高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版第八章習(xí)題ppt課件

1、1 1、區(qū)域、區(qū)域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP距距離離小小于于 的的點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的全全體體，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1鄰域鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域（2區(qū)域區(qū)域（3聚點(diǎn)聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱

2、稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn).（4n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為為取取定定的的一一個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)，我我們們稱稱n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間，而而每每個(gè)個(gè)n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱稱為為n維維空空間間中中的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，數(shù)數(shù)ix稱稱為為該該點(diǎn)點(diǎn)的的第第i個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo).2 2、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)概念定義定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D),(000yxP是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對于

3、任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在正 數(shù)正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱A為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. .3 3、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限說明：說明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfy

4、yxx（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似4 4、極限的運(yùn)算、極限的運(yùn)算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)5 5、多元函數(shù)的連續(xù)性、多元函數(shù)的連續(xù)性定定義義 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)集集0, PD是是其其聚聚點(diǎn)點(diǎn)且且DP 0， 如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱 n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處連連續(xù)續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不

5、不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介上取得介于這兩值之間的任何值至少一次于這兩值之間的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理6 6、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)

6、內(nèi)有有定定義義，當(dāng)當(dāng)y固固定定在在0y而而x在在0 x處處有有增增量量x 時(shí)時(shí)，相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ，如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為7 7、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對對y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記記為為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00y

7、yxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2

8、yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的全全增增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示為為)( oyBxAz ，其其中中 A,B不不依依賴賴于于yx ,而而僅僅與與yx,有有關(guān)關(guān)，22)()(yx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分，yBxA 稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的全全微微分分，記

9、記為為dz，即即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在沿任意方向的方向?qū)?shù)存在1010、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公

10、式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).dtdz1111、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間的函數(shù)或中間變量變量 的函數(shù)，它的全微分形式是的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能

11、唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1212、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

12、的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理 3 3 設(shè)設(shè)),(vuyxF、),(vuyxG在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有對對各各個(gè)個(gè)變變量量的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所組組成成的的函函數(shù)數(shù)行行列列式式（或或稱稱雅雅可可比比式式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP不等于零，

13、則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 1

14、313、微分法在幾何上的應(yīng)用、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx ()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線. 0),(: zyxF 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 1414、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù).)

15、,(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)在在，時(shí)時(shí)，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當(dāng)當(dāng)之之比比值值，兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其其中中222)()()(zyx ）),(yxfz ),(yxPcoscosyfxflf定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向L L的方向?qū)?/p>

16、數(shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有是可微分的，是可微分的，的方向余弦。是，其中l(wèi)coscos定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念 函函數(shù)數(shù)在在某某點(diǎn)點(diǎn)的的梯梯度度是是這這樣樣一一個(gè)個(gè)向向量量，它它的的方方向向與與取取得得最最大大方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的方方向向一一致致,而而它它的的模模為為方

17、方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大值值梯梯度度的的模模為為 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系1515、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)

18、稱稱為為極極值值.使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為極極值值點(diǎn)點(diǎn).定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為多元函定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為多元函數(shù)的駐點(diǎn)數(shù)的駐點(diǎn). .定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連

19、連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)有極值，時(shí)有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值. .求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),(

20、 yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對對于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能

21、能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).條件極值：對自變量有附加條件的極值條件極值：對自變量有附加條件的極值典型例題典型例題1、求極限yxyxyx00lim法一法一 原式原式011100 xyyxlim法二法二 令令,xky 那么, 原式010kkxxlim法三法三 令令,sin,cos ryrx那么00 sincossincoslimrr實(shí)際上若令xxy2那么 原式12230 xxxxlim 所以極限不存在！所以極限不存在！前面三法均不正確,時(shí)，下列算法是否正確?原式不存在。不存在。、證明、證明yyxx002limyyxx00lim:證證明明xyyxelnlim00 xkyln取取xyxkyxeln

22、lnlim0 xxkxelnlnlim0ke.lim不不存存在在yyxx0023222222003)(sinlimyxyxyxyx、30 sinlim2031 coslim6160 sinlim解解.)(lim22004yxxxyyx、求求極極限限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價(jià)于等價(jià)于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故14215232yeyxyxyxfxxyarctan)()(),(、),( 21xf求求),( 21yf:解解),( 21xf12xxf ),(12

23、02xxx122222xxxxx)ln(44ln),( 21yf1122yyyyf)( ),(,xzyzyxu 、6.),(121du求求:解解112112xdxxduxu),(),(442112xxxx )(212111ydyyduyu),(),(12yy)(112121zdzzduzu),(),(4221ln)(zzzdzdydxdu)ln(),(4241210002222232222yxyxyxyxyxf,)(),(7 7、證明、證明: :提示提示: : 利用利用 ,222yxyx212241)(),(yxyxf),(),(lim00000fyxfyx在在 (0,0) (0,0) 連續(xù)連

24、續(xù)f(0,0)(0,0)0 xyff知知在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , , 但不可微但不可微 . .由偏導(dǎo)數(shù)定義：由偏導(dǎo)數(shù)定義：7、0002222232222yxyxyxyxyxf,)(),(證明：證明： 在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微但不可微 .),(yxf而),(00f當(dāng)00yx，時(shí),2200)()(),(yxf22222)()( )()(yxyx0 f 在點(diǎn)(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx8 8、解解.,)(),(yxzyzyzfxyxyfxz2223求求，具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)

25、導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx . 922222xuatuatxatx 化簡方程化簡方程，利用變量代換利用變量代換 解解 tututu uaua 22tu)(222tutua)(222tutua 222222222uauaua22222222 uuuxu類類似似地地，042222222 uaxuatu由由02 u

26、得得 22tu222222222 uauaua22222222 uuuxu1010、 設(shè)設(shè)其中其中 f f 與與F F 分別分別,),(,)(0zyxFyxfxz解法解法1. 1. 方程兩邊對方程兩邊對 x x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得xdzd)(023FFfxxdzd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), , 求求fxfxdzdxdydfx132FxdzdFxdydFf fx)(xdyd1.xdzdxdydF203xdzdF解法解法2.2.0),(, )(zyxFyxfxzxdzd, , 求求方程兩邊求微分方程

27、兩邊求微分, ,得得化簡化簡消去消去 即可得即可得ydxdzdydF203zdFydfx0 zd)(ydxdfxxdfzd 0321zdFydFxdFxdfxf)(xdF111.設(shè)),(zyxfu 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 且且,sintxz2, )ln(yxt求.,yxuxu2解:uzyxtxyxxu1f( 3ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2)cossin2(231yxtxtxff 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin(yxtxtx22 3fyxtx12 cos22 )(yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx

28、 1解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu,cosxdxdy 顯顯然然,dxdz求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 1212、., 0),(,sin, 0),(),(2d xd uzfxyzexzyxfuy求且，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故解解?,),(0000222222模模此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，問問的的向向徑徑處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)求求

29、cbarzyxMczbyaxu 1313、 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 處處的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為在在點(diǎn)點(diǎn) M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 處的梯度為在點(diǎn) MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)cba ,22222000zyxagraduM ,2)(220202220202

30、2222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的相相等等時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)cba極大值，但無極小值。極大值，但無極小值。有無窮多個(gè)有無窮多個(gè)、證明函數(shù)、證明函數(shù)yyyexezcos)(114:證明證明0101yyyxeyxzxez)(cossin)(令令21202ynxynx )(,和和解解得得xezyxxcos)( 1xezyxysinyyyeyxz)(cos2處處在在)0 ,2( n02020122ABAC，且且)(2,0n （）202),( nz極極大大值值為為處處在在)2,)12( n，010142222eeeeBAC)(21)2-n（，）.故函數(shù)無極小值故函數(shù)無極小值是極大值點(diǎn)不是極值點(diǎn)之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz1515、解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最最小小即即且且使使?jié)M滿足足，使使得得本本題題變變?yōu)闉榍笄笠灰稽c(diǎn)點(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)