張量積的教與學(xué)-最新年精選文檔

1、張量積的教與學(xué)張量積是代數(shù)學(xué)中的一個重要概念， 是學(xué)習(xí)平坦模， 平坦維 數(shù)的基礎(chǔ) . 但許多初學(xué)者很難正確理解它，給后面的學(xué)習(xí)帶來困 難. 張量積常見的有兩種定義方法， 一種是構(gòu)造法， 如1, 還有 一種是用泛性質(zhì)定義，如 2,3.首先談一下構(gòu)造法.設(shè)R是有單位元的環(huán)，A, B分別為右， 左R-模，是以集合AXB為基的自由Abel群.考慮F的下面的 子集設(shè)S是由這個子集生成的子群，稱商群F/S為AR與RB的張 量積，記為記x(a,b)所在類為.當(dāng)R=Z時，記為.在1中，F(xiàn)中元和AXB都用(a,b)表示，初學(xué)者容易引 起混淆.而用上述方法則更清楚明了， 學(xué)生也更容易理解和接受 .其次談一下用泛性

2、質(zhì)定義張量積 . 設(shè) T 是一個 Abel 群，t :A X B-T是一個R-平衡映射(定義見 )，若對任意的Abel 群C及R-平衡映射B :A X 4C,都存在唯一的群同態(tài) f, T-C, 使得 f t =B (見3).對上述兩種定義下,有 Abel 群同構(gòu) , 且在同構(gòu)的意義下 T 是唯一的 . 有標準映射對張量積,應(yīng)注意以下幾點 .1. 是x(a,b)所在的類，它于代表元的選取有關(guān)，所以證明 與張量積相關(guān)的命題常用到R-平衡映射(見例2).而直接定義 某個從 到Abel群C的群同態(tài)，而不驗證其合理性（與代表元的 選取無關(guān) ） ，是初學(xué)者常犯的錯誤 .2. t是一個R-平衡映射，但不是一

3、個群同態(tài)，也不是R-線性的，因為3. 雖然 是 的生成元集， 但一般來說， t 不是一個滿態(tài) （注 意 t 不是一個群同態(tài)） .4. 是 的生成元集，而 ，一般來說 （見例 1）.5. 若R是交換環(huán)，則 有一個自然的R-模結(jié)構(gòu)：對任意的 下面給出了一個 的例子 .例1設(shè)R=K是域，則證明 設(shè) . 令a1,a2,b1,b2 K 則有 a1b1=1,a1b2=a2b1=0,a2b2=1 無解， 所以本文最后給出一個計算張量積的例子 .例2設(shè)m,n為大于1的自然數(shù)，Zm=Z/mZ計算.解設(shè)（m,n） = I是m,n的最大公約數(shù)，則有整數(shù) x,y，使 得i =mx+ny令標準映射為 t :.定義B : ZnK ZnZ i，對 任意的整數(shù).由i是m,n的最大公約數(shù)知，B的定義是合理 的，與代表元的選取無關(guān).易驗證，B是一個Z-平衡映射，由 張量積的泛性質(zhì)知， 存在唯一 Abel 群同態(tài) ，使得對任意的整數(shù) s,t ，有 . 下面證明 f 是一個同構(gòu) .對任意的整數(shù) s,t ，由 知， 中元有形式 . 設(shè) ，則 ，故有 自然數(shù)