數(shù)值分析習題與答案(共32頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 緒論習題一1.設x>0,x*的相對誤差為，求f(x)=ln x的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相對誤差滿足，而，故即2.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對誤差限。解：直接根據(jù)定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對誤差限有2位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，3.下列公式如何才比較準確？（1）（2）解：要使計算較準確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應變換所給公式。（1）（2）4.近似數(shù)x*=0.0310,是 3 位有數(shù)數(shù)字。

2、5.計算取，利用 ： 式計算誤差最小。四個選項：第二、三章 插值與函數(shù)逼近習題二、三1. 給定的數(shù)值表用線性插值與二次插值計算ln0.54的近似值并估計誤差限.解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并應用誤差估計（5.8）。線性插值時，用0.5及0.6兩點，用Newton插值誤差限，因，故二次插值時，用0.5，0.6，0.7三點，作二次Newton插值誤差限，故2. 在-4x4上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數(shù)表的步長h應取多少?解：用誤差估計式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差與導數(shù)關系于是4. 若互異，求的值，這

3、里pn+1.解：，由均差對稱性可知當有而當Pn1時于是得5. 求證.解：解：只要按差分定義直接展開得6. 已知的函數(shù)表求出三次Newton均差插值多項式，計算f(0.23)的近似值并用均差的余項表達式估計誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構造均差表由式(5.14)當n=3時得Newton均差插值多項式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余項表達式(5.15)可得由于7. 給定f(x)=cosx的函數(shù)表用Newton等距插值公式計算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估

4、計誤差解：先構造差分表計算，用n=4得Newton前插公式誤差估計由公式（5.17）得其中計算時用Newton后插公式（5.18)誤差估計由公式（5.19）得這里仍為0.5658 求一個次數(shù)不高于四次的多項式p(x),使它滿足解：這種題目可以有很多方法去做，但應以簡單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A ，于是9. 令稱為第二類Chebyshev多項式，試求的表達式，并證明是-1,1上帶權的正交多項式序列。解：因10. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計算均方誤差.解：本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程

5、為解得最小二乘擬合曲線為均方程為11. 填空題(1) 滿足條件的插值多項式p(x)=().(2) ,則f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3) 設為互異節(jié)點，為對應的四次插值基函數(shù)，則()，().(4) 設是區(qū)間0,1上權函數(shù)為(x)=x的最高項系數(shù)為1的正交多項式序列，其中，則()，()答：（1）（2）（3）（4）第4章數(shù) 值 積 分與數(shù)值微分習題41. 分別用復合梯形公式及復合Simpson公式計算下列積分.解本題只要根據(jù)復合梯形公式（6.11）及復合Simpson公式（6.13）直接計算即可。對，取n=8,在分點處計算f(x)的值構造函數(shù)表。按式（6.11）求出，按式（

6、6.13）求得，積分2. 用Simpson公式求積分，并估計誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估計誤差，因，故3. 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.(1) (2) (3) 解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。（1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對不準確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對故求積公式具有2次代數(shù)精確度。4. 計算積分，若用復合Simpson

7、公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復合梯形公式達到同樣精確度，區(qū)間應分為多少等分?解：由Simpson公式余項及得即，取n=6，即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過對梯形公式同樣，由余項公式得即取n=255才更使復合梯形公式誤差不超過5. 用Romberg求積算法求積分，取解：本題只要對積分使用Romberg算法（6.20），計算到K3，結果如下表所示。于是積分，積分準確值為0.6 用三點Gauss-Legendre求積公式計算積分.解：本題直接應用三點Gauss公式計算即可。由于區(qū)間為，所以先做變換于是本題精確值7 用三點Gauss-Chebyshev求積公式計算積分解：本題直接用

8、Gauss-Chebyshev求積公式計算即于是，因n=2,即為三點公式，于是，即故8. 試確定常數(shù)A，B，C，及，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少.它是否為Gauss型的求積公式?解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定義確定參數(shù)滿足的方程，令對公式精確成立，得到由（2）（4）得A=C，這兩個方程不獨立。故可令，得（5）由（3）（5）解得，代入（1）得則有求積公式令公式精確成立，故求積公式具有5次代數(shù)精確度。三點求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。第五章 解線性方程組的直接法習題五1. 用Gauss消去法求解下列方程組.解本題是Gauss消去法解具體

9、方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。故2. 用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值解：先選列主元，2行與1行交換得消元3行與2行交換 消元 回代得解行列式得3. 用Doolittle分解法求的解.解：由矩陣乘法得再由求得由解得4. 下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?解：A中，若A能分解，一步分解后，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行與2行交換，則可分解為LU對B，顯然，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯一。5. 用追趕法解三對角方程組Ax=b，其中解：用解對三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和

10、（3.1.3）計算得6. 用平方根法解方程組解：用分解直接算得由及求得7. 設，證明解：即，另一方面故8 設計算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2范數(shù)解：故9 設為 上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明證明：根據(jù)矩陣算子定義和定義，得令，因P非奇異，故x與y為一對一，于是10. 求下面兩個方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計.，即，即解：記則的解，而的解故而由（3.12）的誤差估計得表明估計略大，是符合實際的。11.是非題（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：題目中（1）若A對稱正定,則是上的一種向量范數(shù) （ ）（2）定義是一種范數(shù)矩陣 （ ）（3）定義

11、是一種范數(shù)矩陣 （ ）（4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣 （ ）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（ ）（6）若A對稱正定,則A可分解為，其中L為對角元素為正的下三角陣 （ ）（7）對任何都有 （ ）（8）若A為正交矩陣，則（ ）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章解線性方程組的迭代法習題六1. 證明對于任意的矩陣A，序列收斂于零矩陣解：由于而故2. 方程組 (1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.(2) 寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以計算到為止解：因為具有嚴

12、格對角占優(yōu)，故J法與GS法均收斂。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法計算公式為取3. 設方程組 證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散解：Jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時收斂或同時發(fā)散。4. 下列兩個方程組Ax=b，若分別用J法及GS法求解，是否收斂?解：Jacobi法的迭代矩陣是即，故，J法收斂、GS法的迭代矩陣為故，解此方程組的GS法不收斂。5. 設，detA0，用,b表示解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充分必要

13、條件.解J法迭代矩陣為，故J法收斂的充要條件是。GS法迭代矩陣為由得GS法收斂得充要條件是6. 用SOR方法解方程組(分別取=1.03,=1,=1.1)精確解，要求當時迭代終止，并對每一個值確定迭代次數(shù)解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為取，當時，迭代5次達到要求若取，迭代6次得7. 對上題求出SOR迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速度，并求J法與GS法的漸近收斂速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩陣為，故，因A為對稱正定三對角陣，最優(yōu)松弛因子J法收斂速度由于，故若要求，于是迭代次數(shù)對于J法，取K15對于GS法，取K8對于SOR法，取K58. 填空題(1)要使應

14、滿足（）.(2) 已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法是否收斂（）.它的漸近收斂速度R(B)=（）.(3) 設方程組Ax=b,其中其J法的迭代矩陣是（）.GS法的迭代矩陣是（）.(4) 用GS法解方程組，其中a為實數(shù)，方法收斂的充要條件是a滿足（）.(5) 給定方程組,a為實數(shù).當a滿足（），且02時SOR迭代法收斂.答:(1)(2)J法是收斂的，(3)J法迭代矩陣是，GS法迭代矩陣(4)滿足(5)滿足第七章非線性方程求根習題七1. 用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05解使用二分法先要確定有根區(qū)間。本題f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故區(qū)間1,2為有根區(qū)

15、間。另一根在-1,0內(nèi)，故正根在1,2內(nèi)。用二分法計算各次迭代值如表。其誤差2. 求方程在=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) ,迭代公式.(3)，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似根解：（1）取區(qū)間且，在且，在中，則L<1，滿足收斂定理條件，故迭代收斂。（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。（3），在附近，故迭代法發(fā)散。在迭代（1）及（2）中，因為（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取，則3. 設方程的迭代法 (1) 證明對,均有,其中為方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使誤差不超過,并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收斂階是多少?證明你的結論解：（1）迭代函數(shù)，對有，（2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超過（3）故此迭代為線性收斂4. 給定函數(shù)，設對一切x,存在，而且.證明對的任意常數(shù),迭代法均收斂于方程的根解：由于，為單調(diào)增函數(shù)，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函數(shù)，。令，則，由遞推有，即5. 用Steffensen方法計算第2題中(2)、(3)的近似根，精確到解:在(2)中,令,則有令,得,與第2題中(2)