[整理]5平面向量基礎知識

1、平面向量基礎知識第一課時：向量的概念向量的定義（兩要素）向量與矢量、數(shù)量、標量的區(qū)別作用點、實際意義（單位）、可比性向量是矢量的抽象、數(shù)量是標量的抽象向量的表示幾何表示（幾何中用點表示位置、用射線表示方向起點到終點）用有向線段表示向量使向量具有幾何直觀性有向線段（三要素）與向量的區(qū)別（人的身高不隨位置改變而改變）向量只與其起點和終點的相對位置有關，與起點和終點的絕對位置無關符號表示有向線段的起點與終點符號（大寫）（具體） 小寫符號（抽象）手寫必須帶箭頭（“帽子”）用符號表示向量使向量具有代數(shù)的屬性坐標表示用坐標表示向量使向量具有算術的屬性向量的模及其表示寫法與讀法（“外套”）模特殊的向量零向量

2、定義、表示0、方向單位向量定義方向的惟一性與已知非零向量共線的單位向量常用表示符號e i、j>k位置特殊的向量位置向量起點為坐標原點的向量 方向關系特殊的向量與表示平行向量（共線向量“平行向量”與“共線向量”是等意詞）垂直向量相等向量平移變換用之相反向量反向變換用之零向量的規(guī)定：零向量與任一向量共線，零向量的相反向量是零向量 判斷：1、2、若兩向量相等，則它們的起點與終點相同AB BA3、若4、若a /b,c,貝U a II cAB =CD，貝U ABCD5、若6、若7、若8、若a與b不共線，則AB II CDAB II AC ,則A、B、C、D四點共線則A、占C三點共線AB=CD，貝U

3、 AB 二 CD9、若AB=CD，則| AB|=|CD |（既戴帽子，又穿外套）兩個向量平行，這兩個向量可以在一條直線上，這與平面幾何中的“平行”的含義不同;兩個向量共線，這兩個向量不一定在一條直線上，這與平面幾何中的“共線”的含義也 不同.而規(guī)定零向量與任一向量平行，使幾何中的“平行公理”對于向量平行不再成 立.（在幾何中，“平行”和“共線、重合”絕不相同，而在向量中，“平行”和“共線”絕對一樣）向量的類型：自由向量、滑動向量、固定向量第二課時：向量的加法向量加法的定義向量加法處理方法：三角形法則、平行四邊形法則（當兩個向量共線時，平行四邊形法則不適用，只適用三角形法則；當兩個向量不共 線時

4、，平行四邊形法則和三角形法則是一致的）向量加法的特征：尾首相接，首尾相連（與接點的位置無關）向量的和拆分封閉折線的和向量 ABC 中，G 是重心二 GA + GB + GC = 0求和向量時需要把向量具體化、幾何化向量加法的運算律：交換律、結合律向量加法的性質1、兩個向量的和為一個向量2、若兩個向量平行，則它們的和向量與它們也平行3、若兩個向量不平行，則它們的和向量與它們也不平行4、ia|- |b|< a + b|w|a|+ |b|,當且僅當a與b同向，或其中至少一個是零向量時，后一等號成立；當且僅當a與b反向或其中至少一個是零向量時，前一等號成立.第三課時：向量的減法向量減法的定義向量

5、減法是向量加法的逆運算向量減法處理方法：三角形法則、平行四邊形法則向量減法的特征：首首相聚，被減被指（與起點的位置無關）向量的差拆分向量減法是向量加法的逆運算，即減去一個向量等于加上該向量的相反向量求差向量時需要把向量具體化、幾何化向量減法的性質1、兩個向量的差為一個向量2、若兩個向量平行，則它們的差向量與它們也平行3、若兩個向量不平行，則它們的差向量與它們也不平行4、|a|-|b|w a- b|w|a|+ |b|,當且僅當a與b反向或其中至少一個是零向量時，后一等號成立；當且僅當a與b同向或其中至少一個是零向量時，前一等號成立.平行四邊形與向量的加減法：平行四邊形ABCD中=a, AD =

6、b,若 |a + b|=ab|,則平行四邊形ABCD第四課時：向量的加減法 第五課時：向量的數(shù)乘乘法的類型、意義與表示方法乘法的加法意義乘法是加法的簡便運算系數(shù)范圍從自然數(shù)擴大到實數(shù)實數(shù)與向量的積的定義可看作是實數(shù)與實數(shù)的積的概念的推廣向量的數(shù)乘的定義實數(shù)入與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘，其積是一個向量，記作入a，且滿足(1) |入a|= |入|a|; (2)當入0時，入a與a方向相同；當 入v 0時，入a與a方向相反； 當入=0時，入a = 0,總之入a / a向量數(shù)乘的幾何表示伸縮變換與反向變換向量數(shù)乘的運算律結合律、分配律(第一、第二)、交換律向量數(shù)乘與實數(shù)乘法的異同：運算結果不同，運算律

7、相同向量的線性運算的定義向量的加法、減法、數(shù)乘及其混合運算叫做向量的線性運算，又叫向量的初等運算(結果為向量的“一次”式)向量的線性運算結果是一個向量，運算法則與多項式運算類似(去掉箭頭即為多項式法貝U)第六課時：向量的線性表示向量的線性表示：若 az 0,且b=入a,則稱b可用非零向量a線性表示，其中a叫做 基底非零向量的單位向量的定義與表示公式若向量az 0,則稱與a方向相同的單位向量叫做 a的單位向量；4若x是a的單位向量，貝U x = -4a向量共線定理(向量共線的判定與性質)已知az 0,(1) 若 b=入 a,貝U b/ a;(2) 若b/ a;,則有且只有一個實數(shù) 入，使b=入a

8、只有以非零向量作為基底，才能線性表示與之共線的所有向量，且線性表達式是惟一的；若以零向量作為基底，則無法線性表示非零向量，而表示零向量時，線性表達式 有無數(shù)個T T T若OC =入OA +卩OB，且入+卩=1，貝y A、B、C三點共線已知入a+卩b= 0, (1)若入與不全為零，則 a / b; (2)若a與b不共線，則入=卩 =0第七課時：向量的線性運算向量線性運算的類型向量線性運算的常用方法平移（等量代換）、反向、拆分（路線的選擇）、線性表示（中點、分點、交點）（平移與反向是線性表示的特例）大寫字母的變換反證法的運用向量恒等式問題中點問題（聯(lián)想中位線）交點問題（三點共線的線性表示）待定系數(shù)

9、法 用向量法解題的思想化歸與轉化思想數(shù)形結合思想分類討論思想 向量的等和變換方程思想如待定系數(shù)法如向量的拆分如三角形法則如方向關系的討論（同向、反向、不共線）、零向量與非零向量若Pi、P2、P3、Pk、Pn-i依次是線段AB的各個n等分點,O是平面內任一點，則T TT I IOA + OB = OR + OP2 = OP2 + OR, =-= OR + 0幾丄第八課時：平面向量基本定理平面向量基本定理（共面向量的線性表示）如果e1, e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量a,有且只有一對實數(shù) 入i,入2,使a= iei+入2e2平面向量基本定理的意義：用不共線的兩個向量可

10、把平面內的所有向量統(tǒng)一起來基底 定義、特征、數(shù)量、作用、靈活性、不可交流性不共線的向量ei, e2，叫做表示平面內的所有向量的一組基底基底不惟一數(shù)量可多于兩個只有以不共線的向量（必為非零向量）作為基底，才能線性表示平面內的所有向量，且線性表達式是惟一的； 若以共線向量作為基底，則無法線性表示和它們不共線的向量，而表示和它們共線的向量時，線性表達式有無數(shù)個向量的分解定義：一個平面向量 a用一組基底e1, e2,表示成a=入1e1 +入2e2的形式，稱為向量 a按ei, e2的分解分類：當e1, e2,互相垂直時，就稱為向量的正交分解非正交分解向量分解的幾何方法過向量的起點和終點分別作基底向量的平

11、行線，兩條直線相交于一點第九課時：平面向量的坐標表示與坐標運算 平面向量的坐標表示位置向量起點為坐標原點的向量平面向量的分解T平面向量的正交分解T平面向量的分解（以坐標軸的共線向量為基底）7平面向量的分解（以坐標軸的同向向量為基底）7平面向量的分解（以坐標軸 的同向單位向量為基底）（“普通話”交流的便利）A (x, y)OA =( x, y)= xi + yjAB =（ Xb xA , yB yA）零向量的坐標為（0, 0）單位向量的坐標為（cost , sin v ）若 a=( x, y),則 I a 1 =x2y2 ；| AB i= % -Xa)2 觸-yA)2向量的坐標與起點和終點的相對

12、位置有關，與起點和終點的絕對位置無關 平面向量的坐標表示的意義：把幾何問題代數(shù)化、算術化平面向量的坐標運算坐標運算不需要幾何特征入a=若 a=（ X1, yj, b=（ X2, y2）, 貝U a+ b=a b=第十課時：有向線段的定比分點用黃金分割律引入定比分點的定義已知P在直線AB上，且P與B不重合，若 AP =入PB，則稱P分有向線段 AB所成的比為入，P叫A6的定比分點（PB為基底）（注意起點、分點、終點的順序 定比分點的類型在起點和分點符號之間插入分點）當P在線段AB上時，稱P為AB的內分點，入0 .特別地，P若為線段AB的中點,當P在線段AB的延長線或反向延長線上時，稱P為AB的外

13、分點，入v 0.特別地,P若在AB的延長線上，則入V 1 ;若P在AB 當P與A重合時，綜上得，入工1 . 定比分點計算公式已知 P1 （X1, yj ,的反向延長線上，則一1v入v0.（三點一值的計算）P2 （ x2,y2),若點P （x, y）分有向線段RP2所成的比為入（入工一1）,（定比分點向量公式）則 OP = OROP21中九（定比分點坐標公式）注意對號入座OM = 2ON BHMO = 2ONMO = 2 NOOM=2 NO2、若P分有向線段AB所成的比為3,則A分有向線段PB所成的比為3、若P分有向線段AB所成的比為3,則P分有向線段BA所成的比為X! < , .x21y

14、i y21線段中點坐標公式三角形重心坐標公式i練習1、O分有向線段 MN所成的比為2,則（）4、黃金分割點的坐標 三點共線問題的處理方法：方程法、斜率法、向量法、定比分點法、距離法第十一課時：平面向量平行的坐標表示引入：若a=（ 1, 3）, b=（ x, 4）則x為何值時，a/ b?方法1:設a=入0列方程組解之，入是輔助量，可消去不求，象一個學雷鋒做好事不 留名的人，當然，為了感謝他，也可以打聽出其姓名（求出入的值）問題：解決此題能否自力更生，不請外援？（總結輔助量的效果，事半功倍）方法 2：若 a =（ X1, y1）, b=（ X2, y2）,貝U a / b二 X1y2- X2y1

15、= 0 對號入座（記憶方法：先打草稿寫比例式，再寫定稿把分式化為整式）可以去掉課本上 az 0的規(guī)定，且可用加減消元法推導上式寫比例式法可以作為技巧解客觀性試題待定系數(shù)法與坐標法的異同：待定系數(shù)法是方程組，可同時解決線性向量式的系數(shù)（或向量的坐標）與定向（確定 同向還是反向）；坐標法是方程，可求向量的坐標，但解決向量定向問題時比較麻煩.推廣：若a與b不共線，貝卩（入 1a +1b）/ （入 2a+2b）二 入 1 卩 2入 2 卩 1= 0第十二課時：平面向量的數(shù)量積用力作功為例引入兩矢量生成一標量運算的含義運算符號的意義4轉屮向量數(shù)量積的定義a b= | a |b | cos ： a, b

16、寫法 讀法三個因素夾角的定義、表示、范圍、類型向量垂直及其性質垂直是兩個非零向量之間的一種關系（三條道路堵死兩條）兩向量的數(shù)量積為零是兩向量垂直的必要條件 零向量的規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,由于零向量的方向不確定，故不定義零向量與其它向量的夾角，更不可說零向量與其它向量垂直判斷1、2、3、2 2x =y =2 2x =y 二2 2x =y 二向量模的變換方法（平方加根號）向量的平方等于其模的平方 x=y 或 x= y x=y 或 x= yI x I = I y I向量數(shù)量積的運算率及公式（限于“二次”以內） 投影的概念 第十二課時：平面向量的數(shù)量積的坐標表示已知 a=（ xi, yi）

17、, b=（ X2, y2）:（1） a b= xiX2+yiy2不用夾角也可求數(shù)量積對號入座（2） 若a與b為非零向量，則cos“2 yiy2J（xi + yj2 +（X2 +y2）2（3） 若a與b為非零向量，則 a丄b= xix2+yiy2= 0注意大前提 第十三課時：平面向量的數(shù)量積 第十四課時：向量的應用用向量解決物理問題矢量的分解與合成分析力與做功向量源自物理用向量解決幾何問題平幾問題（向量的幾何運算）和解幾問題（向量的代數(shù)運算）平行問題 平行四邊形、梯形、三點共線、中位線、直線方程垂直問題 三角形垂心、矩形、菱形、圓的方程長度問題 平行四邊形兩對角線與四邊的關系、三角形的三邊關系角度問題 三角形的射影定理、余弦定理、不等式問題 三角形的三邊關系、柯西不等式直線的方向向量與其斜率斜率為k的直線的方向向量的坐標為（i, k）有向