2017中考數(shù)學(xué)壓軸專題最值問(wèn)題系列一

1、 專題 最值問(wèn)題 1（幾何模型）一、歸于幾何模型，這類模型又分為以下情況： 1. 歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。 凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。 2. 歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”。 凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。 3. 利用軸對(duì)稱知識(shí)（結(jié)合平移）。4. 應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短?！毙再|(zhì)。5. 定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)；以及直線與圓相切的臨界位置等等。二、基礎(chǔ)知識(shí)模型（1） “將軍飲馬”問(wèn)題1. 如圖1,將軍騎馬從A出發(fā)，先到河邊a喝水，再回駐地B，問(wèn)將軍怎樣走路程最短？2. 如圖,一位將

2、軍騎馬從駐地M出發(fā)，先牽馬去草地OA吃草，再牽馬去河邊OB喝水，最后回到駐地M，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短? 圖1 圖2 3. 如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽馬，先到草地一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。 （二）“造橋選址”問(wèn)題（選自人教版七年級(jí)下冊(cè)）1. 如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河兩岸1l、l2平行,橋MN 與河岸垂直） 練習(xí):1. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)， 連接PB、PQ，則PBQ周長(zhǎng)的最小

3、值為_(kāi)（結(jié)果不取近似值）.  1題圖 2題圖2. 已知點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)， 若O的半徑長(zhǎng)為1，則AP+BP的最小值為_(kāi). 3. 如圖3，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）,請(qǐng)?jiān)趚軸上找到一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和PA+PB的最小值。 變式1: 如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0）.把點(diǎn)A和點(diǎn)B向左平移 m個(gè)單位，得到點(diǎn)和點(diǎn),使最短，求m的值. 變式2: 如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐

4、標(biāo)為（-4，0）.把點(diǎn)A和點(diǎn)B向左或向右平移m個(gè)單位，得到點(diǎn)和點(diǎn),使四邊形CD的周長(zhǎng)最短，求m的值. 1.中考真題練習(xí) 2.如圖（1），拋物線和y軸的交點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)。 3. 4.（廣州 2014 24題）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（1，0）、B（4，0），拋物線y=ax2+bx2（a0）過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P（m，n）（n0）為拋物線上一點(diǎn) （1） 求拋物線的解析

5、式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2） 當(dāng)APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍； （3） 若m，當(dāng)APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（0t）個(gè)單位，點(diǎn)C、P平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為C、P，是否存在t，使得首位依次連接A、B、P、C所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，求t的值并說(shuō)明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（三）垂線段最短問(wèn)題1.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）變式1. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，8）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）,在y軸上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C（-2，0）的距離和到

6、直線AB的距離之和最小，請(qǐng)求出最小值。  2. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），在y軸上找一點(diǎn)N，使點(diǎn)N到點(diǎn)的距離和到直線AB的距離之和最小，請(qǐng)求出最小值. 中考真題訓(xùn)練1. 如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y=ax2上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，0）. (1) 求a的值； (2) 在x軸上找一點(diǎn)Q，使得QAB的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3) 已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），在y軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到點(diǎn)D的距離和到直線AB的距離之和最小，請(qǐng)求出最小值. 2.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x0y中的點(diǎn)平P

7、（a，b），點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中k為常數(shù)，且k0），則稱點(diǎn)為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”.例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為（1+，2×1+4），即（3，6）（1）點(diǎn)P（-1，-2）的“2屬派生點(diǎn)” 的坐標(biāo)為 _； 若點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為（3，3），請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)_；（2）若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，且OP為等腰直角三角形，則k的值為_(kāi)；（3）如圖, 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“屬派生點(diǎn)”，當(dāng)線段B Q最短時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo) （四）“三角形兩邊之差小于第三邊” (線段差最大問(wèn)題)1. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐

8、標(biāo)為（2，2）,(1) 如圖（1）請(qǐng)?jiān)趚軸上找到一點(diǎn)P，使最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）如圖（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找到一點(diǎn)P，使最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。圖2圖1 中考真題練習(xí)1.(2014年廣東深圳)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)到D，使DC=4CA，連接BD （1）求M的半徑； （2）證明：BD為M的切線； （3）在直線MC上找一點(diǎn)P，使|DPAP|最大  （5） 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題（1） 利用“相切”解決最值問(wèn)題（2） 利用“直徑是最長(zhǎng)的弦”求最值（3）利用“對(duì)角互補(bǔ)

9、存隱圓” 、“定弦定角存隱圓”、“定點(diǎn)定長(zhǎng)存隱圓” 求最值1.（2013棗莊）如圖，已知線段OA交O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OAP的最大值是（）A90° B60° C45° D30° 1題圖 2題圖 3題圖2. （2016 廣州天河一模）如圖，AB為O的弦，AB=6，點(diǎn)C是O上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，且ACB=45°，若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)， 則線段MN長(zhǎng)的最大值是 . 3.（2014武漢模擬）如圖，P為O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與O交于B、C兩點(diǎn)若O的半徑長(zhǎng)為3，OP=，則弦BC的最大值為（

10、） A2 B3 C D34. （2014春興化市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2，設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是（） Am0 B C D 4題圖 5題圖 6題圖 5.（2015 花都一模）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是6.（2013內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），直線y=kx3k+4與O交于 B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為7. （2015泰興市二模）如圖，

11、定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是 7題圖 8題圖 9題圖8.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是 .9. 正方形ABCD中，BC=4，E，F(xiàn)分別為射線BC，CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=CF，設(shè)AE，BF交于G，則DG的最小值為 . 10.如圖, 邊長(zhǎng)為3的等邊ABC, D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn), 且BDCE, AD、BE交于P點(diǎn), 則CP的最小值為

12、 . 10題圖11.（2015安徽）在O中，直徑AB=6，BC是弦，ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在O上，且OPPQ（1）如圖1，當(dāng)PQAB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值. 12. （2016 合肥模擬）如圖，直角ABC內(nèi)接于O，C=90°，點(diǎn)P在弧AB上移動(dòng)，P，C分別位于AB的異側(cè)（P不與A，B重合），PCD也為直角三角形，PCD=90°，且直角PCD的斜邊PD也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，BA，PC相交于點(diǎn)E.(1） 當(dāng)BA平分PBC時(shí)，求的值；(2） 已知：AC=1，BC=2，求PCD面積的最大值。 13. 在平面直角坐標(biāo)系中，O

13、為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn). 若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OEDF，若直線AE與直線BF相交于點(diǎn)P.（1）求PAO的最大值；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). 鞏固練習(xí)1. 如圖1，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是     m(結(jié)果不取近似值)  1題圖 2題圖 3題圖 2. 如圖2，有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm， AA1、BB

14、1為相對(duì)的兩條母線。在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm。蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是      cm.（結(jié)果用帶和根號(hào)的式子表示）3. （深圳 福田模擬）如圖，MON=20°，A為射線OM上一點(diǎn)，OA=4，D為射線ON上一點(diǎn)，OD=8，C為射線AM上任意一點(diǎn)，B是線段OD上任意一點(diǎn)，那么折線ABCD的長(zhǎng)AB+BC+CD的最小值是 _4. （2010蘇州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），C的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為1若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸

15、交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是（） A2 B1 C D 4題圖 5題圖 6題圖5.（2014春興化市校級(jí)月考）如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是6. （2013武漢模擬）如圖BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的O與BAC的兩邊相切，P為O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為（） A3 B6 C D7.（2015年武漢中考）如圖，ABC、EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、F

16、C相交于點(diǎn)M當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是 .8（2013日照）問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A在O上，ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為（2）知識(shí)拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程9. 如圖，已知點(diǎn)A

17、(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線y=ax2上 （1）求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （2）平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)  當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；  當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 備用圖10. 已知：如圖，AB是O的直徑，在AB的兩側(cè)

18、有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），CP交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q（1）求P的正切值；（2）當(dāng)CPAB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)11.先閱讀材料，再解答問(wèn)題： 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時(shí)了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周角相等如圖，點(diǎn)A、B、C、D均為O上的點(diǎn)，則有C=D小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)E在O外，且與點(diǎn)D在直線AB同側(cè)，則有D>E 請(qǐng)你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：(1) 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,7)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0) 在圖1中作出ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）；若在軸的正半軸上有一點(diǎn)D，且ACB =ADB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ； (2) 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,n)，其中m>n>0點(diǎn)