《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》線性代數(shù)重難點解析

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)重難點解析矩陣 本章重點：1 了解或理解一些基本概念 具體要求如下： (1) 了解矩陣和矩陣相等的概念； (2) 了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角形矩陣和對稱矩陣的定義和性質(zhì) (3) 理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件； (4) 了解矩陣秩的概念； (5) 理解矩陣初等行變換的概念 2熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運算，掌握這幾種運算的有關(guān)性質(zhì)； 3熟練掌握用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣、行簡化階梯形矩陣，熟練掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣 矩陣乘法是本章的重點之一，在復(fù)習(xí)矩陣乘法時，要注意：矩陣乘法不滿足交換律，即一般不成立（若矩

2、陣A, B滿足，則稱A, B為可交換的） 矩陣乘法不滿足消去律，即由矩陣及矩陣，不能推出但當(dāng)可逆時，矩陣，可能有 例1 若A，B是兩個階方陣，則下列說法正確是（） A B C若秩秩則秩 D若秩秩則秩 解 選項A： 只是的充分條件，而不是必要條件，故A錯誤； 選項B：，矩陣乘法一般不滿足交換律，即，故B錯誤； 選項C：由秩秩 說明A，B兩個矩陣都不是0矩陣，但它們的乘積有可能0矩陣，如，則故秩不一定成立，即C錯誤； 選項D：兩個滿秩矩陣的乘積還是滿秩的，故D正確 例2 設(shè)矩陣，則AB 解 因為 AB = 41 所以，應(yīng)該填寫：41 例3 矩陣的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3、解 因為 對應(yīng)的階梯形矩陣有3個非0行，故該矩陣的秩為3 正確選項是：C 例4 設(shè)矩陣 A=，則矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是 解 根據(jù)乘法法則可知，矩陣A與B的乘積AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素與B的第1列元素的乘積之和，即 32（1）990 -3 應(yīng)該填寫：-3 例5 設(shè)A是mn矩陣,B是sn矩陣, 則運算有意義的是( ) A B C D 解 根據(jù)乘法法則可知，兩矩陣相乘，只有當(dāng)左矩陣的行數(shù)等于右矩陣的列數(shù)時，它們的乘積才有意義，故矩陣有意義 正確選項是A 例6 設(shè)方程XAB=X，如果AI 可逆，則X= 解 由XAB = X，得XAX = B，X(AI ) =

4、 B 故X = B(AI )1 所以，應(yīng)該填寫：B(AI )1注意：矩陣乘法中要區(qū)分“左乘”與“右乘”，若答案寫成 (AI )1 B，它是錯誤的 例7 設(shè)矩陣 ，求矩陣A解 因為 所以 例8 已知矩陣，求常數(shù)a，b 解 因為 所以 ，得b = 2 例9設(shè)矩陣A，B滿足矩陣方程AX B，其中， , 求X 解法一：先求矩陣A的逆矩陣因為 所以 且 解法二： 因為 所以 例10 設(shè)矩陣 試計算A-1B解 因為 所以 且 例11 設(shè)A，B均為n階對稱矩陣，則ABBA也是對稱矩陣 證因為 A，B是對稱矩陣，即 且 根據(jù)對稱矩陣的性質(zhì)可知，ABBA是對稱矩陣 例12 設(shè)是n階矩陣，若= 0，則 證 因為

5、= = 所以 線性方程組 本章重點： 1了解n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解的概念 2. 理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理；熟練掌握用消元法求線性方程組的一般解 線性方程組AX = b的解的情況歸納如下：AX = b有唯一解的充分必要條件是秩() = 秩(A) = n；AX = b有無窮多解的充分必要條件是秩() = 秩(A) n；AX = b無解的充分必要條件是秩() 秩(A) 相應(yīng)的齊次線性方程組AX = 0的解的情況為： AX = 0只有零解的充分必要條件是 秩(A) = n；AX = 0有非零解的充分必要條件是 秩(A) n 例1 線性方程組的系數(shù)

6、矩陣是( ) A23矩陣 B32矩陣 C3階矩陣 D2階矩陣 解 此線性方程組有兩個方程，有三個未知量，故它的系數(shù)矩陣是23矩陣 正確的選項是A 例2 線性方程組AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( ) A可能有解 B有無窮多解 C無解 D有唯一解 解 線性方程組AX = B有唯一解，說明秩故AX = 0只有唯一解（零解） 正確的選項是D 例3 若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（）時線性方程組有無窮多解 A1B4C2D 解 將增廣矩陣化為階梯形矩陣， 此線性方程組未知量的個數(shù)是2，若它有無窮多解，則其增廣矩陣的秩應(yīng)小于2，即，從而 正確的選項是D 例4 若非齊次線性方程組AmnX = B有唯一解,那么有 ( ) A秩(A，B) n B秩(A) r C 秩(A) 秩(A，B) D秩(A) 秩(A，B) n 解 根據(jù)非齊次線性方程組解的判斷定理可知選項D是正確 例5 求解線性方程組 解 將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即 因為 ，秩(A) = 秩(A) = 3， 所以，方程組