幾個(gè)分形的matlab實(shí)現(xiàn).

1、幾個(gè)分形的 matlab 實(shí)現(xiàn)摘要：給出幾個(gè)分形的實(shí)例，并用matlab 編程實(shí)現(xiàn)方便更好的理解分形，欣賞其帶來的數(shù)學(xué)美感關(guān)鍵字： Koch 曲線實(shí)驗(yàn)圖像一、問題描述：從一條直線段開始， 將線段中間的三分之一部分用一個(gè)等邊三角形的兩邊代替， 形成山丘形圖形如下圖 1在新的圖形中， 又將圖中每一直線段中間的三分之一部分都用一個(gè)等邊三角形的兩條邊代替，再次形成新的圖形如此迭代，形成Koch 分形曲線。二、算法分析：考慮由直線段（ 2個(gè)點(diǎn)）產(chǎn)生第一個(gè)圖形（5個(gè)點(diǎn)）的過程。圖1中，設(shè) P1 和 P5 分別為原始直線段的兩個(gè)端點(diǎn)， 現(xiàn)需要在直線段的中間依次插入三個(gè)點(diǎn)P2 ，P3 ，P4 。顯然 P2位于

2、線段三分之一處， P4 位于線段三分之二處，P3點(diǎn)的位置可看成是由 P4 點(diǎn)以 P2 點(diǎn)為軸心，0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 而得。旋轉(zhuǎn)由正交矩陣cos()sin()A33sin()cos()33實(shí)現(xiàn)。算法根據(jù)初始數(shù)據(jù)（ P1 和 P5 點(diǎn)的坐標(biāo)），產(chǎn)生圖1中 5個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)組形成一個(gè) 5 2 矩陣，矩陣的第一行為P1 的坐標(biāo)，第二行為 P2 的坐標(biāo) ，第五行為P5 的坐標(biāo)。矩陣的第一列元素分別為5個(gè)結(jié)點(diǎn)的 x 坐標(biāo)，第二列元素分別為 5個(gè)結(jié)點(diǎn)的 y 坐標(biāo)。進(jìn)一步考慮 Koch 曲線形成過程中結(jié)點(diǎn)數(shù)目的變化規(guī)律。設(shè)第k 次迭代產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)數(shù)為nk ，第 k 1次迭代產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)數(shù)為nk 1 ，

3、則 nk 和 nk1 中間的遞推關(guān)系為 nk 1 4nk3 。三、實(shí)驗(yàn)程序及注釋：p=0 0;10 0;%P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo), 第一列為 x坐標(biāo) , 第二列為 y坐標(biāo)n=2;%n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);%旋轉(zhuǎn)矩陣fork=1:4d=diff(p)/3;%diff 計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差, 得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量%則 d就計(jì)算出每個(gè)向量長度的三分之一, 與題中將線段三等分對(duì)應(yīng)m=4*n-3;%迭代公式q=p(1:n-1,:);%以原點(diǎn)為起點(diǎn), 前 n-1 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:);%迭

4、代后處于 4k+1 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo)p(2:4:m,:)=q+d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于4k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(3:4:m,:)=q+d+d*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于4k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(4:4:m,:)=q+2*d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于4k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)n=m;%迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目endplot(p(:,1),p(:,2)%繪出每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的連線axis(0 10 0 10)四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄：由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲線：圖 2五、注記：參照實(shí)驗(yàn)方法，可繪制如下生成元的Koch 分形曲線：圖 3此時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣為：cos(

5、)sin()01A2210sin()cos()22程序和曲線如下：p=0 0;10 0;%P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo), 第一列為 x 坐標(biāo) , 第二列為 y坐標(biāo)n=2;%n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A=0 -1;1 0;%旋轉(zhuǎn)矩陣for k=1:4d=diff(p)/3;%diff 計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差, 得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量%則 d就計(jì)算出每個(gè)向量長度的三分之一, 與題中將線段三等分對(duì)應(yīng)m=5*n-4;%迭代公式q=p(1:n-1,:);%以原點(diǎn)為起點(diǎn) , 前 n-1 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:);%迭代后處于5k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo)p(2:5:m,:)=q

6、+d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(3:5:m,:)=q+d+d*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+4位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(5:5:m,:)=q+2*d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)n=m;%迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目endplot(p(:,1),p(:,2)%繪出每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的連線axis(0 10 0 10)圖 4由于中間三分之一部分是一個(gè)正方形時(shí)，0.7 倍，即中間部分為一個(gè)長與寬之比為有很多連接的部分。所以我們將高度壓縮到原來的1:0.7 的矩形

7、時(shí)，得到程序和曲線如下：p=0 0;10 0;%P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo), 第一列為x 坐標(biāo) , 第二列為y坐標(biāo)n=2;%n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A=0 -1;1 0;%旋轉(zhuǎn)矩陣fork=1:4d=diff(p)/3;%diff計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差, 得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量%則 d就計(jì)算出每個(gè)向量長度的三分之一, 與題中將線段三等分對(duì)應(yīng)m=5*n-4;%迭代公式q=p(1:n-1,:);%以原點(diǎn)為起點(diǎn), 前 n-1 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:);%迭代后處于5k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo)p(2:5:m,:)=q+d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+2位置上的點(diǎn)的

8、坐標(biāo)p(3:5:m,:)=q+d+0.7*d*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+3 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(4:5:m,:)=q+2*d+0.7*d*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+4 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(5:5:m,:)=q+2*d;%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)n=m;%迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目endplot(p(:,1),p(:,2)axis(0 10 0 10)%繪出每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的連線圖參照實(shí)驗(yàn)方法，我們由四邊形的四個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，對(duì)于四邊形的每條邊，生成元如下：圖 6可得到火焰般的圖形。程序和曲線如下：p=0 10;10 0;0 -10;-10 0;0 10

9、;%P為四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo), 其中第五個(gè)點(diǎn)與第一個(gè)點(diǎn)重合%第一列為 x坐標(biāo) , 第二列為 y坐標(biāo)n=5;%n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A=cos(-pi/3) -sin(-pi/3);sin(-pi/3) cos(-pi/3);fork=1:5d=diff(p)/3;m=4*n-3;%迭代公式, 以便于繪圖%旋轉(zhuǎn)矩陣 , 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 度q=p(1:n-1,:);p(5:4:m,:)=p(2:n,:);p(2:4:m,:)=q+d;p(3:4:m,:)=q+2*d+d*A'p(4:4:m,:)=q+2*d;n=m;endplot(p(:,1),p(:,2)axis(-10 10 -10 10)圖 7

10、參照實(shí)驗(yàn)方法，由下列的生成元，繪制Koch 分形曲線：圖8分析：為了繪圖方便， 我們將結(jié)點(diǎn)數(shù)處理一下， 把第一次迭代產(chǎn)生的六個(gè)點(diǎn)看成十個(gè)點(diǎn)，即圖中有五條線段（，） ，我們將每條線段的每個(gè)端點(diǎn)看成新的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，這樣我們就可以很方便地用 plot 繪圖了。程序和曲線如下：p=0 0;10 10;%P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo), 第一列為 x 坐標(biāo) , 第二列為 y 坐標(biāo)n=2;%n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A=cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3);B=cos(-pi/3) -sin(-pi/3);sin(-pi/3) cos(-pi/3);%旋轉(zhuǎn)矩陣 A對(duì)應(yīng)于第一次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

11、度 , 旋轉(zhuǎn)矩陣 B對(duì)應(yīng)于第二次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度fork=1:4d=diff(p)/3;d1=d(1:2:n,:);%取每條線段對(duì)應(yīng)的向量m=5*n;%迭代公式q1=p(1:2:n-1,:);p(10:10:m,:)=p(2:2:n,:);p(1:10:m,:)=p(1:2:n,:);%迭代后處于10k 與 10k+1 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo)p(2:10:m,:)=q1+d1;%用向量方法計(jì)算迭代后處于10k+2,10k+3,10k+5位置上的點(diǎn)的坐標(biāo), 都相同p(3:10:m,:)=p(2:10:m,:);p(4:10:m,:)=q1+d1+d1*A'%用向量方法計(jì)算迭代后處于10k+4 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)p(5:10:m,:)=p(2:10:m,:);p(6:10:m,:)=q1+2*d1;%用向量方法計(jì)算迭代后處于10k+6,10k+7,10k+9位置上的點(diǎn)的坐標(biāo),