(完整版)(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

1、(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列 組合公式P；m!從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)（m n）!cmm!從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)n !（mn）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由 m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n 某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由 mx n種方法來完成。（3）一些 常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對立

2、事件（至少有一個）順序冋題（4）隨機(jī) 試驗和隨 機(jī)事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果 不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則 稱這種試驗為隨機(jī)試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本 事件、樣 本空間和 事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事 件，它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件 ）組成的集合。通常用大寫字母A

3、, B, C,表示事件，它們是 的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率為1，而概率為1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：A B如果同時有A B，B A，則稱事件A與事件B等價，或稱A 等于B： A=BA、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A B同時發(fā)生：A B,或者AB A B=

4、?，則表示A與B不可能同 時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相谷或者互斥?；臼录饣ゲ?相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示 A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C)A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)Ai瓦德摩根率：i1i 1A B A B , A B A B(7)概率 的公理化 定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數(shù) P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0 < P(A) < 1，2

5、76; P( Q ) =13°對于兩兩互不相容的事件A1，A，有PAiP(Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典 概型11,2n ，12° P( 1) P( 2)P( n)。n設(shè)任一事件A，它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何 概型若隨機(jī)試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述， 則稱此隨機(jī)試驗為幾何概型。對任一事件 A，P(A)。其中L為幾何度量(長

6、度、面積、體積)。L()(10 )加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB) = 0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )減 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A 時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=Q時，P( B)=1- P(B)(12 )條件概率定義 設(shè)A B是兩個事件，且P(A)>0，則稱fiAB)為事件A發(fā)生條P(A)件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) 旦AB2。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13 )乘 法公式乘法公式：P(A

7、B) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A,A,若P(AAA-1)>0，則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An 1) 0(14)獨立性 兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨 立的。若事件A、B相互獨立，且P(A)0，則有P(B|A) P(AB) P(A)P(B) P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都 相互獨立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。 多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩

8、兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A) 并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。 對于n個事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1,B2, ,Bn滿足1 ° B1,B2, , Bn兩兩互不相容，P(Bi) 0(| 1,2, ,n)，nABi2°i 1 ，(分類討論的則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16 )貝 葉斯公式設(shè)事件B1，B2，Bn及A滿足1° B1，B2，Bn 兩兩互不相容，P(B|)>

9、;0, i 1，2,， n,nABi2°i 1, P(A) 0 ,(已經(jīng)知道結(jié)果求原因貝U1(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)P（Bi / A）n,i=1 , 2,n。P（Bj）P（A/Bj）j i此公式即為貝葉斯公式。P（Bi） , （ i 1 , 2，n）,通常叫先驗概率。P（B| / A） , （i 1 ,2,n ）,通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概 率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17 ）伯 努利概型我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗是獨立的，即每次試驗A

10、發(fā)生與否與其他次試驗A 發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗。用P表示每次試驗A發(fā)生的概率,則A發(fā)生的概率為1 p q ,用Pn（k）表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k（0 k n）次的概率,_. . k k n kPn（k） CnPq , k 0,1,2, ,n。第二章隨機(jī)變量及其分布(1 )離設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為人（k=1,2,）且取各個值的散型隨概率，即事件（X=X）的概率為機(jī)變量P(X=x<)=pk, k=1,2,的分布則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分律布列的形式給出：X| x1,x2, xk,P(X xk) p1, p

11、2, , pk,。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1。(2)連設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù)f（x）,對任意實續(xù)型隨數(shù)x,有機(jī)變量x的分布F(x)f(x)dx密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f（X）稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù),簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1°f(x) 0。of(x)dx 12 。(3)離 散與連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的關(guān)系P(X x) P(x X x dx) f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與 P(X 在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。xk)pk(4)分設(shè)X為

12、隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)布函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(a Xb) F(b) F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° 0F(x) 1,x;2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即x1 X2時，有F (x1)F(X2)；3°F( ) lim F(x) 0，F(xiàn)( ) lim F(x) 1 ;xx4°F(x 0) F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5°P(X x) F(x) F(x 0) o對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk

13、 ;xk xx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)f (x)dx o(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q1（浙大第四版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2, ,n。P(X k) Pn(k) C：pkqnk，其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布。記為X B(n,p)。當(dāng) n 1 時，P(X k) pkq1 k，k 0.1，這就是（0-1 ）分布，所以（0-1 ）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X

14、 k) e ，0，k!k 0,1,2，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X ()或者 P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=入，nx）。超幾何分布.一、cM?CNkM k 0,1,2,l廠1八0)n,CNl min (M,n)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 n,N,M H（n,N,M）。的超幾何分布，記為幾何分布P(X k) qk 1p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G（p）。1均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f（x）在a，b上為常數(shù)b-，即a1a< xw bf(x)b a '0,其他，則稱隨機(jī)

15、變量X在a，b上服從均勻分布，記為XU（a，b)。分布函數(shù)為0，x<a，x ab aa< x w bF(x)xf(x)dx-1，x>b。當(dāng) a< xi <X2< b 時，X洛在區(qū)間（x1，x2 ）內(nèi)的概率為x2P(x1 X x2) b。a指數(shù)分布x r e，x 0f (x)仁x 05其中0，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為廠#x1 e ,x 0,F(x)"L o,x<0。記住積分公式：xne xdx n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)1 e 2 2，x，其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（

16、Gauss）分布，記為X N(,2）。f（x）具有如下性質(zhì)：1°f（x）的圖形是關(guān)于X對稱的；2° 當(dāng)x1時，f （）-為取大值；2V2若 XN(1,x，則X的分布函數(shù)為F(x) 丁-e 2 dt扌20 0參數(shù)0、1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N（0J），其密度函數(shù)記為（x），-e血，x，分布函數(shù)為xt2(x) Le 2 dt o丁2（X）是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。（-x） = 1-（x）且 （0）=-。女口果X N （,2)，則N(0,1) oP(x1XX2 )卷x。（6）分 位數(shù)下分位表：P(X)=7上分位表：P(X)=0（7）函離散型已知

17、X的分布列為數(shù)分布x1,x2,xn,XP(Xxi)p1,p2, pn,Y g（X）的分布列（y g（xj互不相等）如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),p(y yi)xi）相等,則應(yīng)將對應(yīng)的Pi相加作為g（Xi）的若有呆些g（概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fx（x）寫出丫的分布函數(shù) F（y）=P（g（X） < y），再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出。第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱 為離散型隨機(jī)量。設(shè) =（X，Y）的所有可能取值為（xyj）（i,j 1,2,），且事件 =（Xi，yj）的概率

18、為pj,稱P(X,Y) (Xi，yj)Pj(i, j 1,2,)為 =（X，Y）的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分(1) pj > 0 (i,j=1,2,);(2)Pij 1.i j連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量（X,Y），如果存在非負(fù)函數(shù)f （x, y）（x,y），使對任意一個其鄰邊分別平仃于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D-（X,Y）|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df(x, y)dxdy,D則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f（x,y）為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f（x,y）具有下面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) > 0;(2)

19、f (x, y)dxdy 1.（2）二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)(X x,Yy) (X x y y)（3）聯(lián)合設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)分布函數(shù)F(x,y) PX x,Y y稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1， 2)|X（ 1） x,Y（ 2） y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F（x,y）具有以下的基本性質(zhì)：(1)0 F(x, y) 1；（2）F（ x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)X2>X1時，有F (X2,y ) > F(X1,y);當(dāng) 護(hù)屮時，有 F(x,y

20、2) > F(x,y 1);（3）F（ x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);（4）F（,)F( , y) F(x, )0,F(,)1.（5）對于x1X2， y1y2，F(xiàn)(X2, y2)F(X2, yj F(X1，y2) Fg, yj 0.（4）離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X x，Yy) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(X Xi)Pij(i,j 1,2,)；jY的邊緣分布為P?jP(Y yj)Pij(i, j 1,2,)。i連續(xù)型X的邊緣分布

21、密度為fx(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f (x, y)dx.(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj |X xj 丄；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X xJY yj)丄，P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 1 、 f(x,y)f(x|y)；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)常fx(X)(7)獨立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pij Pi?P?j有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密

22、度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布2 21x12(x1 )(y2)y21 2(1 2 ) 1 1 2 2f (x,y): e,212=0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,XmXm+1,X相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h (X1, X2,Xm) 和 g ( Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若 X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（9）二維設(shè)隨機(jī)向量（X，Y的分布密度函數(shù)為正態(tài)分布1e1 2 j122 21x 12 (x 1)(y2)y 2f(x, y)22(1 2) 1 1 2 2J其中1, 2,0， 2 0,11是5個參數(shù)，則稱（X, Y）服從二維

23、正態(tài)分布，記為（X，Y）N ( 1， 2, 1 ，；,)由邊緣密度的計算公式，可以推出二一維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN (1,12)，YN( 2,2).但是若XN （1，12),YN(22） , （X, Y）未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，fz(z) = f (x, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（12, 122 ）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。CTi ?i2c2 22 iiiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若 X1, X2 Xn相互獨立，其分布函數(shù)分

24、別為Fx (x), Fx (x)Fxn (x)，則 Z=max,min(X 1 ,X2,Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)Fx,(X)?Fx2(X)Fxn(x)Fmin (x)11Fx1(x)?1 Fx2 (x)1 Fxn(x)(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)2分布設(shè)n個隨機(jī)變量Xi, X2, ,Xn相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2WXii 1的分布密度為1 n 1 unu2 e 2 u 0,f(u) 22 n20,u 0.我們稱隨機(jī)變量 W服從自由度為n的2分布，記為W- 2(n),其中n n 1x2 e dx.2 0所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨

25、機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi2(n J,則k2ZYi (n1n2nk).i 1t分布設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且X N(0,1),Y2(n),可以證明函數(shù)TvY / n的概率密度為n 1n 12t2f(t)21 t(t)./nn*n一2我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。t1 (n) t (n)1(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)F分布設(shè)X 2(n 1), Y 2(n2)，且X與Y獨立，可以證明lX /山F 的概率密度函數(shù)為Y/n2“1 “2比叫匕2E 2 弓ni2門f(y) y 1 y ，y 0 f(y)n1n2n2n22 20,

26、y 0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為 n1,第二個自由度為 n2的F分布，記為 Ff(n 1, n 2).1F1 (n1, n2)F (n2, nJ第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型一維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密隨機(jī)期望就是平均值度為f(x),變量律為 p( XXk ) = pk ,的數(shù)k=1,2,n ,E(X)xf(x)dx字特n征E(X)XkPkk 1(要求絕對收斂)(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y)g(x)f(x)dx方差2D(X)=EX-E(X),D(X)Xk E(X)2pkD(X)

27、x E(X)2 f (x)dx標(biāo)準(zhǔn)差k(X) JD(X),矩對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的kk次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點階原點矩，記為Vk,即矩，記為Vk,即V k=E(Xk)=Xikpi ,iv k=E(Xk)=xk f (x)dx,k=1,2,k=1,2,對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與與E （X）差的k次幕的數(shù)學(xué)期E（X）差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X望為X的k階中心矩，記為k ,的k階中心矩，記為k，即即k E(XE(X)kkk E(X E(X)k=(X E(X) f(x)dx,=(xiiE(X)kpi,k=1,2

28、,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E （X） = ，方差D (X) =/,則對于任意正數(shù)&，有卜列切比雪夫不等式P(|X2)切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計P(|x.、- Z .、人rA < .1-|- 、', 1 )，它在理論上有里要意乂。(2)（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn質(zhì)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)E( CiXi)QE(Xi)i 1i 1（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立：充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）（1）D(C)=0 ； E(C)=C方差（2）2D(aX

29、)=a D(X) ； E(aX)=aE(X)的性（3）2D(aX+b)= a D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b質(zhì)（4）2 2D(X)=E(X )-E (X)（5）D（X± Y）=D（X）+D（Y），充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X:± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E（X+Y）=E（X）+E（Y），無條件成立。（4）期望方差常 分見布0-1分布B(1, p)PP(1 P)的期 望和二項分布B(n, p)npnp(1 p)方差泊松分布P()幾何分布G(p)1P1 p2 p超幾何分布H(n,M

30、,N)nMnMM N 1nNN1 NN1均勻分布U (a,b)a b2(b a)212指數(shù)分布e()112正態(tài)分布N( ,2)22分布n2nt分布0n , c、(n >2) n 2(5)期望n二維 隨機(jī)E(X)Xi pi?i 1E(X)xfx (x)dx變量n的數(shù) 字特E(Y)yjP?jj 1E(Y)yfY (y)dy征函數(shù)的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=i jG(Xi, yj)PjG(x,y) f(x, y)dxdy方差D(X)2XiE(X) Pi?iD(X)x E(X)2 fx (x)dxD(Y)Xj E(Y)2p?jjD(Y)y e(Y)2fY(y)dy1(浙大第四版)概率論

31、與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或cov(X,Y)，即xy11 E(X E(X)(YE(Y).與記號 xy相對應(yīng)，X與Y的方差D( X)與D( Y)也可分別記為xx與jYY °相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與丫，如果D(X)>0, D(Y)>0，則稱XYJd(x)Jd(y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY (有時可簡記為)。| < 1,當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：P(X aY b) 1完全相關(guān)正相關(guān)'當(dāng)1時(a0)，負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(a 0),而當(dāng)0時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的： XY

32、0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩對于隨機(jī)變量X與丫如果有E(X kYl )存在，則稱之為 X與Y的 k+l階混合原點矩，記為ki ; k+l階混合中心矩記為：klUkl E(X E(X) (Y E(Y).(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(

33、X)E(Y).1(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)(ii )(7)獨立和不相關(guān)(i)若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則 xy 0 ;反之不真。若(X, Y)N (1，2，i2，:,),則X與Y相互獨立的充要條件是 X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理1(1 )大數(shù)定律X切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變量 X, X2,湘互獨立，均具有有限方差，且被同一 常數(shù)C所界：D(X)<C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)&，有l(wèi)imnXi 11 nnE(Xi)i 11.特殊情形:則上式成為X,X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)=卩,lim PnXin i 11.伯努利 大數(shù)定 律設(shè)卩是

34、n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在 每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)有l(wèi)im Pn1.伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，艮卩l(xiāng)im Pn0.這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大 設(shè)X, %, Xn,是相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E數(shù)定律(% ) = ，則對于任意的正數(shù)&有l(wèi)im Pn1 n1 Xi1.(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)（2）中心極限定列維設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨立，服從同一分布，且具有理林德伯相同的數(shù)學(xué)期望和方差：X2N(n格定理E(Xk),D(Xk)20(k1,2,），則隨

35、機(jī)變量nXk nYk 1Yn麻的分布函數(shù)Fn（x）對任意的實數(shù)X,有l(wèi)im Fn (x) lim P -nnnXk n1廠xn1x汀et2此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普設(shè)隨機(jī)變量 X n為具有參數(shù) n, p（0<p<1）的二項分布，則對于拉斯定任意實數(shù)X,有理.n X n np lim P1X-x TT e22dt.n<n p(1 p)（3）二項定理若當(dāng)N時,一p（n,k不變），則Nq k q nkCm Cn MQk knCn P (Cnp)nk(N).超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當(dāng)n時，np0,則c k kn kCn p (1 p)ke

36、 k!(n).其中k=0, 1, 2，n，。 二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理 統(tǒng)計的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全 體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個體總體中的每一個單兀稱為樣品（或個體）。樣本樣本函數(shù)和 統(tǒng)計量我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2, xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下, 總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2, ,xn表示n個隨機(jī)變

37、量(樣本)；在具體的一次抽取之后，x1, x2, , xn表示n個具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。設(shè)Xi, X2 , Xn為總體的一個樣本，稱(Xi,X2, Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未常見統(tǒng)計量 及其性質(zhì)樣本均值Xi.樣本方差1 n 一S2(Xi X)2.n 1 i i樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點矩知參數(shù)，則稱(Xi, X2 , ,Xn)為一個統(tǒng)計量。1 kMk 一Xi ,k 1,2,.n i 1樣本k階中心矩n_IkMk(Xix) ,k 2,3,n i 12E(X)，D(X)，n2E(S )2，e(s*2) n 1 2,n其中s*21 n 一 2一 (X

38、i X),為二階中心矩,n i 1（2）正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè) Xi, X2,本函數(shù),Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣def Xu/ vn N(O,i).t分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣本函數(shù)def xs/n t(ni),其中t(n-i)表示自由度為 n-i的t分布。2分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣本函數(shù)def (n i)SW"222(n i),其中2（ni）表示自由度為n-i的2分布。F分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,i2）的一個樣本，而yi, y2, yn為來自正態(tài)

39、總體N(,22 ）的一個樣本，則樣本函數(shù)F def si2 /i2F s；/2F(nin i),其中S2 i"(X X)2S22i n2- 20ni”(XiX),i i i”(yiy)；壓i i iFg i, n2i）表示第自由度為nii，第二自由度為n2 i的F分布。（3）正態(tài) 總體下分X與S2獨立。布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(1)點 估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m，則其分布函數(shù)可以表成F(x; 1, 2, , m).它的 k 階原點矩 Vk E(Xk)(k 1,2, , m)中也 包含了未知參數(shù)1,2, m，即Vk Vk( 1,2, m)。又設(shè)X1, X2,

40、 Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為1 nXik (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有1 nV1 ( 1 , 2 , , m) Xi ,n i 11 n 2V2( 1 ,2 , m)Xi ,n i 11 nz、丄mVm( 1 , 2 , , m)Xi .n i 1由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù)(1 , 2 , m )的矩估計量。若 為 的矩估計，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計。1(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)極大似 然估計當(dāng)總體X為連續(xù)f（X

41、； 1 ,2 , m），其型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為未知參數(shù)。又設(shè)中1 ,2 , m 為Xi , X2 , ,Xn為總體的一個樣本，稱L( 1 , 2,m)nf (Xi；i 11 ,2 ,m)為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時,設(shè)其分布律為PX X p(x; 1,2,m),則稱L(Xi,X2, ,Xn； 1,2 ,n m )i 1p(Xi；1 ,2 ,m)為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L（x1,X2,Xn ；1, 2 , ,m)在 1,2,m處取到最大值，則稱 1, 2,m分別為1, 2 ,Jm的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最人似然估計量。ln Ln0,i1,2,ii i

42、,111右為的極大似然估計，g（X）為單調(diào)函數(shù)，則g( ?為 g(）的極大似然估計。（2 ）估 計量的無偏性設(shè)（X1，X2， ,Xn）為未知參數(shù)的估計量。若E()=，則稱評選標(biāo)準(zhǔn)為的無偏估計量。E ( X ) =E (X), E (S2) =D( X)有效性設(shè) 11(X1, X,2 , Xn)和 22(X1, X,；2 ,7 Xn)是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若 D（1 ) D( 2 )，則稱1比2有效。一致性設(shè)n是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(|nn |)0,則稱n為的一致估計量(或相合估計量)。右為的無偏估計，且D( 30(n),則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。(3)區(qū)置信區(qū)間估計間和置設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本x1,x,2 , ,xn出信度發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量11(X1,X,2 ,Xn)與22(X1, X,2 , Xn)( 12),使得區(qū)間1, 2以1(01)的概率包含這個待估參數(shù)即P 121那么稱區(qū)間1，2】為 的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)O總體的設(shè)X