二次項定理10大典型例題

1、標準實用文案（ 1）知識點的梳理1二項式定理：( a b) nC n0anCn1an 1bCnr an r brC nn bn (n N ) ，2基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做 (a) n 的二項展開式。b二項式系數(shù) : 展開式中各項的系數(shù) C nr( r 0,1,2, , n) .項數(shù)：共 ( r1) 項，是關(guān)于 a 與 b 的齊次多項式 通項 ： 展 開 式中 的第 r1 項 C nr a n r b r 叫做 二項 式展 開 式的 通項 。 用Tr 1 Cnr an r br 表示。3注意關(guān)鍵點：項數(shù)：展開式中總共有(n1) 項。順序：注意正確選擇a , b , 其順序不能更改

2、。(ab)n 與 (ba) n 是不同的。指數(shù)： a 的指數(shù)從 n 逐項減到 0 ，是降冪排列。 b 的指數(shù)從 0 逐項減到 n ，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于 n .系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是Cn0 , C1n , Cn2 ,Cnr ,Cnn. 項的系數(shù)是 a 與 b 的系數(shù)（包括二項式系數(shù)） 。文檔標準實用文案4常用的結(jié)論：令 a1,bx,(1 x) nCn0Cn1 x Cn2 x2Cnr xrCnn xn (n N )令 a1, bx,(1 x)nCn0Cn1 x Cn2 x2C nr xr( 1) n Cnn xn (n N )5性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：

3、與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cn0Cnn ， CnkCnk 1 二 項 式 系 數(shù) 和 ： 令 a b 1 ,則二項式系數(shù)的和為Cn0C n1Cn2C nrCnn2n ，變形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1。奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令 a1,b1 ，則 Cn0Cn1Cn2C n3( 1) n Cnn(1 1) n0 ，從而得到： Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1Cn3Cn2 r 112n2n 12奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：( a x)nC n0a n x0Cn1an 1x Cn2 an 2 x2Cnn a0 xna0 a1x1a2

4、x2an xn( x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 xn 2C nn an x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 則 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,則 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an(a1) n( a1)n (奇數(shù)項的系數(shù)和)1)n21)n得 , a1a3a5an( a( a(偶數(shù)項的系數(shù)和)2文檔標準實用文案二項式系數(shù)的最大項： 如果二項式的冪指數(shù)n 是偶數(shù)時，則中間一項的二項式n系數(shù) Cn2 取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)n 是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系n 1n1數(shù) Cn2, Cn2同時取得最大值。系數(shù)的最大項：

5、求 ( abx)n 展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為 A1, A2, An 1 ，設(shè)第 rAr 1Ar，從而解出 r 來。1 項系數(shù)最大，應(yīng)有ArAr 12（ 2）專題總結(jié)專題一題型一：二項式定理的逆用；例： Cn1Cn2 6Cn3 62Cnn 6n 1.解： (1 6)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn 6n 與已知的有一些差距，Cn1C n2 6 Cn3 62Cnn 6n 11 (C n1 6Cn2 62Cnn 6n )61 (Cn0C n16Cn262Cnn6n1)1(1 6) n11 (7 n1)666練： Cn13Cn29Cn33n 1 Cnn.

6、解：設(shè) SnCn13Cn29Cn33n 1Cnn ，則3Sn Cn13 Cn2 32Cn3 33Cnn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn3 33Cnn 3n 1 (1 3)n 1(1 3)n14n1Sn33文檔標準實用文案題型二：利用通項公式求xn 的系數(shù)；例：在二項式 ( 413 x2) n 的展開式中倒數(shù)第3 項的系數(shù)為45，求含有 x3 的項的x系數(shù)？解：由條件知 Cnn 245，即 Cn245， n2n900，解得 n9(舍去)或n10 ，由Tr1 C10r12C10r10 r2 r10r 2 r(x4 )10r ( x3 ) rx43 ，由題意3, 解得 r6 ，43則含有 x

7、3 的項是第7項 T61C106 x3210 x3 , 系數(shù)為210。練：求 ( x21 )9 展開式中 x9的系數(shù)？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r (1 )rC9r x18 2r ( 1 ) r x rC9r (1 )r x18 3r ，令 18 3r9 , 則r 32 x22故 x9 的系數(shù)為 C93 (1 )321 。22題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式 ( x21)10 的展開式中的常數(shù)項？2xC10r ( x2 )10r (1)rC10r ( 1) r205 r205 r0，得 r 8 ，所以解： Tr1x2 ，令2x22T9C108 (1)8452256練：

8、求二項式 (2 x1) 6 的展開式中的常數(shù)項？2x解： Tr 1C6r (2 x)6 r ( 1)r ( 1 )r( 1)r C6r 26 r ( 1 ) r x6 2r ，令 62r 0 ，得 r3，所2x2以 T4(1)3 C6320練：若 ( x21 ) n 的二項展開式中第5 項為常數(shù)項，則 n_.x文檔標準實用文案解： T5Cn4 ( x2 )n 4 ( 1 )4C n4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式 (x3 x) 9 展開式中的有理項？1127 r27 r解：r29 r3 rrr6Z,(0r9) 得

9、r3或 r 9C9 ( x ) ( x )( 1) C9 x，令，Tr 16所以當 r3時， 27 r4 ，T4(1)3 C93x484x4，6當 r9 時， 27 r3， T10( 1)3 C99 x3x3 。6題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若21n 展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256 ，求n.(x3x2 )解：設(shè) (x21)n 展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為 a0 , a1 ,an ,3x2令 x1, 則有 a0a1an0, ， 令 x1, 則有a0a1a2a3( 1) n an 2n , 將 - 得： 2( a1a3a5)2n ,a1a3a52n1,有題意得，2n 1256

10、28 ，n 9。練：若 (31512 )n 的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。xx解：Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1Cn3Cn2 r12n1 ，2n 11024 ，解得 n11所以中間兩個項分別為 n6, n7， T51Cn5 ( 3 1 )6 ( 5 12 )5462x 4 ，xx61T61462x 15文檔標準實用文案題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知 ( 12x)n ，若展開式中第 5 項，第 6 項與第 7 項的二項式系數(shù)成等差數(shù)2列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解： Cn4Cn62Cn5 , n221n 980, 解出 n 7或 n 14 ，當

11、 n 7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是 T4 和 T5T4的系數(shù)C73( 1) 4 2335 ,，22T5的系數(shù)C74 ( 1) 32470, 當 n14 時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8 ，2T8的系數(shù)C147 ( 1 )7 273432。2練：在 ( ab)2 n 的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n ，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2 nTn 1 ，12也就是第 n 1項。練：在 ( x1)n 的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項23x是多少？解：只有第 5項的二項式最大，則 n15 ，即 n8 , 所以展開式中常數(shù)項為第七項等于

12、C86(1)2272練：寫出在 ( ab) 7 的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的冪指數(shù)7 是奇數(shù)，所以中間兩項 ( 第4,5項 ) 的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有 T4C 73 a4b3 的系數(shù)最小，T5C74 a3b4 系數(shù)最大。練：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79 ，求 (12x)n 的展開式中系數(shù)最大2的項？解：由 Cn0Cn1Cn279, 解出 n 12, 假設(shè) Tr 1 項最大，( 12x)12( 1)12(14x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1Ar 1Ar2C12r 4rC12r 1 4r 1 ，化簡得到 9.4r

13、10.4 ，又0 r12 ，文檔標準實用文案r 10 ，展開式中系數(shù)最大的項為T11 , 有 T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102練：在 (12x)10 的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr 1 項最大，Tr 1C10r 2rxrAr1ArC10r 2 rC10r 1 2 r12(11r )r，化簡得到C10r 2 rC10r 1 2r解得Ar1Ar21 ,r 1 2(10 r )6.3k7.3，又0r10 ，r7，展開式中系數(shù)最大的項為T8C107 27 x715360x7 .題型七：含有三項變兩項 ；例：求當 ( x23x2) 5 的展開式中 x 的一次項

14、的系數(shù)？解法： (x23x2) 5( x 22) 3x5 ， Tr 1C5r ( x22)5 r (3x) r ，當且僅當 r1時， Tr1 的展開式中才有 x 的一次項，此時 Tr 1T2 C51 ( x22)4 3x，所以 x 得一次項為 C51C44 24 3x它的系數(shù)為 C51C44 243 240 。解法：( x23x2)5( x1)5 (x2)5(C50 x5C51 x4C55 )(C50 x5C51 x4 2C55 25 )故展開式中含 x 的項為 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展開式中 x 的系數(shù)為 240.練：求式子 ( x12)3 的常數(shù)項？x解： (

15、x12) 3(x1) 6 ，設(shè)第 r1項為常數(shù)項，則xxTr 1C6r ( 1)r6r1 )r( 1)6 C6r62rr 3,x(x，得 6 2r 0 ,xT3 1 ( 1)3C6320 .題型八：兩個二項式相乘；文檔標準實用文案例： 求(12x)3 (1x)4 展開式中 x2的系數(shù) .解：(12x)3的展開式的通項是 Cm3 (2 x)mC3m 2m xm ,(1x)4的展開式的通項是 Cn4 ( x)nCn41n xn , 其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3,4,令mn 2,則 m0且 n 2, m1且 n 1, m2且n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展開式中 x2的系數(shù)等

16、于 C3020C42( 1)2C3121C41(1)1C3222 C40 ( 1)06.練： 求(13 x )6 (11 )10 展開式中的常數(shù)項 .4xmn4m 3n解： (13x )6 (11 )10 展開式的通項為 C6m x 3C10n x 4C6mC10nx 124 x其中m 0,1,2,6, n0,1,2,當且僅當4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,時得展開式中的常數(shù)項為 C60C100C63 C104C66C1084246.練：已知 (1xx2 )( x13 ) n的展開式中沒有常數(shù)項, nN*且2n8,則 n_.x解：1nrn r3rrn4 r( x

17、x3 )展開式的通項為 C n xxCnx, 通項分別與前面的三項相乘可得Cnrxn 4 r ,C nrxn 4 r 1,C nrxn 4 r2 ,展開式中不含常數(shù)項 ,2 n8n4r且n4r1且n4r2，即 n 4,8且n3,7且n2,6, n5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：在( x2) 2006的二項展開式中 , 含x的奇次冪的項之和為 S,當 x2時, S_.解： 設(shè)( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3 x3a2006 x2006 -文檔標準實用文案 得 2(a1x a3x3a5

18、 x5a2005 x2005 )( x2) 2006 展開式的奇次冪項之和為S( x)當 x2時, S( 2)1( 22) 2006( 22( x2) 2006( x2) 20061 ( x2) 2006(x2) 2006 23200620062230082)22題型十：賦值法；例：設(shè)二項式 (3 3 x1 ) n 的展開式的各項系數(shù)的和為 p ，所有二項式系數(shù)的和為xs , 若p s 272 , 則 n 等于多少？解：若 (3 3 x1 ) na0a1xa2 x2an xn ，有 P a0a1an ，xSCn0Cnn2n ，令x1得 P4n ，又 ps272 , 即 4n2n272(2n 1

19、7)(2n16)0 解得2n16或2n17(舍去 ) ，n4 .1n練：若3x的展開式中各項系數(shù)之和為64 ，則展開式的常數(shù)項為多少？x1n解：令 x1 ，則3x的展開式中各項系數(shù)之和為2n64 ，所以 n 6 ，x則展開式的常數(shù)項為 C63 (3x )3 (1 )3540 .x練：20091232009a1a2a2009若 (12 x)a0a1 xa2 xa3 xa2009 x (xR),則22222009的值為解：1a1a2a2009a1a2a2009令 x2, 可得 a0222220090,22222009a0在令 x0可得 a01,因而a1a2a20091.22222009練： 若(

20、x2)5a5 x5a4 x4a3 x3a2 x2a1x1a0 ,則 a1a2a3a4a5_.解： 令x0得a032,令 x1得a0a1a2a3a4 a51,文檔標準實用文案a1a2a3a4a531.題型十一：整除性；例：證明： 32n28n 9( nN*)能被 64整除證： 32n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 18n 1Cn118nCnn 1182Cnn 1 81Cnn 11 8n 9Cn018n 1Cn118nCnn11828(n1)1 8n 9Cn0 1 8n 1Cn118nCnn 11 82由于各項均能被64 整除32n 28n9( nN *)能被 64整除1、(x

21、 1) 11 展開式中 x 的偶次項系數(shù)之和是1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項系數(shù)之和是 f (1) f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 Cn23n Cnn2、2、4n3、(3 51)20 的展開式中的有理項是展開式的第項53、3,9,15,214、(2x-1) 5 展開式中各項系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1) 5 展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為(2x+1) 5 展開式系數(shù)之和，故令 x=1，則所求和為 355、求 (1+x+x 2)(1-x) 10 展開式中 x4 的系數(shù)5、(1x x2 )(1 x)10(1x 3 )(1x)9 , 要得到含 x4 的項，必須第一個因式中的 1與 (1-x)9 展開式中的項 C94 ( x ) 4 作積，第一個因式中的 x3 與(1-x)9 展開式中的項 C19(x ) 作積，故 x4 的系數(shù)是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x) 10 展開式中 x3 的系數(shù)6、(1x) (1 x )2（10(1 x)1 (1x )10 (x 1)11 ( x1) ，原式中1x）1(1x )=x文檔標準實用文案x3 實為這分子中的 x 4，則所求系數(shù)為 C1177、若 f ( x ) (1x) m(1x )n (mn