【KS5U解析】河南廣東等省2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·聯(lián)考文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】可用列舉法列出所有真子集即可.【詳解】由題可解集合，則集合a的真子集有、.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查集合的真子集，可用列舉法或公式計(jì)算即可，易錯(cuò)點(diǎn)為列舉法容易忽略空集，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則（ ）a. 0b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由圖可得點(diǎn)，即可得復(fù)數(shù)，的代數(shù)形式，進(jìn)行復(fù)數(shù)相乘即可.【詳解】由

2、圖可得：，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)求復(fù)平面所表示的復(fù)數(shù)，運(yùn)用乘法法則進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算即可，屬于基礎(chǔ)題.3.若向量與向量平行，則( ).a. b. 2c. d. 8【答案】a【解析】【分析】由，可解得，所以可得，即可求得.【詳解】由，可得，解得，所以，可得.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查向量的共線定理及向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則常數(shù)( )a. b. c. 1或d. 0【答案】a【解析】【分析】方法一：可知是偶函數(shù)，則可解出a；方法二：可知是偶函數(shù)，利用特殊值，令，可解出a.【詳解】方法一：可知是偶函數(shù)，則即，解得.

3、方法二：可知是偶函數(shù)，令，即，解得.此時(shí)為偶函數(shù)，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，由函數(shù)是偶函數(shù)求參數(shù)值，常用或代入特殊值建立方程求解，屬于基礎(chǔ)題.5.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，判斷下列結(jié)論：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析

4、】【分析】由題圖可知逐一分析即可，這三年8月到9月的月接待游客量在減少，則結(jié)論（1）錯(cuò)誤，（2）（3）（4）正確.【詳解】由題圖可知，這三年8月到9月的月接待游客量在減少，則結(jié)論（1）錯(cuò)誤；年接待游客數(shù)量逐年增加，故（2）正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正確；各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)變化較小，而7月至12月則變化較大，故（4）正確；故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，考查統(tǒng)計(jì)思想與分析數(shù)據(jù)能力，屬于簡(jiǎn)單題.6.若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則( )a. 2b. 4c. 8d. 16【答案】d【解析】【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)及雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，由條件得.【

5、詳解】拋物線的焦點(diǎn)是，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，由條件得解得.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)，屬于綜合題，但是難度不大，注重基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)考查，屬于簡(jiǎn)單題.7.函數(shù)的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】排除法：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)有，0，1三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為正數(shù)，進(jìn)行選項(xiàng)排除即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除d；函數(shù)有，0，1三個(gè)零點(diǎn)，故排除a；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為正數(shù)，故排除b.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，根據(jù)解析式求圖像通常利用排除法，依據(jù)有函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、定義域、值域、特殊值等，屬于中等題.

6、8.九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的體積為（ ） a. b. c. 1d. 2【答案】d【解析】【分析】由三視圖及條件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和邊長(zhǎng)，再由直三棱柱的高為2，利用體積公式可求體積.【詳解】由三視圖可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面上的高為1，兩條直角邊，斜邊為2.直三棱柱的高為2，故，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖及體積公式，考查轉(zhuǎn)化和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由對(duì)

7、數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，可得.【詳解】，.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的大小比較，若同底采用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，不同底則引入中間值進(jìn)行比較，屬于基礎(chǔ)題.10.在中有，角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，則角為（ ）a. b. c. 或d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理得：或，即可求角c.【詳解】，由正弦定理得：即可得或，或，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為利用正弦求三角形內(nèi)角容易忽略為鈍角的情況，本題屬于簡(jiǎn)單題.11.如圖長(zhǎng)方體中，過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)分別為2、4、6，點(diǎn)為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)為其所在棱的中點(diǎn)，則沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為（ ）a. b. c.

8、d. 【答案】c【解析】【分析】由長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖可得有3種情況如下：當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為2；當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為4；當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為6，分別再求出展開(kāi)圖ab的距離即可得最短距離.【詳解】由長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖可得：（1）當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為2，則沿著長(zhǎng)方體的表面從到的距離可能為；.（2）當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為4，則沿著長(zhǎng)方體的表面從到的距離可能為；.（3）當(dāng)點(diǎn)所在的棱長(zhǎng)為6，則沿著長(zhǎng)方體的表面從到的距離可能為；.綜上所述，沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.12.傾斜角為的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)、，且點(diǎn)、在軸上的投影恰好為雙曲

9、線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】方法一；由雙曲線的對(duì)稱性可知直線過(guò)原點(diǎn)，可得為等腰三角形且，根據(jù)勾股定理及雙曲線的定義可得：.方法二：等腰中，可得，且.又根據(jù)，聯(lián)立可解得.【詳解】方法一；由雙曲線的對(duì)稱性可知直線過(guò)原點(diǎn)，在等腰中，則，.由雙曲線的定義可得：即故.方法二：等腰中，.又，得.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立等量關(guān)系求解，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知數(shù)列滿足，為常數(shù)，則_.【答案】2【解析】【分析】數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式

10、列方程求解即可.【詳解】數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則可得.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求公比，通常借助方程求解，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由題意可得切點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)可得，即為切線斜率，由此可求其切線方程.【詳解】由，可得切點(diǎn)，其切線方程為即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程，屬于簡(jiǎn)單題.15.函數(shù)在處取得極大值，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，由題意可得取得極大值時(shí)，代入結(jié)合同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】；令，

11、則.由題意得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換及同角三角函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)及同角三角函數(shù)關(guān)系可得結(jié)論，屬于中等題.16.若函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了指數(shù)不等式的解法，考查了絕對(duì)值不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：6

12、0分17.某地自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計(jì)所得的人口數(shù)量如表所示：年份201420152016201720182019人數(shù)（單位：千人）208221352203227623392385（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷從2014年到2019年哪個(gè)跨年度的人口增長(zhǎng)數(shù)量最大？并描述該地人口數(shù)量的變化趨勢(shì)；（2）研究人員用函數(shù)擬合該地的人口數(shù)量，其中的單位是年，2014年年初對(duì)應(yīng)時(shí)刻，的單位是千人，經(jīng)計(jì)算可得，請(qǐng)解釋的實(shí)際意義.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增長(zhǎng)數(shù)量最大，2014年到2019年該地每年人口的增長(zhǎng)數(shù)量呈先遞增后遞減的趨勢(shì)（或2014年到2019年該地每年人口總數(shù)呈逐漸遞增的

13、趨勢(shì)）；（2）到2020年中，該地的總?cè)藬?shù)大約可增長(zhǎng)到2450千人（或到2020年6月末或7月初，該地的總?cè)藬?shù)大約可增長(zhǎng)到2450千人）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，逐年作差，可得從2014年到2019年每年增加的數(shù)量，逐年增多，從2017后，增加的人數(shù)逐年減少；（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式及題意，可得表示2014+t年的人口數(shù)量，不難得到的實(shí)際意義【詳解】（1）從2014年到2015年該地的人口增長(zhǎng)數(shù)量：；從2015年到2016年該地的人口增長(zhǎng)數(shù)量：；從2016年到2017年該地的人口增長(zhǎng)數(shù)量：；從2017年到2018年該地的人口增長(zhǎng)數(shù)量：；從2018年到2019年該地的人口增長(zhǎng)數(shù)量：；故

14、2016年到2017年的人口的增長(zhǎng)數(shù)量最大.2014年到2019年該地每年人口的增長(zhǎng)數(shù)量呈先遞增后遞減的趨勢(shì).（或2014年到2019年該地每年人口總數(shù)呈逐漸遞增的趨勢(shì)）.（2）由題意，2014年年初對(duì)應(yīng)時(shí)刻，表示2014+t年的人口數(shù)量，表示2014+6.5=2020.5年的人口數(shù)量，故其實(shí)際意義為：到2020年中，該地的總?cè)藬?shù)大約可增長(zhǎng)到2450千人.或到2020年6月末或7月初，該地的總?cè)藬?shù)大約可增長(zhǎng)到2450千人.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表及函數(shù)模型的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解及數(shù)學(xué)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2

15、）求.【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，由，列方程解得首項(xiàng)與公差，由此可得通項(xiàng)；（2）將通項(xiàng)代入，由一元二次方程的求根公式可得，再利用裂項(xiàng)相消求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，得：，.解得：，.（2）由（1）得：.由一元二次方程的求根公式得：.，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)及裂項(xiàng)相消求和，等差數(shù)列通項(xiàng)一般根據(jù)條件列方程解出首項(xiàng)與公差即可，本題求解關(guān)鍵是求，考查一元二次方程與數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中等題.19.已知橢圓的中心為，左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且、成等比數(shù)列.（1）求橢圓的離心率；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）

16、直角三角形，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為、，由題設(shè)可得及，消得a、c齊次式，解得離心率；（2）設(shè)橢圓的方程為，則，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.【詳解】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為、，則、.由題設(shè)及，消得：即.解得：或.又，則.（2）方法一：設(shè)橢圓的方程為，則，.，故，是直角三角形.方法二：設(shè)橢圓的方程為，則，.，故，是直角三角形.方法三：由條件得：在中，.，故，是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率及三角形形狀判斷，離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求

17、出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解，本題屬于簡(jiǎn)單題20.如圖，在四棱錐中，底而為菱形，且菱形所在的平面與所在的平面相互垂直，.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的最長(zhǎng)側(cè)棱的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）在菱形中，平面，平面，由此可證.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，由已知易得：是正三角形，進(jìn)一步可證平面，由勾股定理可求出側(cè)棱，的長(zhǎng)度，得到最長(zhǎng)的是，或可先判斷cf最長(zhǎng)，求解出長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）在菱形中，平面，平面.平面.（2）方法一：取中點(diǎn)，連結(jié)，由已知易得：是正三角形，.又平面平面且交線為，平面，又平面，又，平面，又，平面，在菱形中，

18、.在中，.在中，.在中，.顯然在側(cè)棱，中最長(zhǎng)的是.四棱錐的最長(zhǎng)側(cè)棱的長(zhǎng)為.方法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，由已知易得：是正三角形，又平面平面且交線為，平面，又平面，又，平面.又，平面，.在菱形中，最長(zhǎng).在中，.四棱錐的最長(zhǎng)側(cè)棱的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明及棱長(zhǎng)求解，考查棱長(zhǎng)的關(guān)鍵是垂直判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，在借助勾股定理求解即可，考查空間思維及推理能力，屬于中等題.21.已知函數(shù)，的最大值為.（1）求的值；（2）試推斷方程是否有實(shí)數(shù)解？若有實(shí)數(shù)解，請(qǐng)求出它的解集.【答案】（1）；（2）無(wú)實(shí)數(shù)解【解析】【分析】（1）由題意，對(duì)函數(shù)f（x）=-x+lnx求導(dǎo)數(shù)，研究出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，判

19、斷出最大值，即可求出；（2）由于函數(shù)的定義域是正實(shí)數(shù)集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可變?yōu)?，再分別研究方程兩邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域，即可作出判斷【詳解】(1)已知函數(shù)，則，可得，令，x=1，當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+)上是減函數(shù)，；(2)|2x(xlnx)|=2lnx+x可得，由(1)知f(x)max=f(1)=1，即x+lnx1，|xlnx|1，又令,，令g(x)>0,得0<x<e;令g(x)<0，得x>e，g(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+

20、)，,g(x)<1，|xlnx|>g(x),即恒成立，方程即方程|2x(xlnx)|=2lnx+x沒(méi)有實(shí)數(shù)解.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷稍難，此類問(wèn)題通常是利用轉(zhuǎn)化思想和方程思想將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)值域問(wèn)題，屬于中等題.（二）選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22.曲線的極坐標(biāo)方程為（常數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；（2）若曲線，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系