， ，【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求解，考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了數(shù)列求和.本題的難點是第二問求和時，分情況討論.19.在中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，（1）若還同時滿足下列四個條件中的三個：，的面積，請指出這三個條件，并說明理由；（2）若，求周長l的取值范圍【答案】（1），理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）首先條件變形，利用兩角差的正弦公式變形，求得，再判斷不能同時成立，最后根據判斷能同時成立的

20、第三個條件；（2）首先利用正弦定理邊角互化，表示，再利用三角函數(shù)恒等變形表示周長，最后根據角的范圍求周長的取值范圍.【詳解】解：因為所以即所以 因為a，b，所以，即，所以 （1）還同時滿足條件 理由如下：若同時滿足條件則由正弦定理得，這不可能 所以不能同時滿足條件，所以同時滿足條件所以的面積所以與矛盾所以還同時滿足條件 （2）在中，由正弦定理得：因為，所以，所以 因為，所以，所以周長l的取值范圍為.【點睛】本題考查三角恒等變形，正余弦定理解三角形，重點考查轉化與化歸的思想，計算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題型.20.某市居民用天然氣實行階梯價格制度，具體見下表：階梯年用氣量（立方米）價格（元/

21、立方米）第一階梯不超過228的部分3.25第二階梯超過228而不超過348的部分3.83第三階梯超過348的部分4.70從該市隨機抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用氣編號12345678910年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一戶居民年用氣費y（元）關于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關系式；（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學期望；（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中恰有k戶年用

22、氣量不超過228立方米的概率為，求取最大值時的值【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為；（3）6【解析】【分析】（1）由表格中的數(shù)據結合題意，即可求得一戶居民年用氣費y（元）關于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關系式；（2）由題意知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，得到隨機變量可取，利用超幾何分布求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，進而求得期望； （3）由，列出不等式組由，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，；當時，；當時，所以年用氣費y關于年用氣量x的函數(shù)關系式為.（2）由題知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有

23、3戶，設取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)為，則可取，則，故隨機變量分布列為：0123p所以.（3）由題意知，由，解得，所以當時，概率最大，所以.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的性質及其應用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.21.已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設函數(shù)，若對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）在定義域上單調遞增；（2）【解析】【分析】（1）先求得，利用導數(shù)可得恒成立，故可得的單調區(qū)間.（2）對任意的恒成立等價于對任意恒成立，就和結合的單調性分類討論可得對任意恒成立，參變分離后再次利用導數(shù)可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以.令，則，當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增所以，又因為，所以，在定義域上單調遞增.（2）由得，即，所以，即對任意恒成立， 設，則所以，當時，函數(shù)單調遞增，且當時，當時，若，則，若，因為，且在上單調遞增，所以，綜上可知，對任意恒成立，即對任意恒成立.設，則，所以在單調遞增，所以，即a的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)的單調性以