(完整word版)高等代數(shù)二次型

1、第五講二次型一、二次型的概念及標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型的概念及幾種表述F上的n元二次型。有以下幾種表述方式:數(shù)域F上的n元二次齊次函數(shù)稱為數(shù)域n n(1)f(X,X2，川，Xn)Z ajXiXji4 j 42 2f (為，X2, |H,Xn) =4必 +a22X2+ lil + annX； + 2瓦 ajXiXj ；af(X1,X2 川 |,Xn) =XTAX，其中 XT =(X1,X2,i|l|,Xn)，A = (aij)n 河，且人丁 = A，并稱A為二次型的矩陣。2、矩陣合同(1 )設(shè)A,Fn3若存在可逆矩陣Fn，使B=TTAT，則稱A與B是合同的。3、合同是矩陣間的一種等價關(guān)系。二次型經(jīng)過非退

2、化的線性替換仍變?yōu)槎涡?，且新老二次型的矩陣是合同的?標(biāo)準(zhǔn)形(1)2 2 2二次型 f(X1, X2，川,Xn) =diXi +d2X2+|H+dnXn 稱為標(biāo)準(zhǔn)形。4、任何二次型都可以通過非退化線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形。 任何對稱矩陣都合同于一個對角陣。復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形2 2 2復(fù)二次型 f(Xi,X2川hXn) =diXi +d2X2 +川 +dnXn，其中 di =1 或 0，稱為復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形。任何復(fù)二次型f（X1, X211, Xn） = X T AX都可以通過非退化線性替換化成規(guī)范2 2 2形f（X1, X2 J|（,XnH y1 +y2 +IH + yr ,其中r =秩a，且

3、規(guī)范形是唯一的。任何復(fù)對稱矩陣 A都合同于對角陣Er 0、.0 0丿（4）5、實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形兩個復(fù)對稱矩陣合同的充要條件是秩相等。2 2 2實(shí)二次型f（X,X2，川,Xn）之必+d2X2 +川+dnXn，其中di =1 -誠0，稱為 實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形。任何實(shí)二次型f（X1, X211 , Xn） = X T AX都可以通過非退化線性替換化成規(guī)范形 f（X1,X2,川,Xn） =y12+川+y2 yp+-川-y；，其中 r =秩A，p是正 慣性指數(shù)，且規(guī)范形是唯一的。正平方項(xiàng)的個數(shù)慣性定理任何實(shí)二次型經(jīng)過非退化線性替換化成的標(biāo)準(zhǔn)形中,和負(fù)平方項(xiàng)的個數(shù)是唯一確定的，在實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形f(

4、x, x川n, k ) 12廿 y 22b| I2y p(bi > OGj >心，川jP2J'= j I； q 中，P稱為正慣性指數(shù)， q稱為負(fù)慣性指數(shù)，p-q稱為符號差，且P +q =秩A。1、正交陣、實(shí)對稱陣的正交化標(biāo)準(zhǔn)形 正交陣AR嘆,若ATA = Ej則稱A為正交陣。正交陣的等價定義有：A = (dj )n刈-Rn1 i = JA是正交陣二ai冋宀2MIE+ki打1 iA是正交陣二+a2ia2j +|+anianj =(0 .Uj 1 H J.T1A是正交陣二A =A 。A是正交陣，則A=1或-1。(4)A是正交陣，則 A的特征值的模為1;如果正交陣 A有實(shí)特征值，

5、則只能為 ±1。正交矩陣A可以對角化，即存在復(fù)可逆矩陣 T，使A=T|'中兀川jXn為A的全部特征根，且"(i =1jHLn)。2、施密特正交化方法:設(shè) 1,。2,川,叫仔Rn)線性無關(guān),正交化：令P1 =ctPk-kp1-ill，罟)嘰,(22,川,n)；(Pk4 Pk4)單位化：令nkPk(k=1j2，川,n)；令A(yù) -CVS,川Tn)，則A為正交矩陣。0。3、實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(1)(2)存在實(shí)可逆陣T，使TtAT，其中 di >0，(i =1,2,川，n)；實(shí)對稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)；屬于實(shí)對稱矩陣 A的不同特征值的特征向量必正交;AT=A(Rn9，則

6、存在正交矩陣T,使得TtAT-1AT =!'kn丿任一實(shí)二次型f(X1,X2|,Xn) =XTAX，其中AT=ARn刈，則存在正交變換 X =TY，使 f(x1,x2,ilx)n=;y12 + 2y22+H”yn2，屁幾2,川，入n是A的全部實(shí)特征值。三、正定二次型1、正定二次型(1)設(shè)實(shí)二次型f(Xi,X2，川，Xn) = XTAX，其中At=AR詢，則下列條件都是正定二次型的等價條件:對任意實(shí)向量 i =(G,C2,ill,Cn) H0,都有 f(Xi,X2|,Xn)=CTACA0 ；dn丿f的正慣性指數(shù)與秩都等于A的特征值全為正；A合同于E :A的一切主子式都大于 0:A的一切順

7、序主子式都大于(2) 當(dāng)實(shí)二次型f (X1,X2|,Xn) =XtAX是正定二次型時，稱 A為正定陣，因此上面這此條件也是正定陣的等價條件。2、負(fù)定二次型(1)設(shè)實(shí)二次型f(Xi,X2，川，Xn) = XTAX，其中AT=AR，則下列條件都是負(fù)定二次型的等價條件:對任意實(shí)向量 CT =(C,C2,川,Cn) H0，都有 f(Xi,X2|,Xn)=CTAC<0 :di存在實(shí)可逆陣T，使TtAT =，其中 di <0 , (i =12山，n):dn丿A的特征值全為負(fù);A合同于-E ；-f (X1,X2，川，Xn) = XT(-A)X 是正定二次型;A的一切奇數(shù)階主子式都小于0, A的一

8、切偶數(shù)階主子式都大于 0;A的一切奇數(shù)階順序主子式都小于0， A的一切偶數(shù)階順序主子式都大于A為負(fù)定陣，因此3、上面這此條件也是負(fù)定陣的等價條件。半正定二次型(1)設(shè)實(shí)二次型 f(X1,X2,i|,Xn) =XTAX，其中 AT =A亡R'"，則下列條件都是半正定二次型的等價條件:對任意實(shí)向量C =(5611 ,Cn)，都有f (Xj X2川I , Xn) = C AC>0；存在實(shí)可逆陣T，使TtAT =，其中 di 30，(i =12川，n)；(2) 當(dāng)實(shí)次型f ( X1 , X2，川，Xn) = X ax是負(fù)定二次型時，稱dn丿f的正慣性指數(shù)與秩相等;A的特征值全非負(fù)；A的一切主子式都非負(fù);存在實(shí)矩陣B，使得A = Bt B。(2 )當(dāng)實(shí)二次型f (X,X2，川，Xn) =XTAX是半正定二次型時，稱 A為半正定陣,4、5、因此上面這此條件也是半正定陣的等價條件。 半負(fù)定二次型，類似半正定二次型可以表述。不定二次型(1)設(shè)實(shí)二次型 f(X,X2川|,Xn) =XTAX，其中 At=A-R詢?nèi)舸嬖趦蓚€實(shí)向量C