【KS5U解析】江蘇省南通市基地學(xué)校2020屆高三下學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、江蘇省南通市2020屆高三基地學(xué)校第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_個(gè).【答案】2【解析】【分析】利用交集的定義即可.【詳解】由已知，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集概念的理解，是一道容易題.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，由幾何意義可得所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得答案.【詳解】由已知，所以所對應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)在實(shí)軸上，所

2、以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的幾何意義，是一道容易題.3.一組數(shù)據(jù)3，6，5，7，6的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的方差為_.【答案】【解析】【分析】利用平均數(shù)、方差的公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，解得，所以該組數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、方差的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的的值為_.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)型循環(huán)的含義，知直到時(shí)，退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；因，故退出循環(huán)，此時(shí).故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)當(dāng)型循環(huán)語句計(jì)算輸出值的問題，此類題要做到

3、認(rèn)真通讀語句，建議數(shù)據(jù)較小時(shí)可以采用列舉出來的辦法，是一道容易題.5.若，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為_.【答案】【解析】【分析】基本事件的總數(shù)有種，而函數(shù)有零點(diǎn)必須，找到滿足的種數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，函數(shù)解析式一共有種不同的情況，函數(shù)有零點(diǎn)，則相應(yīng)的一元二次方程的，即，所以有；共6種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式可得函數(shù)有零點(diǎn)的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，涉及到函數(shù)的零點(diǎn)知識，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為_.【答

4、案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，從而，再利用雙曲線離心率公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)過f作漸近線的垂線，則，又，所以，所以，故雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題目，最關(guān)鍵的是找到之間的等量關(guān)系，是一道容易題.7.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，面積為的扇形，則該圓錐的高為_.【答案】【解析】【分析】展開的扇形的弧長即為圓錐底面圓的周長，扇形的半徑即為圓錐的母線，由扇形的面積結(jié)合勾股定理即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，扇形的弧長為，半徑為，由已知，解得，所以，故圓錐的高為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考求圓錐的高，涉及到圓錐的

5、展開圖以及扇形的面積等知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.8.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】【分析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，由題意函數(shù)是偶函數(shù)，所以，再結(jié)合的范圍即可得到答案.【詳解】由已知，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，此函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則，即，又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的平移問題，涉及到函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.9.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為_.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的解析式即可解決問題.詳解】，由題意可得，解得，所

6、以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.10.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為_.【答案】30【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合可得，公差，所以，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得到答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)，得，又，所以，即，故，.故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，涉及到等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.11.已知函數(shù)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】先求出的解析式，再分類討論解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，解得，所以；當(dāng)時(shí)，解得或，所以；綜上，不等式

7、的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解分段函數(shù)不等式，已知函數(shù)值的范圍求自變量的范圍時(shí)，要注意分段討論，特別注意解出的范圍是否滿足相應(yīng)段的自變量的取值范圍，本題是一道中檔題.12.已知，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，令，則原式，利用基本不等式即可解決.【詳解】由已知，所以，故，令，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值的問題，涉及到對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.13.如圖，在矩形中，分別是和的中點(diǎn)，若是矩形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），滿足，且，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】，設(shè)，則，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，且位

8、于矩形內(nèi)部（含端點(diǎn)），設(shè)的中點(diǎn)為，則，只需求的最小值即可.【詳解】由，得，所以.取，則，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，且位于矩形內(nèi)部（含端點(diǎn)），如圖.設(shè)的中點(diǎn)為，則.因?yàn)?，分別是和的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求平面向量數(shù)量積的最小值問題，涉及到向量共線定理的結(jié)論，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，是一道較難的題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.若，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由已知可得點(diǎn)在圓外且在圓內(nèi)（含圓上），設(shè)，易知，分，兩種情況化簡目標(biāo)函數(shù)并數(shù)形結(jié)合即可求得取值范圍.【詳解】由，即，所以

9、，化簡得，所以點(diǎn)在圓外且在圓內(nèi)（含圓上）.設(shè)，易知大圓圓心到直線的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合圖形可知，；當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合圖形可知，.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查非線性可行域且含有絕對值的目標(biāo)函數(shù)的非線性規(guī)劃問題，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)形結(jié)合的思想，是一道難題.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，分別是棱，的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）要證明平面，只需證明即可；（2）要證明，只需證明平面即可.【詳解】（1）在中

10、，分別是棱，的中點(diǎn)，所以.又在三棱柱中，所以.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.16.在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，.已知，成等差數(shù)列，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理可得，又，可得，再利用余弦定理即可；（2）由（1）可得，進(jìn)一步得到，再利用兩角和的正弦公式展開即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得.又由，得.又因?yàn)椋?又由，成等差數(shù)列，得，所以，.由余弦定理可得，. （2）在中，由（1）

11、可得，從而，.故.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理以及兩角和的正弦公式、倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道容易題.17.如圖，要利用一半徑為的圓形紙片制作三棱錐形包裝盒.已知該紙片的圓心為，先以為中心作邊長為（單位：）的等邊三角形，再分別在圓上取三個(gè)點(diǎn)，使，分別是以，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，為折痕折起，使得，重合于點(diǎn)，即可得到正三棱錐. （1）若三棱錐是正四面體，求的值；（2）求三棱錐的體積的最大值，并指出相應(yīng)的值.【答案】（1）（2）最大值為，此時(shí).【解析】【分析】（1）因?yàn)槿忮F是正四面體，所以是正三角形，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，算出，由即可得到答案；（2）易得，設(shè)

12、函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值即可得到體積的最大值.【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在中， ，則.因?yàn)槿忮F是正四面體，所以是正三角形，所以，即，解得. （2）在中，所以高.由可得，.所以三棱錐的體積.設(shè)函數(shù)，則.令得，.列表如下：0極大值所以在時(shí)取最大值，所以.所以，所以.所以三棱錐體積的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題以及三棱錐的體積的計(jì)算，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上位于軸上方的任意一點(diǎn)，過作垂直于的直線交其右準(zhǔn)線于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，求證：直線與橢圓相切

13、；（3）在橢圓上是否存在點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）見解析（3）存在，.【解析】【分析】（1）準(zhǔn)線方程為，結(jié)合即可得到答案；（2），由點(diǎn)斜式寫出的方程，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，利用p、q兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出方程，再與橢圓方程聯(lián)立消元，判斷方程解的個(gè)數(shù)即可；（3）當(dāng)直線的斜率不存在，則，.此時(shí)存在，使得四邊形是平行四邊形；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)，分別求出的坐標(biāo)，利用及解方程組即可判斷.【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，由于，所以，所?設(shè)，則，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.由直線的斜率為，所以直線的方程為，令，得，即，所

14、以直線的方程為.聯(lián)立方程組，消得，化簡可得，即方程有唯一解.所以上述方程組有唯一解，即直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與橢圓相切.（3）若直線的斜率不存在，則，.此時(shí)存在，使得四邊形是平行四邊形.若直線的斜率存在，設(shè)，則，由直線的斜率為，知直線的方程為.令，得，即，所以直線的斜率.假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形，則，.所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓，可得，所以直線的斜率.又直線的斜率，令，即，化簡可得，.又，可以解得，這與矛盾！綜上，符合條件的點(diǎn)只有一個(gè)，其坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到求橢圓的方程、證明直線與橢圓相切、橢圓中的存在性問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求

15、解能力，是一道較難的題.19.已知數(shù)列滿足，.（1）若.設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）若數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析的最小值為6.（2），.【解析】【分析】（1）由已知可得，又，再利用等比數(shù)列的定義即可；利用累計(jì)法可得是以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再用公式法求得即可；（2）設(shè)奇數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，對n分n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，結(jié)合，可得，進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由知，所以，則，所以是以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)

16、列，所以.當(dāng)時(shí)，有最大值6，所以實(shí)數(shù)的最小值為6.（2）設(shè)奇數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，則，即，所以，故.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，即，所以，故.綜上可得，.又，所以.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造法證明數(shù)列是等比數(shù)列、累加法求數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列的求和公式、分類討論求等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.20.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（1）若，求的值；（2）設(shè).若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，試判定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過程.【答

17、案】（1）（2）；函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn).見解析【解析】【分析】（1）由以及即可得到；（2）在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，只需求出的最小值即可；由，知不可能對恒成立，即在定義域上不可能始終都為減函數(shù).進(jìn)一步可得，設(shè)，與有相同的零點(diǎn)，對進(jìn)行分析即可.詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，所以?）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則在上為增函數(shù)，所以在時(shí)恒成立，所以.因?yàn)?，所以，則不可能對恒成立，即在定義域上不可能始終都為減函數(shù).由知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù).又因?yàn)?，所以是函?shù)一個(gè)零點(diǎn).令

18、，得，設(shè)，則與有相同的零點(diǎn)，令，得.因?yàn)椋?，所以有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，因?yàn)?，所以不妨設(shè).當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 在為增函數(shù)，則，.又因?yàn)闀r(shí)，又因?yàn)樵趫D象不間斷，所以在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又因在圖象不間斷，所以在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槭呛瘮?shù)一個(gè)零點(diǎn).綜上函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.第卷（附加題，共40分）【選做題】本題包括a，b，c三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.a.選修42：矩陣與變換21.點(diǎn)經(jīng)矩陣變換后得到點(diǎn)在直

19、線上，且矩陣不存在逆矩陣，求實(shí)數(shù)，的值.【答案】或.【解析】【分析】設(shè)，點(diǎn)在直線及矩陣不存在逆矩陣可得，解方程組即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，化簡得.又不存在逆矩陣，所以聯(lián)立得解之得或.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的線性變換以及可逆矩陣，考查學(xué)生的基本奇數(shù)能力，是一道容易題.b.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在極坐標(biāo)系中，圓的方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若直線與圓恒有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】利用極坐標(biāo)方程與普通方程的互化公式，參數(shù)方程消參得到直線與圓c的普通方程，再利用圓心到直線的距離小于等于半

20、徑即可.【詳解】由得，即所以圓的方程對應(yīng)的普通方程為，直線的普通方程為.因?yàn)橹本€與圓恒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即.解得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.c.選修45：不等式選講23.已知不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】【分析】由題意，是方程的根，或，代入檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋允欠匠痰母?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，所以故不等式的解集為，不合題意，舍去.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)不等式的解集為，符合題意，所以.【點(diǎn)睛】本題考查已知絕對值不等式的解集求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.24.一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面分別涂有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體底面上的數(shù)字分別為，記.（1）記取得最大值時(shí)的概率；（2）求