【KS5U解析】江西省九江市十校2020屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若，則（ ）a. b. 3c. d. 1【答案】c【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2. 設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求解一元二次不等式和根式不等式，即可求得集合，再求交集即可.【詳解】容易得，所

2、以.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3. 某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.4. 若雙曲線()的離心率為，則（ ）a. b. c. 4d. 【答案】d【解析】【分析】將雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用離心率公式得

3、到關(guān)于的方程，即可得答案；【詳解】因?yàn)?)可化為()，所以，則，即.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的離心率求參數(shù)值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意雙曲線方程先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.5. 如圖，在等腰直角中，分別為斜邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過作的垂線，垂足為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)出等腰直角三角形的斜邊長，由此結(jié)合余弦定理求得各邊長，并求得，由此得到，進(jìn)而利用平面向量加法和減法的線性運(yùn)算，將表示為以為基底來表示的形式.【詳解】設(shè)，則，所以，所以.因?yàn)?，所?故選：d【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查利用

4、基底表示向量，屬于中檔題.6. 已知底面是等腰直角三角形的三棱錐p-abc的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（ ）a. pa，pb，pc兩兩垂直b. 三棱錐p-abc的體積為c. d. 三棱錐p-abc的側(cè)面積為【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三視圖，可得三棱錐p-abc的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐p-abc的直觀圖如圖所示，其中d為ab的中點(diǎn)，底面abc.所以三棱錐p-abc的體積為，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，.三棱錐p-abc的側(cè)面積為.故正確的為c.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題

5、.7. 山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（ ）附：若，則，.a. 0.6826b. 0.8413c. 0.8185d. 0.9544【答案】c【解析】【分析】根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，將所求概率轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意，則，所以，.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.8. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】

6、c【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡為，根據(jù)題意得出，可得出關(guān)于的表達(dá)式，即可求出正數(shù)的最小值.【詳解】，由于該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，得，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)，解題時(shí)要將三角函數(shù)的解析式利用三角恒等變換思想化簡，并通過對(duì)稱性列出參數(shù)的表達(dá)式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9. 若曲線()存在斜率小于1的切線，則a的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式有解問題，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可得答案；【詳解】由題意可得在上有解，設(shè)()，令，得；令，得，在單

7、調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，解得：.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式有解問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.10. 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：a【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸

8、與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11. 已知直線yk（x1）與拋物線c：y24x交于a，b兩點(diǎn)，直線y2k（x2）與拋物線d：y28x交于m，n兩點(diǎn)，設(shè)|ab|2|mn|，則（ ）a. 16b. 16c. 120d. 12【答案】d【解析】【分析】分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)， 聯(lián)立則，因?yàn)橹本€經(jīng)過c的焦點(diǎn)， 所以.同理可得，所以故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。12. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下

9、：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（ ）a. 56383b. 57171c. 59189d. 61242【答案】c【解析】【分析】根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23，公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列則 令，解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。第卷二、填空題：本大題

10、共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13. 的展開式中的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可容易求得.【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，得，則的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.14. 在等比數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和為_.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，再代入前項(xiàng)和公式，即可得答案；【詳解】，的前5項(xiàng)和.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.15. 已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為_【答案

11、】【解析】【分析】求出不等式在的解，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得出不等式在上的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，可得，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí).所以，不等式在的解為.由于函數(shù)為偶函數(shù)，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)不等式的求解，同時(shí)也涉及了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16. 在矩形中，為的中點(diǎn)，將和分別沿，翻折，使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若，則三棱錐的外接球的表面積為_.【答案】.【解析】【分析】計(jì)算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為r，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可

12、得，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 如圖，四棱錐的側(cè)棱與四棱錐的側(cè)棱都與底面垂直，.（1）證明：平面.（2）求平面平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明/，即可由線線平行推證線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立

13、空間直角坐標(biāo)系，通過向量法求解二面角.【詳解】（1）證明：平面，.，.同理可得.又平面，平面，/.，四邊形為平行四邊形，/.平面，平面，/平面（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，得.易知平面的一個(gè)法向量為，故所求銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求二面角，屬綜合中檔題.18. 已知橢圓的焦距為，短軸長為.（1）求的方程；（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出和的值，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立

14、，列出韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)和，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，所以，所以的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去，得.由韋達(dá)定理得，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.，所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，一般將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19. 內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求b；（2）求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，即可計(jì)算出，再由余弦定理計(jì)算出邊.（2）由面積公式（為內(nèi)切圓的半徑），及解

15、得.【詳解】解：（1）由，得，則又，所以.由余弦定理得，即，即，解得或5.若，則為等腰直角三角形，與矛盾，舍去，故.（2）當(dāng)時(shí)，的面積為，則內(nèi)切圓的半徑.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，以及二倍角公式，屬于中檔題.20. 追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率.（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)

16、損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為，,9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為元，求的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過2.88萬元？說明你的理由.【答案】（1）（2）（i）分布列見解析（ii）這3個(gè)月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過2.88萬元，理由見詳解.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可容易求得；（2）（i）求得的取值，再根據(jù)題意，求得對(duì)

17、應(yīng)取值的概率，則分布列得解；（ii）根據(jù)（i）中所求，結(jié)合題意，求得個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失的總額，即可容易判斷.【詳解】（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）（）的可能取值為0，220，1480，則的分布列為02201480（ii）由（i）知（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為（元）.設(shè)該企業(yè)7月與8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為元，則，所以（元），所以7月與8月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失的總額為（元）.因?yàn)槿f，所以這3個(gè)月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過2.88萬元.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解，涉及離散型隨機(jī)變量分布列的求解，涉及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬綜合中檔題.21.

18、 已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，所以，即.當(dāng)時(shí)，則，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如