彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第四版)_課后習(xí)題解答

1、彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第四版課后習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體,什么是非均勻的各向同性體?【分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定,但不滿足各向同性假定;非均勻的各向異性體,就是不滿足均勻性假定,但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如:竹材,木材。非均勻的各向同性體如:混凝土?！?-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體?一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體?【分析】能否作為理想彈性體,要判定能否滿足四個(gè)假定:連續(xù)性,完全彈性,均勻性,各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體;一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和巖質(zhì)地

2、基不可以作為理想彈性體?！?-3】五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么作用?【解答】(1連續(xù)性假定:假定物體是連續(xù)的,也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿,不留下任何空隙。引用這一假定后,物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此,建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定:假定物體是完全彈性的,即物體在對(duì)應(yīng)形變的外力被去除后,能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定,還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義,亦即兩者之間是成線性關(guān)系的,即引用這一假定后,應(yīng)力與形變服從胡克定律,從而使物理方程成為線性的方程,其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力

3、或形變的大小而變。均勻性假定:假定物體是均勻的,即整個(gè)物體是由同一材料組成的,引用這一假定后整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性,所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的,因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定:假定物體是各向同性的,即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同,引用此假定后,物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定:假定位移和變形是微小的。亦即,假定物體受力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸,而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí),就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí),它們的二次冪或乘積相對(duì)于其

4、本身都可以略去不計(jì),使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程?！?-4】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別?試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。【解答】應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定是:當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)(即正面時(shí),這個(gè)面上的應(yīng)力(不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)(即負(fù)面時(shí),該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是:當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正,沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由下圖可以看出,正面上應(yīng)力分量與面力分量同號(hào),負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。 正的應(yīng)力正的面

5、力【1-5】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正,反之為負(fù)。彈性力學(xué)中規(guī)定,作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?作用于負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?反之為負(fù)?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變。 【解答】正的應(yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力,正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變,本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的正應(yīng)變:軸向拉伸情況下,產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力,引起軸向伸長(zhǎng)變形,為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的切應(yīng)變:在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下,切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力,引起直角減小,故為正

6、的切應(yīng)變?！?-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。 【解答】 正的體力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。 【解答】xyxf yf xf yf xf yf yf xf Oz【1-9】在圖1-3的六面體上,y 面上切應(yīng)力yz 的合力與z 面上切應(yīng)力zy 的合力是否相等?【解答】切應(yīng)力為單位面上的力,量綱為12L MT -,單位為2/N m 。因此,應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積,設(shè)六面體微元尺寸如dx×dy×dz ,則y 面上切應(yīng)力yz 的合力為:yz dx dz (az 面上切應(yīng)力zy 的合力為:zy dx d

7、y (b由式(a (b可見,兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€(gè)相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等,但對(duì)某點(diǎn)的合力矩相等,才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明,在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。 【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中,可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力,且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有0=z xz yz ,只存在平面應(yīng)力分量,x y xy ,且它們不沿z 方向變化,僅為x ,y 的函數(shù)。可以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題?！?-2】試分析說明,在板面上處處受法向約束且不受切向面

8、力作用的等厚度薄片中(2-15,當(dāng)板邊上只受x ,y 向的面力或約束,且不沿厚度變化時(shí),其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！窘獯稹堪迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時(shí)0z =,且不受切向面力作用,則0xz yz =(相應(yīng)0zx zy =板邊上只受x ,y 向的面力或約束,所以僅存在,x y xy ,且不沿厚度變化,僅為x ,y 的函數(shù),故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-3】在圖2-3的微分體中,若將對(duì)形心的力矩平很條件CM0=改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件, 試問將導(dǎo)出什么形式的方程?【解答】將對(duì)形心的力矩平衡條件CM0=,改為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A 、B 、D 、E 的平衡條件,為計(jì)算方便,在z 方向的尺寸取為單位

9、1。0AM=1(1(11222(1(1110222xy x y x xy y y yxy yx x x dx dy dydx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y +-+-+-= (a0BM= (1(1(1221111102222yx y x x yx y xy x y x y dy dxdx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dxdy dx dy dx f dxdy f dxdy +-+=(bOzy0DM=(1111221(11102222yy xy x yx x x x

10、 x y dx dydy dx dy dx dy dx dyy dx dy dy dxdx dx dy f dxdy f dxdy x +-+-+-+= (c0EM=(1111222(1(1110222yy x yx y xy x x xy x y dx dy dxdy dx dy dx dy dx y dy dy dxdx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x -+-+-+-+= (d略去(a、(b、(c、(d中的三階小量(亦即令22,d xdy dxd y 都趨于0,并將各式都除以dxdy 后合并同類項(xiàng),分別得到xy yx =?！痉治觥坑杀绢}可得出結(jié)論:微分體對(duì)任一點(diǎn)

11、取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。【2-4】在圖2-3和微分體中,若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的,驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程?【解答】微分單元體ABCD 的邊長(zhǎng),dx dy 都是微量,因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a 所示,忽略了二階以上的高階微量,而看作是線性分布的,如圖(b 所示。為計(jì)算方便,單元體在z 方向的尺寸取為一個(gè)單位。xyOx f yf A BCD(y A(y D(yx D (yx A (x D(x A(xy A (xy D(xy C(xy B(x B(x C(y C(y B(yx B(yx CxyOx f yf A BCD(y A(y D(yx D

12、 (yx A (x D (x A(xy A (xy D(xy C(xy B(x B(x C(y C(y B(yx B(yx C(a (b各點(diǎn)正應(yīng)力:(=x A x ;(=y A y (xx B x dy y=+;(y y B y dy y=+(=+xx D x dx x;(=+xy D y dx x (=+x x x C x dx y x y; (=+y y y C y dx y xy各點(diǎn)切應(yīng)力:(xy A xy =;(yx A yx = (=+xy xy B xy dy y;(=+yx yx A yx dy y (xy xy D xy dx x=+;(=+yx yx D yx dx x(xy

13、 xy xy C xy dx dy xy=+;(=+yx yx yx C yx dx dy xy由微分單元體的平衡條件 0,=x F 0,=y F 得112211+22x x x x x x x x yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y -+- + 0x dx f dxdy +=112211+22y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x -+- +

14、0y dy f dxdy +=以上二式分別展開并約簡(jiǎn),再分別除以dxdy ,就得到平面問題中的平衡微分方程:0;0yxy xy x x y f f x y y x+=+= 【分析】由本題可以得出結(jié)論:彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式。 【2-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí),分別應(yīng)用了哪些基本假定?這些方程的適用條件是什么?【解答】(1在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是:物體的連續(xù)性和小變形假定,這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件。(2在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是:連續(xù)性,完全彈性,均勻性和各向同性假定,即理想彈性體假定。同樣,理想彈性

15、體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定?【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn),當(dāng)直徑和厚度相同的情況下,在自重作用下的鋼圓環(huán)(接近平面應(yīng)力問題總比鋼圓筒(接近平面應(yīng)變問題的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹矿w力相同情況下,兩類平面問題的平衡微分方程完全相同,故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出,兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E 為GPa 級(jí)別的量,而泊松比取值一般在(0,0.5,故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng),比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng),不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/E 要大于平面應(yīng)變

16、問題的系數(shù)(21/-E 。因此,平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大,故鋼圓環(huán)變形大?！?-7】在常體力,全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下,對(duì)于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量x ,y 和xy 均相同。試問其余的應(yīng)力,應(yīng)變和位移是否相同?【解答】(1應(yīng)力分量:兩類平面問題的應(yīng)力分量x ,y 和xy 均相同,但平面應(yīng)力問題0z yz xz =,而平面應(yīng)變問題的(0,xz yz z x y =+。(2應(yīng)變分量:已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程,而兩類平面問題的物理方程不相同,故應(yīng)變分量0,xz yz xy =相同,而,x y z 不相同。(3位移分量:由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解,故位移

17、分量對(duì)于兩類平面問題也不同。 【2-8】在圖2-16中,試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB 邊界上的xy,x y 之間的關(guān)系式【解答】由題可得:(cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB =-=將以上條件代入公式(2-15,得:(2cos sin 0, sin (cos 0(tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABAB+=+=-=xyOyxxy ng圖2-16BA【2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。xy2h 1h bgo(2h b >>

18、 h xyl/2/2h MN F SF 1q q圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件,若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式,大邊界上應(yīng)精確滿足公式(2-15?！窘獯稹繄D2-17:上(y =0左(x =0 右(x =b l 0 -1 1 m-1( x f s(1g y h +(1g y h -+( yfs1gh 代入公式(2-15得在主要邊界上x=0,x=b 上精確滿足應(yīng)力邊界條件:(100(,0;=-+=x xy x x g y h (1b b (,0;=-+=x xy x x g y h 在小邊界0y =上,能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件:(,0yxy y y

19、gh =-=在小邊界2y h =上,能精確滿足下列位移邊界條件:(220,0=y hy h u v這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理,改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替,當(dāng)板厚=1時(shí),可求得固定端約束反力分別為:10,0s N F F ghb M =-=由于2y h =為正面,故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào),則有:(222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx =-= 圖2-18上下主要邊界y=-h/2,y=h/2上,應(yīng)精確滿足公式(2-15lmx f (sy f (s2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2(y y h q =-,-/

20、2(0yx y h =,/2(0y y h =,/21(yx y h q =-在x =0的小邊界上,應(yīng)用圣維南原理,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反,有/20/2/20/2/20/2(h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M =-=-=-=-=-=- 在x=l 的小邊界上,可應(yīng)用位移邊界條件0,0=l x l x v u 這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先,求固定端約束反力,按面力正方向假設(shè)畫反力,如圖所示,列平衡方程求反力:110,xN NN N F F F q l F q l F ''

21、=+=- 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=+=-2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+-=-由于x=l 為正面,應(yīng)力分量與面力分量同號(hào),故/21/22/21/2/2/2(22(h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql F=-=-=-'=-'=-'=-M 'NF 'S F '【2-10】試應(yīng)用圣維南原理,列出圖2-

22、19所示的兩個(gè)問題中OA 邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,并比較兩者的面力是否是是靜力等效?【解答】由于h l ,OA 為小邊界,故其上可用圣維南原理,寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:(a上端面OA 面上面力q bx f f y x =,0 由于OA 面為負(fù)面,故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反,有(02120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx =-=-=-=-=-= =(對(duì)OA 中點(diǎn)取矩(b 應(yīng)用圣維南原理,負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反,面力主矢y 向?yàn)檎?

23、主矩為負(fù),則(00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx =-=-=-= 綜上所述,在小邊界OA 上,兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同,故這兩個(gè)問題是靜力等效的。【2-11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么? 【解答】(1在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式(2-18; (2在s 上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式(2-19; (3在u s 上的位移邊界條件式(2-14; 對(duì)于平面應(yīng)變問題,需將E 、作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí),位移分量必須滿足的條件。 【2-12】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是

24、否為正確解答的條件是什么? 【解答】(1在區(qū)域A 內(nèi)的平衡微分方程式(2-2;xyhob(,1h b >>=qAxyho /2b MA/2b NF 2N qbF =212qb M =(a (b 圖2-19(2在區(qū)域A 內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式(2-21或(2-22;(3在邊界上的應(yīng)力邊界條件式(2-15,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題; (4對(duì)于多連體,還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí),應(yīng)力分量必須滿足的條件。 【補(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么? 【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式(2-20【2-13】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)

25、力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么? 【解答】(1在區(qū)域A 內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式(2-25; (2在邊界S 上的應(yīng)力邊界條件式(2-15,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件; (3若為多連體,還需滿足位移單值條件。 【分析】此問題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。 【2-14】檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答:qqqqa baby x OxylO/2h /2h ql h?圖2-20 圖2-21(a 圖2-20,22x y q bs =,0=y xy 。【解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答,必須滿足:(1平衡微分方程(2-2;(2用應(yīng)力表示的相容方程(2-21;(3應(yīng)力邊界條件(2-15。

26、(1將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式,且0=x y f f0+=yx x x y 0+=y xyy x 顯然滿足 (2將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式(2-21,有等式左=(2222x y x y + =220qb =右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此,該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。(b 圖2-21,由材料力學(xué)公式,=x M y I ,*=s xy F S bI(取梁的厚度b=1,得出所示問題的解答:332=-x x y q lh ,22233-(44=-xy q x h y lh 。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出:333222=-y q xy xy q xq lh lh l。試導(dǎo)出上述公式,

27、并檢驗(yàn)解答的正確性。 【解答】(1推導(dǎo)公式在分布荷載作用下,梁發(fā)生彎曲形變,梁橫截面是寬度為1,高為h 的矩形,其對(duì)中性軸(Z 軸的慣性矩312=h I ,應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程(23(,62=-=-q qx M x x F x l l。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:(332=-x M x x yy q I lh(2222233431.424=-=- s xyF x y q x h y bh h lh 。 根據(jù)平衡微分方程第二式(體力不計(jì)。0+=y xy yx得: 333.22=-+y q xy xy q A lh lh 根據(jù)邊界條件(/20=yy h 得q .

28、2=-x A l-y q xy xy q x q lh lh l 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程(2-2 第一式:22336.60x y x yq q lh lh=-+=左右 滿足第二式 自然滿足 將應(yīng)力分量代入相容方程(2-23q q xy lh lh 應(yīng)力分量不滿足相容方程。故,該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15】試證明:在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上,正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值。 【解答】(1確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置 任意斜面上的切應(yīng)力為(21nlm =-,用關(guān)系式221l m +=消去m ,得(2224221212111/41/2n l l l l l=±-=&

29、#177;-=±-由上式可見當(dāng)2102l -=時(shí),即12l =±時(shí),n 為最大或最小,為 (12max min 2n -=±。因此,切應(yīng)力的最大,最小值發(fā)生在與x 軸及y 軸(即應(yīng)力主向成45°的斜面上。(2求最大,最小切應(yīng)力作用面上,正應(yīng)力n 的值 任一斜面上的正應(yīng)力為(2122n l =-+最大、最小切應(yīng)力作用面上2/1±=l ,帶入上式,得(122121122n =-+=+ 證畢?！?-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量,試求112,(100,50,1050; (2000,400;x y xy x y xy a b =-,(200010004

30、00; (1000,1500,500.x y xy x y xy c d =-=-=-=-=,【解答】由公式(2-6212222x y x y xy +-=±+ 及11tan x xy -=,得11arctan x xy -= (a(2212150=±+= 1150100arctan3516'1050-=(b (2=±+-= - (1512200arctanarctan 0.783757'400-=-=-(c (222-+-+=±+-= - (110522000arctanarctan 7.388232'400+=-=-(d 21

31、216911000arctanarctan 0.6183143'500-+=【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板,體力可以不計(jì),在全部邊界上(包括孔口邊界上受有均勻壓力q 。試證-x y q =s s 及0xy =能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件,也能滿足位移單值條件,因而就是正確的解答?！窘獯稹?1將應(yīng)力分量,0x y xy q =-=,和體力分量0x y f f =分別帶入平衡微分方程、相容方程00xyx x y xy yf xy f yx +=+= (a (20x y += (b 顯然滿足(a (b (2對(duì)于微小的三角板A ,dx ,dy 都為正值,斜邊上的方向余弦(

32、cos ,cos ,l n x m n y =,將-,0x y xy q =,代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式(2-15,且(-cos ,cos ,x y f q n x f q n y =,則有(cos ,cos ,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y =-=-所以,x y q q =-=-。對(duì)于單連體,上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。 (3對(duì)于多連體,應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。xyOxf yf qqAyx該題為平面應(yīng)力情況,首先,將應(yīng)力分量代入物理方程(2-12,得形變分量,(1(1,0x y xy q q E E-= (d 將(d 式中形變分量代入幾何方

33、程(2-8,得=,=,0u v v u q q x y x y+=(-1(-1E E (e 前兩式積分得到12-=(,=(u qx f y v qy f x +(1(1E E(f 其中(12,f y f x 分別任意的待定函數(shù),可以通過幾何方程的第三式求出,將式(f 代入式(e 的第三式,得12(df y df x dy dx -=等式左邊只是y 的函數(shù),而等式右邊只是x 的函數(shù)。因此,只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù),于是有12(,df y df x dy dx=-= 積分后得(1020,f y y u f x x v =-+=+ 代入式(f 得位移分量00(1(1u qx y u Ev qy x

34、 v E-=-+-=+ (g 其中00,u v 為表示剛體位移量的常數(shù),需由約束條件求得從式(g 可見,位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù),滿足位移單值條件。因而,應(yīng)力分量是正確的解答?！?-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁,在自由端受有集中荷載F (圖2-22,體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式,寫出彎應(yīng)力0y =,然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程,再說明這些表達(dá)式是否就表示正確的解答?！窘獯稹?1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形,任意橫截面上的彎矩方程(M x Fx =-,橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為 3/12z I h =,根據(jù)材料力學(xué)公式xylO/2h /2h F 1 彎應(yīng)力3(12x z M x Fy

35、xy I h=-; 該截面上的剪力為(s F x F =-,剪應(yīng)力為(*2233(/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h -=-+=- 取擠壓應(yīng)力0y =(2將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn) 第一式:2312120F Fy y h h=-+=左右 第二式:左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。(3將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程2(0x y =+=左右 滿足相容方程(4考察邊界條件在主要邊界/2y h =±上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式(2-

36、15,得(-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h =-=在次要邊界x=0上,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,代入應(yīng)力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2(0(06(4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h =-=-=-=-=-=向面力主矢面力主矩向面力主矢滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上,首先求出固定邊面力約束反力,按正方向假設(shè),即面力的主矢、主矩,0,N S F F F M Fl =-=-其次,將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式,判斷是否與面力主矢與主矩等效:MNF

37、SF/2/23/2/212(0h h x x l Nh h Fdy lydy F h =-=-=/2/223/2/212(h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h =-=-=-=2/2/223/2/26(4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h =-=-=-= 滿足應(yīng)力邊界條件,因此,它們是該問題的正確解答?！?-19】試證明,如果體力雖然不是常量,但卻是有勢(shì)的力,即體力分量可以表示為,x y V Vf f x y=-=-,其中V 是勢(shì)函數(shù),則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為22222=,=,x y xy V V y x x y+=-,試導(dǎo)出

38、相應(yīng)的相容方程。 【解答】(1將,x y f f 帶入平衡微分方程(2-200 00yx yx x x x y xy y xy yVf x y xy x V f y x yx y +=+-=+=+-= (a 將(a 式變換為(0(0yx x xy yV x y V y y -+=-+=(b 為了滿足式(b ,可以取22222,x y xy V V y x x y-=-=-即22222,x y xy V V y x x y=+=+=- (2對(duì)體力、應(yīng)力分量,x y x y f f 求偏導(dǎo)數(shù),得222222424222222422242422422222, , , y x xx yy f f V

39、Vx x y y V V xx y x y y y V V xx x y x y y =-=-=+=+=+=+ (c 將(c 式代入公式(2-21得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(2(1y x x y f f x y +=-+ (2-214242424222222424222222(1V V V VV V x y x y y x x x y y x y +=+ 整理得:444224224222(1V V x x y y xy +=-+ (d 即平面應(yīng)力問題中的相容方程為42(1V =-將(c 式代入公式(2-22或?qū)?d 式中的替換為1-,的平面應(yīng)變情況下的相容方程: 444224224

40、221221V Vx x y y x y-+=-+ -(e 即 42121V -=-。 證畢。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界(大邊界上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式(2-15,而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理,用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件(即主矢量、主矩的條件來代替?如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式(2-15,將會(huì)發(fā)生什么問題?【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題,而要使邊界條件完全得到滿足,往往比較困難。這時(shí),圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同,但靜力等效的面力(主矢、主矩均相同,只影響

41、近處的應(yīng)力分布,對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件(公式2-15,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布,會(huì)使問題的解答精度不足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中,除了一個(gè)小邊界條件,平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足,試證:在最后的這個(gè)小邊界上,三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的,固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件,應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件,即外力(面力與內(nèi)力(應(yīng)力的平衡條件。研究對(duì)象整體的外力是滿足平衡條件的,其它應(yīng)力邊界條件也都滿足,那么在最后的這個(gè)次要邊界上,三個(gè)積

42、分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m 個(gè)主要邊界和n 個(gè)小邊界,試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件,各有幾個(gè)條件?【解答】在m 個(gè)主要邊界上,每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件,公式(2-15,共2m 個(gè);在n 個(gè)次要邊界上,如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件,則有2n 個(gè);如果不能滿足公式(2-15的精確應(yīng)力邊界條件,則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件,共3n 個(gè)?！?-4】試考察應(yīng)力函數(shù)3ay =在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì)?【解答】相容條件:不論系數(shù)a 取何值,應(yīng)力函數(shù)3ay

43、 =總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程,式(2-25.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí),將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24,得6,0,0x y xy yx ay =xylOh圖3-8考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零,故上下邊界上無面力. 左右邊界上;當(dāng)a>0時(shí),考察x 分布情況,注意到0xy =,故y 向無面力 左端:0(6x x x f ay = (0y h (0y x y x f =右端:(6x x x l f ay = (0y h (0y x y x lf = 應(yīng)力分布如圖所示,當(dāng)l h ?時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力,等效為主矢,主矩xyOxf xf主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下,可

44、解決各種偏心拉伸問題。 偏心距e :因?yàn)樵贏 點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b ,集中荷載p 的偏心距e :2(0/6/6x A p pee h bh bh =-= 同理可知,當(dāng)a <0時(shí),可以解決偏心壓縮問題。 【3-5】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為:2,ax y =2,bxy =3,cxy =試求出應(yīng)力分量(不計(jì)體力,畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布,并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹?1由應(yīng)力函數(shù)2ax y =,得應(yīng)力分量表達(dá)式0,2,2x y xy yx ay ax =-考察邊界條件,由公式(2-15(x yx s x y xy s y l m f s m l f s +

45、=+=主要邊界,上邊界2hy =-上,面力為(22=-=x hf y ax (2y h f y ah =-=主要邊界,下邊界2hy =,面力為ePPexylO/2h 圖3-9/2h (l h ?A(2,2x h f y ax =- (2y hf y ah =次要邊界,左邊界x=0上,面力的主矢,主矩為 x 向主矢:/20/2(0h x x x h F dy =-=-=y 向主矢:/20/2(0h y xy x h F dy =-=-=主矩:/20/2(0h x x h M ydy =-=-=次要邊界,右邊界x=l 上,面力的主矢,主矩為 x 向主矢:/2/2(0h x x x l h F dy

46、 =-'=y 向主矢:/2/2/2/2(22h h y xy x l h h F dy al dy alh =-'=-=-主矩:/2/2(0h x x l h M ydy =-=彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢,主矩如圖所示 2bxy =將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24,得應(yīng)力分量表達(dá)式2x bx =,0y =,2xy yx by =-考察應(yīng)力邊界條件,主要邊界,由公式(2-15得 在2h y =-主要邊界,上邊界上,面力為,022x y h h f y bh f y =-=-= 在2h y =,下邊界上,面力為,022x y h h f y bh f y =-= 在次

47、要邊界上,分布面力可按(2-15計(jì)算,面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件求得:在左邊界x=0,面力分布為(00,02x y f x f x by = 面力的主矢、主矩為 x 向主矢:(2020h h x x x F dy =-=-=y 向主矢:(22002220hh h h y xy x x F dy by dy =-=-=-=主矩;/20/2(0h x x h M ydy =-=-=在右邊界x=l 上,面力分布為al2ah Oxyyxxyah al2(2,2x y f x l bl f x l by =-面力的主矢、主矩為 x 向主矢:(/2/2/2/222h h x x x lh h

48、F dy bldy blh =-'=y 向主矢:(/2/2/2/2'20h h y xy x l h h F dy by dy =-=-=主矩:(/2/2/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy =-=彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示ahOyxyal2xahxy(33cxy =將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24,得應(yīng)力分量表達(dá)式26,0,3x y xy yx cxy cy =-考察應(yīng)力邊界條件,在主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15 2hy =-上邊界上,面力為 23,0242x y h h f y ch f y =-=-= hy=2下邊界上,面力為 23,0242x y h h f y ch f y =-= 次要邊界上,分布面力可按(2-15計(jì)算,面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得: 左邊界x=0上,面力分布為(2/20/2/2/223/2/2h/20-h/200,03x 0134x y h x x x h h h y xy x h h x x f x f x cy F dy y F dy