全等三角形(歷年中考難題)

1、.紅城教育培訓(xùn)學(xué)校數(shù)學(xué)教研組制作制作人：汪嗥監(jiān)制：汪校長(zhǎng)黃校長(zhǎng)童老師讓每位學(xué)生走進(jìn)紅城，讓每位學(xué)生學(xué)有所成1.如圖,若PAA.1全等三角形專題（一）OP 平分 MON , PA2 ,則PQ的最小值為（B.2C.3姓名:ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),D. 4A（第6題）2.如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且/ DAB=30 。有以下四個(gè)結(jié)論：AFL BC ;AD轡 ACF O為BC的中點(diǎn)； AG DE= J3 : 4,其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （錯(cuò)填得0 分，少填酌情給分）3 .如圖，在 RtABC中，/ BAC=90 , AC=2AB點(diǎn)D是AC的中

2、點(diǎn)，將一塊銳角為 45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A D重合，連結(jié)BE EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想.設(shè)計(jì)了如下方案:4 .八（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）（1） /AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M N重合，即PM=PN過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是/AOB的平分線.（n） /AOB是一個(gè)任意角，在邊 OA OB上分別取OM=O N將角尺的直角頂點(diǎn) P介于射線OA OB之間，移動(dòng)角尺 使角尺兩邊相同的刻度與 M N重合，即PM=PN過角尺頂點(diǎn)P的射線O

3、P就是/AOB的平分線.（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由 （2）在方案（I） PM=PN勺情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PMLOA PNOB此方案是否可行？請(qǐng)說明理由.5. （2010湖南婁底）如圖10,在四邊形 ABCD中，AD/BC, E為CD的中點(diǎn)，連結(jié) AE、BE, BEXAE,延長(zhǎng) AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：（1） FC=AD;(2) AB=BC+ADBC F6. （2010江蘇揚(yáng)州）電子跳蚤游戲盤是如圖所示的 ABC, AB=6, AC=7, BC=8.如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的Po處，BP0=2,跳蚤第一步從 P0跳到AC邊的P1 （

4、第一次落點(diǎn)）處，且CP1=CP。；第二步從 P1跳到AB邊的P2 （第一 次落點(diǎn)）處，且AP2=AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3 （第三次落點(diǎn)）處，且BP3=BP2；跳蚤按上述規(guī)則一致 跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn （ n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2007與P2010之間的距離為（）A. 1B. 2C. 3D. 47. （2010安徽蚌埠）在 ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AE 2CE,BD 2CD ,AD、BE交于點(diǎn)F,若S abc 3,則四邊形DCEF的面積為8. （2010安徽蚌埠）三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共 103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線?，F(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形

5、，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為9. 觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè)第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè).10、（2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn). AEF 900,且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證AAME 0/XECF ,所以AE EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn) E是邊BC上（除B, C外）的任意一點(diǎn)”

6、， 其它條件不變，那么結(jié)論"AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除 C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論" AE=EF”仍 然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由.11、（2009 年牡丹江）已知 RtzXABC 中，AC BC, /C 90, D 為 AB 邊的中點(diǎn)，EDF 90°,EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC、CB （或它們的延長(zhǎng)線）于 E、F.1當(dāng) EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE AC于E時(shí)（如圖1）,易證SAD

7、EF SACEF - SAABC. c-x LJ匚I-cx C 匚l-cx /ADC2明；若不成立,當(dāng) EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證Szx DEF、SACEF ' Szx ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明 DEFCEFABC1所示放置，圖 2是由它抽象出的幾何圖形,12. (2008山東泰安)兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖 B, C, E在同一條直線上，連結(jié) DC .圖2圖1(第22題)(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母) (2)證明：DC BE .

8、13、在等邊 ABC的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N , D為VABC外一點(diǎn)，且量關(guān)系及 AMN的周長(zhǎng)Q與等邊 ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：當(dāng) M、N分別在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)圖1圖2圖3(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 此日Q；L(II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM DN時(shí)，猜想(I)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想 并加以證明；(III) 如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN= X ,貝U Q= (用x、L表示

9、).14、已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD, AB BC , Z ABC 120°, / MBN 60°, /MBN 繞 B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長(zhǎng)線）于 E, F .當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)（如圖1）,易證AE CF EF .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立， 請(qǐng)給予證明； 若不成立，線段 AE, CF , EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.15正方形ABCD, E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/ EAF的度數(shù).16、如圖

10、，OP是/MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：AD、CE（1）如圖，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60° , AD、CE分別是/ BAC、/ BCA的平分線,相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在 （1）中所得結(jié)論是否仍 然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。.17、如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) O,求證：OE=OD18、如

11、圖， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEL AB于 E, DF, AC于 F.BE的長(zhǎng).(1)說明 BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求 AE、1、如圖， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求證：CDL ACABC全等三角形難題1 .在 4ABC 中，AB= AC, / A= 20° , D> E 分別是 AB AC 上的點(diǎn)，/ DCB= 50° , / EBC = 60° ,求/ DEB的度數(shù)。2 .在三角形 ABC中，AB=AC,AD平分角 ABC交AC于D, AD+BD=BC

12、求角 A的度數(shù)。3 .在直角三角形 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC點(diǎn)口 E是直線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AD=EC AML BD,垂足為M, AM的延長(zhǎng)線交BC于N直線BD直線NE相交于點(diǎn)F,試判斷三角形 DEF 的形狀，并加以證明。4 .如圖，在ZXABC中，/C = 2/B , D是BC上的一點(diǎn)，且AD ± AB，點(diǎn)E是BD勺中點(diǎn)，連結(jié)AE .(1)求證：/AEC= /C(2)求證：BD= 2AC(3)若AE= 6.5, AD= 5,那么 ABE的周長(zhǎng)是多少？全等三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題汪老師：動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題；而通過

13、對(duì)幾何圖形 運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力 的重要題型；解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜 制動(dòng).本文以中考試題中的全等三角形動(dòng)態(tài)幾何題為例，談?wù)勥@類問題的解題思路，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.例1.（揚(yáng)州）在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC直線 M巧過點(diǎn) C,且ADL MN于D, BU MN于E.（1）當(dāng)直線 MN點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：4 AD室ACEtBDE=A9 BE;（2）當(dāng)直線 MNg點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證： DE=AD_ BE;（3）當(dāng)直線M

14、N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問 DE AD BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,并加以證明.證明:評(píng)注：本題以直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中與 ABC的不同的位置關(guān)系為背景設(shè)置的三個(gè)小題，第（1）小題的兩個(gè)小題中，是的臺(tái)階，只要證明了，不難得到；第（1）小題思路又作為解決第（2）小題的借鑒；第（3）小題為探索性問題，探索的結(jié)論及證明過程可借鑒第（1）、（2）兩小題，整個(gè)試題考查了同學(xué)們從具體、特殊的情形出發(fā)去探究運(yùn)動(dòng)變化過程中的規(guī)律的能力.例2 (錦州)如圖 A, ABC和4CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,連接AF和BE.(1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)證明

15、你的結(jié)論；(2)將圖A中的4CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖 B, (1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說明理由；(3)若將圖A中的4ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫山一個(gè)變換后的圖形C (草圖即可)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷不必說明理由；(4)根據(jù)以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn).答:全等三角形提高練習(xí)1 .如圖所示， AB8 ADIE BC的延長(zhǎng)線過點(diǎn) E, /ACBW AED=105 , / CAD=10 ,/ B=50° ,求/ DEF的度數(shù)2 .如圖，AOBfr, /B=30° ,將 AO啜點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52 得到 A' OB邊A' B

16、'與邊OB交于點(diǎn)C （A'不在OB上），則/ A' CO的度數(shù)為3.如圖所示,度數(shù)是在 ABC中，/A=90° , D,E分別是 AC,BC上的點(diǎn)，若 AD陰AEDEBEDCJ/C的O4 .如圖所示，把4AB微點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35° ,得到AA' B' C,A' B'交AC于點(diǎn)D,若/A' DC=90 ,則/ A=O5,已知，如圖所示，AB=AC,AD_BC于 D,且 AB+AC+BC=50ciS, AB+BD+AD=40c地 AD=CDA6 .如圖，RtzXABC中，/BAC=90 , AB=AC分別過點(diǎn)B,

17、C,作過點(diǎn)A的直線的垂線BD,CE,垂足為D,E, 若 BD=3 CE=2則 DE= .7 .如圖，AD是4ABC的角平分線，DELAB,DFLAC,垂足分別是E,F,連接EF,交AD于G,AD與EF垂 直嗎？證明你的結(jié)論。8 .如圖所示，在 ABCt, AD為/BAC勺角平分線，DEIAB于E,DFLAC于F, zABC的面積是 28cm 2,AB=20cm,AC=8cm,t DE 的長(zhǎng)。9 .已知，如圖，AB=AE, /B=/E, / BAC= / EAD, /CAF=/DAF.求證：AFXCD10 .如圖，AD=BD,AD_BC于D,BELAC于E,AD于BE相交于點(diǎn)H,則BH與AC相等

18、嗎？為什么?D11 .如圖所示，已知，AD為4ABC的高,E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD. 求證：BEX AC12 . ADAC, ZXEBC勻是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CEfc于點(diǎn)M,N, 求證：(1) AE=BD (2)CM=CN CMN；等邊三角形(4) MN/ BC13 .已知：如圖1,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，zACM CBN®是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E, Bg CN于點(diǎn)F.(1)求證：AN=BM(2)求證： CEF為等邊三角形；(3)將 AC喉點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判 斷第

19、(1)、(2)兩小題的結(jié)論是否仍然成立(不要求證明).14 .如圖所示，已知 ABC和4BDE都是等邊三角形。下列結(jié)論： AE=CDBF=BGBH平分/AHD ;/ AHC=600，4BFG是等邊三角形；FG / AL1其中正確的有(A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè)B15 .已知：BD, CE是4ABC的高，點(diǎn)F在BD上，BF=AC點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線上，CG=AB. 求證:AG± AF16 .如圖：在 ABC中，BE CF分別是AC AB兩邊上的高，在 BE上截取BD=AC在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB連結(jié)AD AG求證：(1) AD=AG(2) AD與AG的位置關(guān)系如

20、何17 .如圖，已知E是正方形ABCD勺邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且/ DAEW FAE. 求證：AF=AD+CFF18.如圖所示，已知 ABC中，AB=AC,比 CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ ADB=60 , E是AD 求證：AC=BE+BC點(diǎn)，且 DE=DB,19 .如圖所示，已知在 AEC, / E=90° , AD平分/ EAC,D曰AC,垂足為F,DB=DC. 求證：BE=CF.20 .已知：如圖 3-50, AB=DE 直線 AE, BD相交于 C, / B+ / D=180° , AF/ DE 交 BD于 F. 求證：CF=CD21 .如圖，OC是/AOB勺平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDL OA于D, PELOB于E, F是OC上一點(diǎn)，連接 DF和 EF,求證：DF=EF22 .已知：如圖，BF±AC于點(diǎn)F, CELAB于點(diǎn)E,且BD=CDF求證： BD竄ACDF點(diǎn)D在/A的平分線上OELAC 于 E,且 OE = 2,則 AB23