《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)09.07

1、全國2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1 .設(shè)A, B , C為同階方陣，下面矩陣的運算中不成立的是 (C )A . (A B)T 二 At BtB . |AB|=|A|B|C. A(B C)=BA CAD . (AB)T =BTATA(B C) =AB AC，未必等于 BA CA .ana12a132a112a122a132.已知a21a22a23=3，那a?1a22a23=(B)a31a32a332a312a322a33A .- 24B .-12C.- 6D. 122a12a 122a3a11a12a13a21a

2、22a23=2 x(2)xa21a22a23=2X(-2)X3 = 12 .2a31 2a32 2a33a31a32a333.若矩陣a可逆，則下列等式成立的是（C ）A. A 說 A*B 內(nèi)=0C . (A2)=(a4)2 D .(3A) 43A_1A2(A4)2 =(AA4)E2 =e ,所以(A2)(A2 .右A =1 -25 2，_4B = 2：213 10 3-c2 ；，則下列矩陣運算-1 2的結(jié)果為3 2矩陣的是（ D ）A . ABCB . ACTBTC. CBAD. ctbtatA與C都是2 3矩陣，由此可以將前三個選項排除.5 .設(shè)有向量組A : 1,2,3,4，其中1,2,3

3、線性無關(guān)，則（A ）A . ：'1, ：'3線性無關(guān)B . ：'1, ：'2/'3/-4線性無關(guān)C. ：j,2，3，4線性相關(guān)D .2，3，4線性相關(guān)整體無關(guān)二.部分無關(guān).6.若四階方陣A的秩為3,則（ B ）A . A為可逆陣B .齊次方程組Ax=O有非零解C.齊次方程組Ax=0只有零解D .非齊次方程組Ax =b必有解|A|=0 , Ax=0有非零解.7 .設(shè)A為m n矩陣，則n元齊次線性方程Ax=0存在非零解的 充要條件是（ B ）A . A的行向量組線性相關(guān)B . A的列向量組線性相關(guān)C. a的行向量組線性無關(guān) 性無關(guān)D. a的列向量組線Ax =

4、0存在非零解的充要條件是r（A） <n，即A的列向量組線性相關(guān).8.F列矩陣是正交矩陣的是（100-1000【0-11.2j1'0C.COS v|- sin-sin v |cos72/202 / 21/6、6/6、-10/6V3/3 - -閃/3 -V3/310 0 100 -1 00 01一衛(wèi)0-100 -11 0 0 1 0 0 1 0 0-1 000-100 01 b 0 j一 衛(wèi) 0 1一二次型f =xtAx （ A為實對稱陣）正定的充要條件是a . a可逆B.|A|>0C. a的特征值之和1大于0D .a的特征值全部大于0k0 0 10.設(shè)矩陣a =0k -2正定

5、，則(C)0-24 一A . k>0B."0Ck A1D .心k02k00D1 =k a0 , D2 =0k=k >0 , D3 =0k-2= 4k(k 1) >0 二 k >1 .0-24、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）11. 設(shè) A=(1,3,1)，B=(2,1)，貝廿 AtB=（1、廣21 'atb =32,1)=63<1丿廠2-1212.若 1k1 03 1 =0，貝H k =2 1An2 0A12 = = -6 ,0 3'-0_60 1*A =_6302_1_401A131A”。=3 ,3A31A32A33

6、=0_2=02 1 0131k 21=2101-k10k21I 21=k+1=0 , k = 1 .1 -k 1、|1 2 0|13.設(shè) A = 2 0 0 p 1 3 一，則 A =.14.已知 A22A8E=O，貝y (A+E)'=由 A2-2A-8E=O，得 A2-2A-3E=5E ,(A E)( A - 3E) = 5E ,(A E) 1A-3E 二 E，所以(A E)4A-3E .155 丿5515. 向量組 冷=(1,1,0,2),2 =(1,0,1,0), >3 =(0,1,-1,2)的秩為1102、1102、1102、1010T0-11-2T0-11-2，秩為2.

7、e1-12丿e1-12丿e000丿16.設(shè)齊次線性方程Ax=O有解，而非齊次線性方程且 Ax=b有解J則©杓是方程組的解.由 A =0 , A =b，可得 AC： -二)=A> A =0 b = b，即匚一二是 Ax = b 的 解.17 .方程組的基礎(chǔ)解系為X2 +X3 =0/a /、Xi = X31A=0 1/23/2 0 |Tf10一1 1妝2=-X3，基礎(chǔ)解系為-1e i i 丿211 丿'J A= 1/220廠3/20-3iX3 = X3I 118 .向量=(3,2,t,1),，(t,1,2,1)正交，貝y t 二.由 C) =0，即 5t -1 =0 , t

8、 =1 .519 .若矩陣A= 1 0與矩陣3 b相似，則x二043 X相似矩陣有相同的跡，所以1 3 X , x=2.20 .二次型 f(X1 ,X2, X3) =X12 2x| - 3x| X1X2 -3X1X3對應(yīng)的對稱矩陣是三、計算題（本大題共6小題，每小題共 54 分)21 .求行列式1427-3006432-205-22的值.解：D1-3401-34043513840354035-_3)匯22-2=3疋020202-2202-296236876-229062=3 222 已知V3，-：3-11-12D陣X滿足方程AX BX =D -C，求X .解：由 AX BX =D -C,得(A

9、 B)X 二 D -C于是4X =(A B) (D -C)二23 .設(shè)向量組為：4 =(4,以,3,-5)解:21 0 -2-213-1 0 -2-1I1-3I一2：1 =(2,0,-1,3)求向量組的秩，二3 =(-5,6,-5,9),并給出一個極大線性無關(guān)組.廣23-54廣-11-5311-53 '0_26_4T0264T0-264-11-5323-5405-1510I3_19-5丿<3_19-5<02_64丿巾-15-3、r102-1 '01-32T01_3205-15100000©2-64丿<000°向量組的秩為2, ：-12是一個

10、極大線性無關(guān)組.24.求取何值時，齊次方程組|4)x13x2 = 04x1x3 =0有非零解？并-5咅x2 - x3 =0在有非零解時求出方程組的通解.解:30人+ 43001=-1丸0丸-1-5-1九+4|A|=4-5-4 3)e 1),3時，4-1一1時，2=-(243)方程組有非零解;n30、廣130、130z4120、A =401T0-121T0-121T0-121r-5-3-1212-1200i000 - -3 或 1X1'40'101/4、T0-121T011/12e0°1°00_4X3X2X312 3,通解為12k為任意X3X3實數(shù);'

11、440、'40p'101/4 'T0-41T0-41T01-1/4©0°e0°<°001X-1X314 34X2J3，通解為X3*330 ”r 110110、110A =401T401T0-41T0-41廠5-1-bC5-1-b<04J<00° =-1 時，l為任意實數(shù)._1 625.設(shè)矩陣A= 0 -50 6-3-3 ,求矩陣A的全部特征值和特征向量.4九_163九+ 530+53=仏1)-6 九40-6丸4解：| £ A|二=（九一1）（九2 +幾一 2）=('-1) 2 (“ ;

12、；i，2)，特征'3=-2 ,，1 =，2=1 .，解齊次線性方程組(E -A)x =0 :63、巾63、Id11/2、疋A =063T000T000_11,0-6-3,00°丿,0001Jjxx1對于1 =，2 =1冷X3，基礎(chǔ)解X31、0、系為 a1 =0，鼻2 =-1/2< 1，對應(yīng)的全部特征向量為人：jk2： 2 , k1 ,k2是任意不全為零的常數(shù);對于3=-2，解齊次線性方程組（EA）x=0 :(-363 (-303、卩0：X1 =-x2AE A =033T033T011,<X2 =-x3 ,基礎(chǔ)解1°-6一6丿<°0

13、6;丿©0°丿X = X3（-r系為 亞=-1，對應(yīng)的全部特征向量為ks , k是任意非零常J丿數(shù).26 .用配方法求二次型f區(qū)必風(fēng)）4xf xf -2X1X3 4X2X3的標準 形，并寫出相應(yīng)的線性變換.解:f (x1 ,x2,x3) =x1 4x； xf -2x3 亠4x2x3= (xj - 2xrX3 亠 xj)(4xf 4x2x3 xf) _ xj= (xi - x3)' (2x2 x3)- x3作可逆線性變換yi =為-X3y2 二 2Xf X3 ,丫3 二X3得標準形f =y2 yf - yf.四、證明題(本大題共 1小題，6分)27.證明：若向量組l，2，i，n線性無關(guān)，而+ ：n, J ：'2,飛 >3,，訂*