詳解數(shù)列求和的方法+典型例題

1、精品詳解數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧。第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1 1、等差數(shù)列的前n項和公式n(a-ian)n(n 1)dnai2 22 2、等比數(shù)列的前n項和公式nai(q1)Snai(1qn) aiaq(q 1)1 q1 q3 3、常用幾個數(shù)列的求和公式n1 /1)(1(1)、Snk123n-n(nk 12(2(2)、Snnk21222322n丄n(n1)(2n1)k 16(3(3)、Snnk31323333nG n(n1)2k 12第二類：乘公比錯項相減(

2、等差 等比)這種方法是在推導等比數(shù)列的前n n 項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前 n n 項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例 1 1 ：求數(shù)列nqnJ J ( (q為常數(shù)) )的前n項和。I、若q=0=0,則Sn=0=0n、若q=1=1，則Sn12 3n(n1)若q豐豐0 0 且q豐豐1 1,Sn精品則Sn1 2q 3q2n 1nq精品（課本中的的等比數(shù)列前 n n 項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行分類討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用。裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）

3、分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最 終達到求和的目的通項分解（裂項）如：1 1、乘積形式，如：(1(1)、an1丄n(n 1) n(2(2)、an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 1(2n 1(3(3)、ann(n 1)( n 2)(n 1)(n 2)n ann(n 1)12(n1) n2nn(n 1)1(n 1)2nqSnq 2q23q3nnq式一式:(1 q)Snn 1nq nqSn1(1qn nq )Snn nq )Sn1 qn(1 q)2nqn1 q綜上所述：Sn0(q 0)1n(n 1)(q 21 qn(1 q)21)nnq(q1 q0且q 1)解析：數(shù)列nqn 1是由數(shù)

4、列n與qn對應項的積構(gòu)成的，此類型的才適應錯位相減,精品2 2、根式形式，如:anSn1111 22 33 4=111) nn 11 111 112 233n)1n 11111 32 43 511 11、=(-)n(n 2)2 nn 2111(1 -)(-)324(111(12n 1n 2)11一n例 2 2:求數(shù)列1例 3 3:求數(shù)列解：由于:12Sn2n 4123(-nn 1Sn1Sn1則：Sn宀)1，的前n項和Snn(n 1)1，的前n項和Snn(n 2)1解： 一-n(n4 2n 2解析： 要先觀察通項類型， 在裂項求和時候, 兩項，還是像例 3 3 一樣剩下四項。尤其要注意：究竟是像

5、例2 2 一樣剩下首尾第四類：倒序相加法這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1an)。例 4 4:若函數(shù)f(x)對任意x R都有f(x) f (1 x) 2。(1)anf(0) f)f(-)n n證明你的結(jié)論；f(n$f(1)，數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？是n(2(2)求數(shù)列anan-的的前n項和Tn。1精品精品解: (1 1)、anf(0)f(-)f(-)f(n1-)f(1)(倒序相加)nnnanf(1)f(n 1)f(n-2)f)f(0)nnn1 01 n 12 n21nnnn則， 由條件 :對任意xR都有f(x)f

6、(1x)2。2an22222(n 1)ann 1 an1n 2an 1an1解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序 相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項相消法。 在數(shù)列問題中，要學會靈活應用不同的方法加以求解。第五類：分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例 5 5:求數(shù)列1+ +n 2n 1的前n項和Snn(n 1)解：令an1bnn 2n 1n(n1)Sn(a1bj(a2b2)(a3b3)(anbn)Sn(a1a2a3an) (b1b2b3

7、bn)從而：數(shù)列an是a12,d1的等差數(shù)列。(2(2)、1anan 11(n 1)(n 2)TT1(n 1) (n 2)Tn n =_=_n2n 4故：Tn= =n2n 4精品111111Sn(1)(1 2 2 3 22n 2n 1)2233n n1Sn(11-)(122 3 22n 2n 1)n1令Tn1 22322n 2n 12Tn2 2 22323n 2n式一式：(12)Tn12 22232n 1n 2nTn(12 22232n 1n2n)12nnTn(-n 2)1 2Tn(n1)2n11 1故：Sn(1) (n 1) 2n1 2(n 1) 2nn 1n 11例 6 6:求數(shù)列(xn)

8、2的前n項和Snx分析：將an(xn4T)2用完全平方和公式展開，再將其分為幾個數(shù)列的和進行求解。x解：an(xnSnX221 2 n 2n)=(X)2X(A)X2 2n= =X12n-=-=X XX2 (丄)2nXX42Sn(X2X4X2n) (2 2X2n2 (-)2nX2)()2(丄)4(丄fXXX(首項x2,公比2X等比數(shù)列)(常數(shù)列)I、令TnX24X2nXX 1時，Tn2X4X2nX= =11X 1時，Tn2X4X2nX(首項(-)2，公比(丄)2等比數(shù)列)XX2 2n 2XXX= =1 X2X2精品n、令Mn222 2n川、令Gn()2xx(-)2nxx1時，Gn(-)2xPtx

9、)2n1 11 nxx1時，Gn(丄)2x(I)4x(l)2nxx()2nx(丄)x2n 22211Xx22n 222n 2=xx=x x1(-)x22 2x 1x 12 2xx22nx (x 1)2n= =x 1 x (x 1)綜上所述：x 1時，SnTnMnGnn 2n n 4n這個題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應用。第六類：拆項求和法在這類方法中，我們先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式， 再代入公式求和。例 7 7:求數(shù)列 9 9, 9999, 999999,的前 n n 項和Sn分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學生先歸納出通項公式an10n1可轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列與一個常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：an10n1貝U：Sn9 99 99Sn(101 21) (1021) (1031)(10n1)2n2. 22n 22xx2x22n 2xx2xx 1時，SnTnMnGnx2n2x22n2nx 1x (x 1)精品Sn(10110210310n) (1 1 11)x x (x 1)精品解析：根據(jù)通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數(shù)列，然后再分別求和。這篇文章中，有 6 6 類重要方法，8 8 個典型例題，大部分常見數(shù)列的前 n n 項和都可以求出來了, 由于知識的不完備，在該類知識