解的存在定理

1、第三章一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2.了解解的延拓定理及延拓條件。3.理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點(diǎn)解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法講授，實(shí)踐。教學(xué)時間12 學(xué)時教學(xué)內(nèi)容解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連 續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo)1理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓

2、定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動解釋所 出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是， 大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始 條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性 在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理

3、論的基礎(chǔ)。例如方程dx過點(diǎn)(0,0)的解就是不唯一，易知y = 0是方程過(0,0)的解，此外，容易驗(yàn)證，討或更一般地,函數(shù)丄 00 乞 x 乞 cy =2l(x-c)cx1都是方程過點(diǎn)(0,0)而且定義在區(qū)間0 豈 X叮 上的解，其中c是滿足0：C：1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而 解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯 一，不能確定所求的是哪個解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯

4、一性。1 .存在性與唯一性定理 ：(1)顯式一階微分方程dy= f(x,y) dx(3.1 )(3.2 )這里f (x, y)是在矩形域：R：| x -x01 - a,| y - y0|-b上連續(xù)。定理 1 如果函數(shù)f (x, y)滿足以下條件：1 )在R上連續(xù)：2)在R上關(guān)于變量y滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)L 0，使對于R上任何一對點(diǎn)(x, y-i)，(x, y2)均有不等式f (x,yj f(x, y2)|蘭L % y2成立，則方程(3.1 )存在唯一的解y =(x)，在區(qū)間|xx任h上連續(xù)，而且滿足初始條件(X。)=y(3.3)b其中h =min( a,),MM嘩

5、f(x,y),L稱為 Lipschitz 常數(shù).思路：1)求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程xy = y。f (x, y)dx的連續(xù)解。2)構(gòu)造近似解函數(shù)列n(x)任取一個連續(xù)函數(shù)：0(x)，使得|o(x) - yolb，替代上述積分方程右端的y，得到x1(X)=yf(x,o(x)dxxo如果：1(x)三叫(x)，那么：0(x)是積分方程的解，否則，又用：1(x)替代積分方程右端的y，得到X2(x)*0、f(x, l(x)dx如果：2(x)=1(x)，那么1(x)是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到xn(x)=y0+j f (X,n_L(X)dXx0(3.4)于是得到函數(shù)序列n(x).3

6、)函數(shù)序列n(x)在區(qū)間x- h, x h上一致收斂于(x)，即町n(xT(x)存在，對(3.4)取極限，得到lim：n(x) =yolim f (x,二yf(x, (x)dxxoz(x)dxX即(x)=y+ J f(x,(x)dx.x4)(x)是積分方程y 二乂 f(x, y)dx在x0_h,x0h上的連續(xù)解bX0這種一步一步求出方程解的方法一一逐步逼近法在定理的假設(shè)條件下，分五個命題來證明定理為了討論方便，只考慮區(qū)間 x()_x _ x0h,對于區(qū)間x0- h _ x _ x0的討論完全類似命題 1 設(shè)y =(x)是方程(3.1)定義于區(qū)間 人乞X乞x0h上,滿足初始條件:(x) =y0的

7、解,則y =(x)是積分方程xy = y+ J f (x, y)dxX。蘭X乞X。+ h(3.5)%的定義于X0乞X三X0- h上的連續(xù)解反之亦然證明 因?yàn)閥二(X)是方程(3.1)滿足(x0)=y0的解，于是有4=f(x, (X) dx兩邊取X0到X的積分得到X(x)-申(x)=J f(x,W(x)dxxExX0+hX即有(x) = y0f(x, (x)dxx0乞x乞x0h*所以y = (X)是積分方程y =y0亠丨f (x, y)dx定義在區(qū)間x0乞X乞X0h上的連續(xù)解.反之,如果y二(X)是積分方程(35)上的連續(xù)解，則XW(x) =y+ J f (x,W(x)dxX 蘭X蘭x+h由于f

8、(x, y)在R上連續(xù)，從而f (x, (x)連續(xù),兩邊對x求導(dǎo),可得d (x).f(x, (x)dx而且(X0)=y,故y= (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間x0_ x _ x0h上，且滿足初始條件，(X0)=y的解構(gòu)造 Picard 的逐次逼近函數(shù)序列n(x).(3.3)(3.6)(3.7)工0(x)二y,.x(n -1,2,HI)fn(x) =y + ( f(匚咒斗(訕匕xn+hLx0命題 2 對于所有的n, (3.6 )中的函數(shù)n(x)在X0乞x乞Xoh上有定義，連續(xù)且滿足不等式In(x)-yo|b(3.8)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明X當(dāng)n=1時，+ l f(E,y0)d，顯然% (x)在x

9、0蘭x乞x0+ h上有定義、連續(xù)且有LX0X.xi(x)-yo閆f(y)d： |蘭f( Jy) |d蘭M (x x。)蘭Mh蘭b即命題成立.假設(shè)n=k命題 2 成立，也就是在x0乞x豈x。h上有定義、連續(xù)且滿足不等式I l(x) - y。|_b當(dāng)n = k 1時，xLi(x)二y。f( ,k( )dxxo由于f (x,y)在R上連續(xù)，從而f ( x,k(x)在x0 x乞x0 h上連續(xù)，于是得知(x)在X。冬x乞X。h上有定義、連續(xù)，而且有xI：ki(x)-y。匸Jf( ,1( )|d、M(x-X0HMhEbX0即命題 2 對n = k 1時也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對所有的n均成立.命題 3函數(shù)序

10、列n(x)在x。乞x乞x。h上是一致收斂的.記limn(x) = (x),x。_ x _ x。hn/ :證明構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級數(shù)0(x) k(x) -k4(x)x。 X _x。h(3.9)km它的部分和為nSn(X)0(X)k(X；k4(x)H：n(X)km于是n(x)的一致收斂性與級數(shù)(3.9)的一致收斂性等價.為此，對級數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).XIi(x)-%(x)FJ |fG%G)|ddM(x-X。)(3.10)X|2(x)-i(x)|乞|f( ,i( )-f( ,。()|d由 Lipschitz條件得知xI l(x)一i(x)|Li( )一L( )|dExLM( -xo)dML-2!(x

11、-x。)2設(shè)對于正整數(shù)n,有不等式ML n /ID -X)匡(X-X)nn!成立,則由 Lipschitz 條件得知，當(dāng)x0_ x _ x0h時,有x|%+(X)- % (x)伍 J I f (匕,陳(E) - f (E,%M) I d；0X L |n( )- 2( )|dEnx- 一，x0n(XW1.ML.ML一(n+1)!于是由數(shù)學(xué)歸納法可知，對所有正整數(shù)k,有k _1k J|k(x) -k(x) |乞一(xx)k hkk!k!(3.11)hk由正項(xiàng)級數(shù)vMLKJk壬k!的收斂性，利用 Weierstrass 判別法，級數(shù)(3.9)在x0乞x乞x0h上一致收斂.因而序列 n(x)在x0空x

12、乞x0h上一致收斂.設(shè)lim (x) :：(x),則(x)也在x乞x乞xh上連續(xù),且n -|(X)-y。命題 4:(x)是積分方程(3.5)的定義在 滄_x _x0 h上的連續(xù)解.證明 由 Lipschitz 條件| f(x, ；(x) - f(x,：(x)匡L(fēng)|n(x) -(x)|以及 ；(X)在X乞X空X* h上一致收斂于；：(X),可知f(X, ；(X)在滄空X乞X，h上一致收斂于f (X, (X).因此Xlim申n(x) = y+lim J f (n廠n： X)X二y。lim f (，-；( )d即X咒(x) = y + f(E,(E)dE故(x)是積分方程(3.5)的定義在x0_ x

13、 _ x0h上的連續(xù)解.命題 5設(shè)(x)是積分方程(3.5)的定義在x0乞x乞X。 h上的一個連續(xù)解，則(X)三-(x),Xo_ x _ xoh.證明 設(shè)g(x)=|:(x- (x) |,則g(x)是定義在Xo_x_xo h的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由于xx毋(x)=y+ f 代浮代)肚屮(x) = y + J f(J 屮(ddE而且f (x, y)滿足 Lipschitz 條件,可得xg(x)斗(x)屮(x)冃Jf(J屮()d|xoxx|f( ,：( ) f(,一()|dx0 xx蘭L呼)-屮(|d“少呪匕x0 x0 x令u(x) = L g( )d,則u(x)是x0mxmx0 h的連續(xù)可微函數(shù)，且u

14、(x00,%0乞g(x)乞u(x),u (x)二Lg(x),u (x)豈Lu(x),(u (x) - Lu(x)e_L 0,即(udjeX) _ 0,于是在x0_ x _ x0h上，u(x)e_Lu(x0)e_Lx 0故g(x) 3(x)乞0,即g(x)三0,x乞x豈冷h,命題得證.對定理說明幾點(diǎn)：b(1)存在唯一性定理中h =min(a,)的幾何意義.My忍-越忌+a圖在矩形域R中f(x,y)蘭M,故方程過(xo,y)的積分曲線y=(x)的斜率必介于-M與M之間，過 點(diǎn)(x0, y0)分別作斜率為-M與M的直線.當(dāng)M 時，即a -一 ,(如圖所示)，解y hF(x)在Xo-ax X。a上有定

15、義；當(dāng)M 時,aMa即 一_a,(如圖()所示)，不能保證解在x。- a _x _x0- a上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩M形R外去，只有當(dāng)x0 _x乞x0才能保證解y二(x)在R內(nèi)，故要求解的存在范圍是MM|xX。|遼h.(2)、由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來代替他，即如果函數(shù)f (x, y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x, y)存在并有界，即fy(x,y)蘭L,則李普希茲條件條件成立.事實(shí)上乞L| yi一y21這里(x, yi),(x, y2)R,0：1.如果fy(x,y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲

16、條件的函數(shù)f(x,y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)f (x, y) =| y |在任何區(qū)域都滿足李普希茲條件，但它在y = 0處沒有導(dǎo)數(shù).(3)、設(shè)方程(3.1)是線性的，即方程為業(yè)=P(x)y Q(x)dxIB -yzl易知，當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間:，訂上連續(xù)時，定理 1 的條件就能滿足,且對任一初值(x0, y0),x0，一：所確定的解在整個區(qū)間二訂上有定義、連續(xù).實(shí)際上，對于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在| x - x0|- h上,是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列n(x)時，要求它不越出矩形域R,此時，右端函數(shù)對y沒有任何限制，只要取(4)、Lipschitz 條件是保證

17、初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件例如試證方程經(jīng)過xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的證明y = 0時，f(x, yHyln |y |,在y = 0上連續(xù)，fy(x,y) =1 In | y |也在y = 0上連續(xù),因此對x軸外的任一點(diǎn)(x0, y0),方程滿足y(x。)= y。的解都是唯一存在的又由解，它們不可能與y = 0相交注意到y(tǒng) = 0是方程的解，因此對x軸上的任一點(diǎn)(X0,0)，只有y =0通過，從而保證xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的但是I f (x，y) - f (x,0) |=| yl n|y|=|ln |y|y | f(x, y)-f(x,0) |L|y|所以方程右端函數(shù)在

18、y = 0的任何鄰域并不滿足 Lipschitz 條件此題說明 Lipschitz 條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件2)考慮一階隱方程F(x, y, y )=0(3.12)F由隱函數(shù)存在定理，若在(x0,y0,y0)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(x0,y0,y0) =0,而0,則必可把ymaxx.:.，列|P(x)y。Q(x)|.虬dx yl n |y |y=0可得方程的通解為X-e，其中y二ecex為上半平面的通解xcey=-e為下半平面的通因?yàn)?1n | y |=：，故不可能存在L 0,使得唯一地表為x, y的函數(shù)y = f(x, y)(3.13)并且f (x，y)于(x0, y

19、0)的某一鄰域連續(xù)，且滿足y0二f(X0, y0)如果F關(guān)于所有變元存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則f(x,y)對x,y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.x|%(x) 9(x)1 蘭 J I f (匕嚴(yán)() |d：蘭 M (x X0)蘭 Mhx0設(shè)有不等式n 4| z(x)(x)|乞(X-X0)nn!f汗/ ：F(3.14)顯然它是有界的，由定理 1 可知，方程(3.13)滿足初始條件的y(x0)=O解存在且唯一定理定理 2如果在點(diǎn)(Xo,yo,yo)的某一鄰域中：.從而得到下面的i)F(x,y,y )關(guān)于所有變元(x,y,y)連續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);ii)F(xo,yo,y) =0說)y

20、。，y。)_0f y則方程(3.12 )存在唯一的解y =y(x)|x-x0|_h(h為足夠小的正數(shù))滿足初始條件y(x。)= y。，y(x。)= y。1、近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法一一 Picard 的逐次逼近法o(x)二y0泊n(x) = y+fx蘭X + hx0(3.15 )對方程的第n次近似解：n(x)和真正解(x)在|x-X0|_h內(nèi)的誤差估計(jì)式|：n(X)-(X)匸也h1(n 1)!(3.16 )MLn!成立,則I：n(X)- “x)|乞x| f( ,2()-f( , ()|dx0 x4 J)-()dEx0MLn m時，(x,(X)趨于區(qū)域G的邊界。dxdxdx證明(Xo

21、,yo：T G，由解的存在唯一性定理，初值問題(i)的一個飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間定是開區(qū)間菩(約).y。二y(x。)存在唯一的解y二(x)，解的存在唯一區(qū)間為| x - x0|_ h0.取捲=x0h0,yi=(x)以(知力)為中心作一小矩形R G,則初值問題存在唯一的解y(x)，解的存在唯一區(qū)間為|x_xm.因?yàn)?(x1 (x-i),有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有(x)=(x),即當(dāng)為一遼乂遼為時(x(x).定義函數(shù)F(x),x+ho蘭x蘭x。十1%十0則y =y(x)是方程(3.1)滿足(1)(或(2)的，在X。-h,Xi 0上有定義的唯一的解.這樣，把方程(3.1)滿足(1)的

22、解y二(x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解y = (X)看作方程(3.1)的解y =：(x)在定義區(qū)間| x -x。匸h。的向右延拓，延拓到更大區(qū)間x。-h。乞x乞X。h。 g.同樣的方法，也可把解y =F:(x)向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個解y =:(x)，不能再向左右延拓了 .這個解稱為方程(3.1)的飽和解.推論 1 對定義在平面區(qū)域G上的初值問題若f (x，y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部 Lipschtiz 條件，則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解 推論 2 設(shè)y = (x)其中(x?！?。)，Gy。二y(x。)yi= y(xd(i)的一個飽

23、和解，則該飽和解的飽和區(qū)間定是開區(qū)間是初值問題其中(x。)，Gy。二y(x。)證明 若飽和區(qū)間I不是開區(qū)間，不妨設(shè)I =(o(,B,則(B,W(0)EG,這樣解y = (x)還可以向右延 拓,從而y =(X)是非飽和解,矛盾對I =_:,：)時,同樣討論,即X J (或Xr J)時, (X,(x)推論 3 如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)通過(x0,y0)點(diǎn)的解y二(x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來說，有以下兩種情況：(1)解y= (x)可以延拓到區(qū)間x0：)(或(Y,xj)；(2)解y二(x)只可延拓到區(qū)間x,m)(或(m,x。)，其中為有限數(shù)，則當(dāng)x

24、 m時，或者y =(x)無界,或者點(diǎn)(x,:(x) - G.洩=11分別通過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(In 2, -3)的解的存在區(qū)間dx 2解此方程右端函數(shù)y2-1f(x, y)在整個xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件易知方程的通解為1 +cexyX1 -ce故通過點(diǎn)(0,0)的解為y二(1 ex)/(1 ex),這個解的存在區(qū)間為-：x;xx通過點(diǎn)(In 2, -3)的解為y = (1 e )/(1 -e ),這個解的存在區(qū)間為0 ： x ：:(如圖所示).注意，過點(diǎn)(In 2,-3)的解為y = (1 ex)/(1-ex)向右方可以延拓到：-,但向左方只能延拓到0,因?yàn)楫?dāng) Xr

25、0.時，yr - -St-In 21-I-3廠例 1 討論方程例 2 討論方程dy-1 In X過(1,0)點(diǎn)的解的存在區(qū)間dx解 方程右端函數(shù)f (x, y) =1 In x在右半平面x 0上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件區(qū)域G(右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界.易知問題的解為y=xl nx,它于區(qū)間0 ： x上有定義、連續(xù)且當(dāng)x0時,y；0,即所求問題的解向右方可以延拓到:,但向左方只能延拓到0,且當(dāng)x0時積分曲線上的點(diǎn)(x,y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例 3 考慮方程dy= ( ya2) f (x, y),假設(shè)f (x, y)和fy(x, y)在xoy平面上連續(xù)，試證明

26、：對dx于任意x0及y0|ca，方程滿足y(x0) =y0的解都在(亠，垃)上存在.證明根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個xoy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又y=a為方程在(一立，：)上的解，由延拓定理可知，對-x0,|y0|：a,滿足y(x0) = y0的解y二y(x)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是,由解的唯一性,y二y(x)又不能穿過直線y =a,故只能向兩側(cè) 延拓，而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(-；：)存在.注：如果函數(shù)f (x, y)于整個xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間-：:x ： :.練習(xí)試證對任意X。

27、，y0，方程 史=滿足初始條件y(x) =y的解都在(-：,=：)上dx x+ y+1存在. 3 解對初值的連續(xù)性和可微性定理f (x, y)經(jīng)過點(diǎn)(x, y)的解.但是假如(x, y)變動，則相應(yīng)初值問題的解也隨之變動，也就是dx說初值問題的解不僅依賴于自變量x,還依賴于初值(x0, y0).例如：f (x, y) = y時,方程y = y的解函數(shù).因此將對初值問題史=f (x y)dx 的解記為y二(x, X0,y),它滿足y = (X0,X0,y).乂二y(X0)在初值問題d=f (x，y)中我們都是把初值y。二y()(X。，y。)看成是固定的數(shù)值，然后再去討論方程x和初始條件(x0,y

28、)的當(dāng)初值發(fā)生變化時，對應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動時，方程解的變化是否也很小呢?為此就要討論解對初值的一些性質(zhì).1 解關(guān)于初值的對稱性設(shè)方程(3.1)滿足初始條件y(x。)=y的解是唯一的,記為y = ：:(x, x。，y。)，則在此關(guān)系式中(x, y)與(xo, yo)可以調(diào)換其相對位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式y(tǒng)。=(xo,x, y)證明 在方程(3.1)滿足初始條件y(Xo) = yo的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)x,顯然yi護(hù)(Xi, x。，y。,)則由解的唯一性知，過點(diǎn)(Xi,yj的解與過點(diǎn)(x。，y。)的解是同一條積分曲線，即此解也可寫為y =(x,xi, yj并且，有y。

29、二(x,Xi,yi).又由(Xi,yJ是積分曲線上的任一點(diǎn)，因此關(guān)系式y(tǒng)。二(x,x,y)對該積分 曲線上的任意點(diǎn)均成立.2 、解對初值的連續(xù)依賴性由于實(shí)際問題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn)測量得到的，肯定存在誤差.有的時候誤差比較大，有的時候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)(x,y。)變動很小的時候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續(xù)依賴性所要研究的問題：在討論這個問題之前， 我們先來看一個引理：引理：如果函數(shù)f (x, y)于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足 Lipschtiz 條件(Lipschtiz 常數(shù)為L)，則 對方程(3.i )的任意兩個解- (x)及

30、(x)，在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式|匕)，&)|_|心。)亠他)甘5(3.i7)其中Xo為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè)(x), (x)于區(qū)間axb上均有定義，令V(x)二(x) - (x)2,a E x 4則V (x) =2 (x)(x) f(x, J - f(x)于是V (x) V (x)|=2|:(x- (x) | f(x,) -f(x )12LV(x)V (x)eLx2LV(x)eX乞0是y = cex，將初始條件y( x) = y帶入，可得y = yef.很顯然它是自變量從而(V(x)eLxp0dx所以,對_x。 a,b,有V(x)mV(Xo)e2L(xJ0,記P = d(G

31、, S)J = min(名，P/2), L = max(L,|LN),則以S上的點(diǎn)為中 心,以 為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域D G G,且f (x, y)在D上關(guān)于y滿足 Lipschitz 條件，Lipschitz 常數(shù)為L.第二步：證明、，-：(；ab, ) o (，使得當(dāng)(X。-xo2y-y0)2時,解y = t(x)二(x,xo, yo)在區(qū)間a乞xb上也有定義.由于D是一個有界閉域， 且f (x, y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足 Lipschitz 條件， 由解的延拓定理可知， 解y J： (x) =(x,X0,y。)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(cj C

32、)和(d ,-： (d),c ： d,這時必有c _ a, d _ b.否則設(shè)c - a,d : b,由引理有| O) - (x) |_|(x)(xo) | eL|5c乞X乞d1利用(x)的連續(xù)性，對e_L(b),必有：2 0存在，使當(dāng)|X-X|2時有|(X)-(X0)| =1,2取：=minG2),則當(dāng)(XD-x。)2 (y。-y。)22時就有1|(X)亠(x)l2勻(Xo)(Xo)|2e2L|y仮)-認(rèn))|(Xo)(Xo)|)2e2L5乞2(|(X。)- (X。)|2- |:(xo- (xo) |2)e2L|X(3.18)22、2L(b_a):2(、| y。- y。| )e乞42e2心2(

33、cxEd)于是對一切x c，d，|(x)(x)|：成立，特別地有|：(c) -： (c)|：，| ：(d) -： (d)卜：即點(diǎn)(c(c)和(d，t(d)均落在域D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾，故解y=J(x)在區(qū)間a，b上有定義.第三步 證明|(x) -(x) | ：；，a _ x _ b.在不等式(3.18 )中將區(qū)間c，d換成a，b，可知當(dāng)(X。x。)2 (V。y。)2：2時，就有(x，X。，) -(x，x。，y。)：- ；，a x Eb.根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有3、解對初值的連續(xù)性定理若函數(shù)f (x，y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則方程(3.1)

34、 的解y =(x,Xo, yo)作為x，x()，y。的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的證明 對一(x，y。)，G，方程(3.1)過(x0, y0)的飽 和解y二(x，x，y。)定義于：(x。，y。) x ： (x ，上，令axob,則對一 ；V,；，a,b) o,使得當(dāng)V =(x,Xo,yo)| ：(Xo,yo) EXE：(X0,yo),(X0,yo) G下證y=(x, x0, y0)在V上連續(xù)對(X,Xo,y。)V,a,b,使解y二(X,Xo,yo)在a,b上有定義，其中X,% a,b._2_22對. 0-i0,使得當(dāng)(XQ-X。)(%-%)i 時，gI(x, Xo,yo)(x, x,y) V,

35、a蘭X蘭b2又y二(x, Xo, yo)在xa,b上對x連續(xù)，故譏0,使得當(dāng)|X-xk、：2時有g(shù)(x,Xo, yo) (x,Xo, y)亍X,x引a,b_2_2_22?。?min(、i,、2),則只要(X -x)(Xo-xo)(y-yo)一：就有(X,Xo,%) - (x,Xo,yo)(x,xo,yo(x,Xo,yo) | | (X,Xo,yo) - (x,Xo,yo) |(x, Xo, yo)在V上連續(xù)4、解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理討論含有參數(shù)的微分方程dyf (x, yj.)G,: (x, y) G,G v k c B(3.19)dx如果對-(x , y； ) G，都存在以(x ,y

36、,為中心的球CG.，使得對任何(x, y1, ),(x, y2, T C，成立不等式| f (x, y1, J - f (x, y2,)匸L |力 一y21其中L是與無關(guān)的正數(shù)，稱函數(shù)f(x,y,-)在G.內(nèi)關(guān)于y致地滿足局部的李普希茲條件.由解的唯一性，對每一 (, )，方程(3.19 )通過點(diǎn)(X。，y。) G的解是唯一確定的，記這個解為axob,則對一 ；V,；，a,b) o,使得當(dāng)y =(x,xo, yo,o).設(shè)f (x,y,)在G,內(nèi)連續(xù)，且在G,內(nèi)關(guān)于y致地滿足局部的李普希茲條件，(Xo, yo, oT G , y = (x, x, y, )是方程(3.19)通過(x, y)的解，在區(qū)間a - x b上有定義，其中7_ 2 _ 2 2 2(Xo Xo) - (yo yo) - (J工一0)時,方程(3.19)通過點(diǎn)(xo,yo)的解y =(x, Xo, y0,入)在區(qū)間a蘭xwb上也有定義，并且(x,Xo,y。，) -(x,Xo, yo,) ： ；,x a,b5、解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)f(x, y,)在區(qū)域G.內(nèi)連續(xù)，且在G，關(guān)于y致地滿足局部李普希茲條件，則方程(3.19)ftj的解y =(x,xo,y, )作為x,x,y,的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.6、解對初值的可微性定理如果函數(shù)