《數(shù)理金融理論與模型》習(xí)題解答

1、1.2.數(shù)理金融理論與模型習(xí)題解答第一章金融市場(chǎng)第一章練習(xí)題解答已知一家上市公司在下一年度分紅為2元/股，該公司業(yè)績(jī)年均增長(zhǎng)率為分配以同樣的增長(zhǎng)率增加，并且假設(shè)每年的貼現(xiàn)率都為 的股票內(nèi)在價(jià)值是多少？解答：IV5%，并且紅利10%，那么這家上市公司現(xiàn)在10% 5%40“200年記賬式（四期）國(guó)債”的基本信息，假設(shè)2010年3月19日觀察到的到4%,則問(wèn)這一天“2005年記賬式（四期）國(guó)債”的價(jià)值應(yīng)該是多債券名稱(chēng)2005年記賬式（四期）國(guó)債債券簡(jiǎn)稱(chēng)05國(guó)債(4)債券代碼010504發(fā)行額（億元）339.20發(fā)行價(jià)（元）100.00發(fā)行方式利率招標(biāo)期限（年）20.00發(fā)行票面利率（）4.11上市場(chǎng)

2、所上海證券交易所計(jì)息日2005-05-15到期日2025-05-15發(fā)行起始日2005-05-15發(fā)行截止日2005-05-19發(fā)行單位財(cái)政部還本付息方式半年付息到期收益率（）3.8903剩余期限（年）15.0795發(fā)行對(duì)象在證券登記公司開(kāi)立股票和基金賬戶(hù)，在國(guó)債登記公司開(kāi)立一級(jí)債券賬戶(hù)的各類(lèi)投資者。解答:14下表給出了期收益率曲線為水平直線 少？Dirty Price100*c0.0795rcn 0.0795r1 c15.0795100*4.11%0.07951 3.8903%144.11%104.11%Clea nPriceDirty Price100* c*(1n 0.0795n 1 1

3、 r0.0795)106.253.7815.0795106.25102.473.認(rèn)真體會(huì)為什 并仔細(xì)回顧本章中如何利用復(fù)制技術(shù)和無(wú)請(qǐng)簡(jiǎn)要敘述利用復(fù)制技術(shù)與無(wú)套利原理對(duì)金融衍生品定價(jià)的原理與步驟, 么由這個(gè)方法定出來(lái)的價(jià)格稱(chēng)為無(wú)套利價(jià)格。套利原理進(jìn)行衍生品定價(jià)，以及推導(dǎo)期權(quán)的價(jià)格性質(zhì)。 解答： 見(jiàn)第二節(jié)內(nèi)容K e r(T t)(即借款 K e r(T t);記兩個(gè)組合的價(jià)值函數(shù)分別為t和2，則顯然兩個(gè)組合在T時(shí)刻的價(jià)值為St K ,即T時(shí)刻的價(jià)值可以完全復(fù)制T T。由無(wú)套利原理可知對(duì)任意t T ，都有4. 請(qǐng)利用構(gòu)造股票和儲(chǔ)蓄存款組合復(fù)制遠(yuǎn)期合約的方式， 以及無(wú)套利原理證明股票遠(yuǎn)期的 定價(jià)公式，

4、 請(qǐng)分別就股票不支付紅利與支付紅利的情形構(gòu)造組合，并給出無(wú)套利定價(jià)公式。解答：Case 1：無(wú)紅利支付情形： 組合一 ：一個(gè)遠(yuǎn)期合約多頭； 組合二 ：一份不支付紅利的標(biāo)的股票多頭和存款即：ftStK e r(T t)由于簽訂遠(yuǎn)期合約不需要支付任何成本，當(dāng)時(shí)也沒(méi)有任何收入，所以這個(gè)合約在當(dāng)時(shí)的價(jià)值應(yīng)該等于零，也就是說(shuō)對(duì)于任意 t T ，都有 ftStK e r(Tt) 0 ，從而可以得到遠(yuǎn)期執(zhí)行價(jià)格的定價(jià)公式為：Kt S 仃 t)Case 2：支付連續(xù)紅利 q 情形：組合一 ：一個(gè)遠(yuǎn)期合約多頭；組合二：e q仃t)份支付紅利的標(biāo)的股票多頭和存款K e r(T t)(即借款K e r(T t);記

5、兩個(gè)組合的價(jià)值函數(shù)分別為t和2，則顯然組合一在T時(shí)刻的價(jià)值為ST K 。由于股息連續(xù)累計(jì)，t時(shí)刻的1份股票在T時(shí)刻的價(jià)值為eq(T t)ST，從而組合二在T時(shí)刻的價(jià)值為e q(T t)* eq(T t)SrKStK，即T時(shí)刻的價(jià)值可以完全復(fù)制TT2 。由無(wú)套利原理可知對(duì)任意 t T ，都有t2 ，即：fte q(T t)StK e r(T t)由于簽訂遠(yuǎn)期合約不需要支付任何成本， 當(dāng)時(shí)也沒(méi)有任何收入， 所以這個(gè)合約在當(dāng)時(shí)的價(jià)值應(yīng)該等于零，也就是說(shuō)對(duì)于任意 t T ，都有 ft e q(T t)StK e r(T t) 0，從而可以得到遠(yuǎn)期執(zhí)行價(jià)格的定價(jià)公式為：Kt Serq(Tt)5. 假設(shè)投

6、資者在 2010年 3月12日簽訂一份股票遠(yuǎn)期合約，合約的到期日為 2010年 9月12 日，標(biāo)的股票當(dāng)日價(jià)格為 5元每股，若一年期銀行存款利率為單利 3%，則這份合約 的執(zhí)行價(jià)格應(yīng)該是多少？若到 2010年 7月12日股票價(jià)格漲到了 6元，而一年期銀行存 款利率仍然為 3%，那么在這一天該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值是多少？解答：S0=5, r=3% ,T=0.5，從而這份遠(yuǎn)期合約的執(zhí)行2010年3月12 日: 對(duì)應(yīng)t=0，此時(shí)價(jià)格應(yīng)該是：KoS0 rT,0.03*0.55.07562St=6, r=3% ,T-t=5/12，從而次遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)2010年7月12日：對(duì)應(yīng)t=1/12，此時(shí)值為：ftS

7、tK e r(T t) 6 5.0756 e 0.03 5/120.98756.假設(shè)2010年6月17日的半年期與一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率分別為單利2.5%與3%,則這一天確定的3X6遠(yuǎn)期單利是多少？解答：以連續(xù)復(fù)利表示的兩個(gè)即期利率為：In 1 2.5% 3H3122.4922%In 1 3%2612_6_里 2.9777%則連續(xù)復(fù)利表示的3X6遠(yuǎn)期利率是:2.9777%r12-2.4922% -3.4632%612312則3X6遠(yuǎn)期單利是:e3.4632% T3,1R123123.4782%7.請(qǐng)利用復(fù)制技術(shù)和無(wú)套利原理證明歐式看漲期權(quán)與歐式看跌期權(quán)價(jià)格關(guān)于執(zhí)行價(jià)格分 別呈現(xiàn)單調(diào)遞減與單調(diào)遞增的關(guān)

8、系。解答：只證明看漲期權(quán)：不妨設(shè)K1K2組合一：一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為Ki看漲期權(quán)多頭Ct Ki ；組合二：一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K2看漲期權(quán)多頭Ct K2StK1TSt2K2。分一下三種情形:StK1, K2St Ki和St K2分別討論，均可得:即PT T從而2，即 Ct K1 Ct K28. H公司和L公司都需要從銀行B向兩家公司提供的貸款利率為:B借入期限為3年，本金為1000萬(wàn)人民幣的貸款，銀行固定利率浮動(dòng)利率H公司5.0%SHIBOR+0.2%L公司6.5%SHIBOR+0.7%H公司需要的是浮動(dòng)利率貸款，L公司需要的是固定利率貸款。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)利率互換,其中銀行B作為中介獲得的報(bào)酬是 0.1 %的

9、利差，而且要求雙方平分互換收益。 解答：SHIBOR+0.2%6.5 %H公司需要的是浮動(dòng)利率貸款，能夠獲得的浮動(dòng)利率是L公司需要的是固定利率貸款，能夠獲得的固定利率是總的利率是(SHIBOR+0.2%)+6.5 % =SHIBOR+6.7%如果兩公司利用各自的比較優(yōu)勢(shì)，能夠獲得的總利率是：(SHIBOR+0.7%)+5.0 % = SHIBOR+5.7%如果 H公司以固定利率借款，L1%的總利率。這個(gè)節(jié)省下來(lái)的成本0.45%的成本節(jié)省。因此，利率互換合約設(shè)計(jì)如下:公司以浮動(dòng)利率借款，然后二者進(jìn)0.1%留給銀行B,剩下的0.9%因此，利用比較優(yōu)勢(shì)， 行利率互換，可以節(jié)省 二者平分，即都獲得H公

10、司：以5.0%固定利率借款，并且向公司L支付SHIBOR的利率；L公司：以SHIBOR+0.7%浮動(dòng)利率借款，并且向公司H支付X%的利率；因此，對(duì)于公司H，有：5% x%SHIBORSHIBOR 0.2%0.45% 呼x%=5.3%對(duì)于公司L ,有:SHIBOR0.7% SHIBOR X% 6.5% 0.45% 葺%x%=5.3%其中，等式右邊：粉色：做利率互換之前本來(lái)應(yīng)該支付的紅色：做利率互換兩公司享受的收益藍(lán)色：做利率互換應(yīng)該交給銀行B的收益(總共1%,兩公司共同承擔(dān))9. H公司希望以固定利率借入美元，而L公司希望以固定利率借入歐元，而且本金用即9.6%期匯率計(jì)算價(jià)值很接近。市場(chǎng)對(duì)這兩個(gè)

11、公司的報(bào)價(jià)如下：歐元美元H公司5.0%9.6%L公司6.5%10.0%50個(gè)基點(diǎn)，而且要求互換雙方平分請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)貨幣互換，銀行作為中介獲得的報(bào)酬是 互換收益，匯率風(fēng)險(xiǎn)由銀行承擔(dān)。解答：H公司需要的是以固定利率借入美元，能夠獲得的固定利率是L公司需要的是以固定利率借入歐元，能夠獲得的固定利率是6.5%由于二者的本金在同一貨幣表示下相等，因此兩公司能夠獲得的總利率是：9.6%+6.5 % =16.1%如果兩公司利用各自的比較優(yōu)勢(shì)，能夠獲得的總利率是：10%+5.0 % =15%因此，利用比較優(yōu)勢(shì)，如果H公司以固定利率借入歐元，L公司以固定利率借入美元，然后二者進(jìn)行貨幣互換，可以節(jié)省1.1%的總利率

12、。這個(gè)節(jié)省下來(lái)的成本0.5%留給銀行，剩下的0.6%二者平分，即都獲得 0.3%的成本節(jié)省。由于匯率風(fēng)險(xiǎn)不需要這兩家公司承擔(dān)，從而 進(jìn)行貨幣互換之后 H公司支付 因此，貨幣互換合約設(shè)計(jì)如下：H公司：以5.0%固定利率借入歐元，L公司：以10%固定利率借入美元，并且，9.3%的美元利率，L公司支付6.2%歐元利率。期初向L公司以歐元本金換取等值美元,期初向L公司以美元本金換取等值歐元, H公司，L公司和銀行(中介)之間作如下互換：期末再換回本金;期末再換回本金;& 1Z注意：率風(fēng)向。銀行作為中介，賺取了 元利率，這0.5%的收益包含這匯率風(fēng)險(xiǎn)。10.請(qǐng)比較CDS與CSO合約的不同，并且指

13、出兩種合約在對(duì)沖違約風(fēng)險(xiǎn)與利差風(fēng)險(xiǎn)方面各自的優(yōu)勢(shì)。解答：信用違約互換 CDS的標(biāo)的是違約事件(Credit Events),只要規(guī)定的違約事件發(fā)生， CDS 合約的賠付機(jī)制就啟動(dòng)，同時(shí)合約終止。而信用利差期權(quán)CSO的標(biāo)的是信用利差(Credit Spread),當(dāng)?shù)狡谌諛?biāo)的利差達(dá)到執(zhí)行利差時(shí)，就會(huì)有相應(yīng)的支付。因此，CDS保護(hù)的是違約事件所造成的風(fēng)險(xiǎn)，而CSO保護(hù)的是信用利差變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)。11.見(jiàn)下圖：H設(shè)船原右屯1鼻的”：卒勺IJ桌現(xiàn)價(jià)先HilliiM. -Jt 'I. 一 i Hii 11 ；| IJI 'I' X'J i;|i2解答：1）直接可證;12.D1

14、2）直接可證;M < . ! f 丨、.Ji -你 IH汀t輛內(nèi)麗恩堆心率罰為再也門(mén)辛帝巧-1；"：）取；r JP-H叮見(jiàn)下圖:解答:i 1foi 113.見(jiàn)下圖:0 «&>4 A彎前曲幕價(jià)格為2.抒肌t 一和U聳尙闊臥IJ.人1.丨；.應(yīng)鼠5犧K間GGM ft咅的股總?cè)餕 為荽少過(guò)好fl -家公I(xiàn)ij /叮處旳A的 .從囲家公誨的腔見(jiàn)博氏*刊認(rèn)為相同"若公國(guó)廿L 年堪卸股息為r WQWWgteJft乳率為>莒何公司卅的當(dāng)前Ktfr應(yīng)諫爰參少？解答： 公司A :Po=24.25,Do=1.1, r=8.5%，從而由FO-rDi1 g Do

15、可以解得r gForgFoDoDo24.25 8.5% 1.124.25 1.13.8%公司B:g=3.8% , D0=2,r=8.5%,從而由PoD1g Do可以解得r gD1FOr gg Do1 3.8%8.5%3.8%44.17 兀朋又第二章效用理論1.參考書(shū)本相關(guān)內(nèi)容。2. b)令 a = infax + (1- a)z 3 y,a ?0,1), s = a x + (1- a )z。如果 s > y，根據(jù)性質(zhì)a),存在一個(gè)s和y組成的復(fù)合隨機(jī)計(jì)劃嚴(yán)格優(yōu)于y。這與a的定義矛盾。類(lèi)似的，當(dāng)y>s時(shí)，存在一個(gè)y和s的復(fù)合隨機(jī)計(jì)劃嚴(yán)格優(yōu)于y，也即存在a> a*使得y >

16、; a + (1-apy。這也與a的定義矛盾。因此 s yc) ap + (1-a)r > aq+(1-a)r > aq + (1-a)sd)女0 果 ax+(1- a)y> x ,貝U 因?yàn)?x y , 有 ax+(1- a)y > y 。 則ax+(1- a)y > ax+(1- a)y，矛盾。類(lèi)似的同樣能證明x> ax+(1- a)y也會(huì)導(dǎo)致矛盾。因此 xax+(1- a)y。e)如果 z y，則 ax+(1- a)zx, ay + (1- a)y y, ax+(1- a)z3 x3 y 3 ay+(1- a)z。類(lèi)似的，可以證明ay+(1- a)z3

17、ax+(1- a)z。如果 z> y，貝y my+(1- m)z> y," m?(0,1。此外，my+(1- m)z> x，因?yàn)榉駝t會(huì)有 y 3x3 my+ (1- m)z 從而導(dǎo)致矛盾。假設(shè) ax+(1- a)z>ay + (1- a)z ,a(my+(1- m)z) + (1- a)z>ax + (1- a)z>ay + (1- a)z , 存在 m £1* *a(m y+ (1- m )z) + (1- a)z> ay+(1- a)z。由于 z>y,這與性質(zhì) a)矛盾。如果y> z，類(lèi)似地可以證明。3.假設(shè)字典序關(guān)

18、系3存在效用函數(shù)表示，即(x1,x2)3(y1,y2)當(dāng)H(x1,x2)3 H(y1,y2) °任取實(shí)數(shù)0 £pvq £1 ,考慮如下四個(gè)選擇集中的元素(p,0),(p,1),(q,0),(q,1)。根據(jù)字典序關(guān)系的定義，有(P,0)<(P,1)v(q,0) v(q,1),且H(p,O)vH(p,1)vH(q,0)vH(q,1)。定義開(kāi)區(qū)間 1(p)=(H(p,O),H(p,1),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)0 £ P < q £1,1( p)? I(q)二？,因此實(shí)軸包含不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間。但同時(shí)，由于有理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性可知，每

19、個(gè)1( P)中都存在有理數(shù)Qp,且Qp 1 Qq," P 1 q。這與有理數(shù)的可數(shù)性矛盾。4. 沒(méi)有完全解決。例如對(duì)于 von Neumann -Morgenstern效用函數(shù)U(X)= log10(x)，對(duì)于隨機(jī)計(jì)劃X, s.t.P(x=102) = 2"n,n? +,，即圣彼得堡形式的悖論仍然存在。5.如果投資者選擇前者，體現(xiàn)出他風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特征。6.期望效用遇到的挑戰(zhàn)可參見(jiàn)第二節(jié)。7.ui0) = -bx+1, Ui(X) = - b, rA> 0， RR,1- bx1- bx理=亠>0dx (1- bx)2dRRb c 1=2 >0, XV-dx (

20、1- bx)2bdx譏X)#,側(cè)=吁，RAW，rR = 1,空= -7<o, r=0根據(jù)定理2.3.2和定理2.3.3 ,效用函數(shù)Ul反映了當(dāng)初始財(cái)富增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)投資量與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)占比均下降的投資決策特征，而效用函數(shù)U2反映了當(dāng)初始財(cái)富增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)投資量增加，并且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資占比不變的投資決策特征。8.對(duì)于廣義幕效用函數(shù) U ,u (x) = -(A+Bx)-1/B, u 如(A+Bx)"1, ra = 77bX, rR = dRA - BdR,=<0, 4 = >0dx(A+ Bx)dx(A+ Bx)根據(jù)定理2.3.2和定理2.3.3，廣義幕效用

21、函數(shù)反映了當(dāng)初始財(cái)富增加時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)投 資量增加，但風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資占比下降的投資決策特征。9.只需計(jì)算G(u)對(duì)應(yīng)的Arrow-Pratt絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù) R；。2dG(u)力、dG(u)十，GauX?屮=au (X),2= au Qx)，所以 Ra = - = Radxdxau 0)10.利用二階隨機(jī)占優(yōu)來(lái)考察風(fēng)險(xiǎn)厭惡個(gè)體的偏好。3印=O.W4 = EFFA(r) = 0* lr<0.4+0.4*I 0.4 £<0.6 +0.8* I 0.6 £r<0.7 + 1* I r30.7FB(r)=0* Ir<0.2+0.2*I 0.2 £

22、-<0.3 + O.4* I 0.3 £<0.7 +0.8* I 0.7 £r<0.8 + 1* Ir30.8x由于 bFJr)- FB(r)dr£0," X?0,1,故A二階隨機(jī)占優(yōu)于B，風(fēng)險(xiǎn)厭惡個(gè)體更偏好11.二階單調(diào)隨機(jī)占優(yōu)等價(jià)條件敘述見(jiàn)定理2.4.3。定理證明思路同二階隨機(jī)占優(yōu)定理證明，其中需要進(jìn)行幾處小的改動(dòng)。1)=>3)1由于 法A(r)- FB(r)dr £0 ,根據(jù)定理2.4.2后的討論不難得到區(qū)乙>呀即。因此5(!)=訂 <0。所以3)=>1)假設(shè)存在x0 ? (0,1)使得S(x0)

23、 > 0,由于S(x)的連續(xù)性，存在d > 0使得S(x)>0, "x?(Xo-d,X0+d) 1(0,1)。類(lèi)似定理242證明，取u(x)滿(mǎn)足u0 0,u(2)=0,uCx)： £0且x:uQx)v0 1 (x0 - d +1,>0 +d +1)便可得到-i/(2)S(】)+J(口屮(十工)必=J何與3)矛盾。2)=>3)用l + DI訶w叫申D"-屮二叫心吃-陀巴)十叮3) =>2)略。12.數(shù)學(xué)意義參見(jiàn)書(shū)中各隨機(jī)占優(yōu)的定義。經(jīng)濟(jì)學(xué)意義:A 一階隨機(jī)占優(yōu)于 B A二階隨機(jī)占優(yōu)于 BA二階單調(diào)隨機(jī)占優(yōu)于 A三階隨機(jī)占優(yōu)于I 來(lái)

24、，A優(yōu)于B。，在所有偏好多而厭惡少的個(gè)體看來(lái)，A優(yōu)于B ；，在所有風(fēng)險(xiǎn)厭惡的個(gè)體看來(lái)，A優(yōu)于B;:B在所有偏好多而厭惡少、且風(fēng)險(xiǎn)厭惡的個(gè)體看來(lái)，A優(yōu)于B ;B在所有偏好多而厭惡少、風(fēng)險(xiǎn)厭惡且絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減的個(gè)體看第三章資產(chǎn)組合理論第三章練習(xí)題解答5期的價(jià)格數(shù)據(jù)以及期末分紅數(shù)據(jù)如下：并根據(jù)這些收益率數(shù)據(jù)計(jì)算兩只股票的期望收1.已知兩只股票在1）、分別求出兩只股票在各期的收益率， 益率與方差，以及收益率相關(guān)系數(shù)；2） 、若投資者在兩只股票上的投資比重分別為30%和70%，求這個(gè)投資組合在各期的 收益率，并根據(jù)這些收益率數(shù)據(jù)計(jì)算該組合的期望收益率與方差。時(shí)間股票1價(jià)格股票2價(jià)格股票1期末分紅股票2

25、期末分紅04.569.4214.2210.440.200.4524.7810.970.320.5735.6311.980.430.6145.0111.840.190.3355.9512.580.400.45解答:1）、記股票1,2在k時(shí)間的股價(jià)為Pk，21,2 51，則:收益率為：（,2P1,2Pl?2Pk1'21,., 5期望收益率為:1,2收益率方差為:1221 51k1rk1,221,2收益率相關(guān)系數(shù)為:15rk14 k 11rk222）、組合P在股票1、2上面的權(quán)重為 wi0.3，W20.7，記該組合的到期收益率為%，即 W1 % W2%,從而組合的期望收益率與方差為:組合期望

26、收益率:E %W1 E % W2 E r% W11 W222組合收益方差：2 %WiWjCov %i,j 1y，即這樣的y使得:rk2.根據(jù)練習(xí)題1的股票價(jià)格數(shù)據(jù)與分紅數(shù)據(jù)：1）、分別求出兩只股票在 5期內(nèi)的離散復(fù)合收益率551 y1k 1再求出這兩只股票在 5期內(nèi)的連續(xù)復(fù)合收益率r，即這樣的r使得:1rk12）、若投資者在兩只股票上的投資比重分別為 的離散復(fù)合收益率和連續(xù)復(fù)合收益率。解答：30%和70%，求這個(gè)投資組合在 5期內(nèi)1）、對(duì)于股票1、2收益率1已經(jīng)由第題計(jì)算得到，則discrete yield y可以由下式表示:2）、對(duì)于股票y1,21、2收益率rk1,2rk1,2已經(jīng)由第，對(duì)于

27、股票1,2題計(jì)算得到，則continuous yield r可以由下式表示:1r1,2- In551rk1,2k 1，對(duì)于股票1,23.根據(jù)練習(xí)題1組合序號(hào)1234567891011股票1-50%-30%-10%10%30%50%70%90%110%130%150%股票2150%130%110%90%70%50%30%10%-10%-30%-50%解答:的股票價(jià)格數(shù)據(jù)與分紅數(shù)據(jù)，以及練習(xí)題1計(jì)算出來(lái)的收益率數(shù)據(jù)，變換 投資組合在兩只股票上的投資比重，再計(jì)算組合的期望收益率和方差，并且將這一組期望收益率與方差畫(huà)成圖像，觀察組合期望收益率與方差之間的變換關(guān)系。其中各個(gè)組合的投資比重如下：組合P在股

28、票1、2上面的權(quán)重為 W1和W2 1 W1，兩個(gè)權(quán)重變化如上表， 記該組合的到期收益率為%，即% W, % W2 %,從而組合的期望收益率與方差為:（W1的單組合期望收益率：E % W1 E % W2 E %2W, 12調(diào)函數(shù)）2（W1的函數(shù)）組合收益方差：顯然最小值點(diǎn)就是 W W-1 W2 2 %WiWjCov %i,j 1每給定一個(gè)W1可以計(jì)算一個(gè)E %和一個(gè) 2 %，并可以相應(yīng)畫(huà)出期望-方差圖。4.有兩個(gè)收益率分別為晦口 的證券，假設(shè)這兩個(gè)證券具有相同的期望收益率和方差,且和%的相關(guān)系數(shù)是。試證明由這兩個(gè)證券構(gòu)成的資產(chǎn)組合達(dá)到方差最小當(dāng)且僅當(dāng)二者的投資權(quán)重相同, 解答：并且這個(gè)最優(yōu)投資組

29、合與獨(dú)立。不妨改記兩只股票為1 和12，組合P在股票1、2上面的權(quán)重為組合的到期收益率為%，即 W1 %W2 %，滿(mǎn)足12首先，該組合能夠獲得1的期望收益率只能是其次，該組合方差為2 %W 12 W2212w1W2 1 222 W21 W2W 1 W記W W12 2 2W222 W 12 2 2W2W1Wi 和 W21Wi，記該E %0.152 %0.102E %0.202 % 0.202若資產(chǎn)組合在這兩個(gè)資產(chǎn)上的投資權(quán)重均為50%，計(jì)算當(dāng)兩資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)分別為1,20.40 與1,20.60時(shí)組合的期望收益率與方差，并且將這兩組期望收益率和方差畫(huà)在 2 %E %平面上，再根據(jù)圖像解釋相關(guān)系數(shù)對(duì)

30、組合投資的作用。解答:E %wi EW2 E %0.175對(duì)于 1,20.40 :對(duì)于 1,20.60:2 % W 12 W2 12 2w1W2 1 20.01652 % W12 2 w2 2 2W1W2 1 20.00652 %隨著1,2遞增6.自融資組合是期初投資權(quán)重之和為零的資產(chǎn)組合”，但是自融資組合并不是一個(gè)免費(fèi)的1,20.40，午餐，零期初投入并不代表零風(fēng)險(xiǎn)和零收益，雖然組合可以有正的期望收益率，但是也 有相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。為了理解自融資組合的含義，考慮兩個(gè)資產(chǎn)，相關(guān)系數(shù)為它們的期望收益率與方差分別為:E %0.20% 0.102E %0.35%0.202組合序號(hào)12345678910資產(chǎn)

31、1-10%-20%-30%-40%-50%-60%-70%-80%-90%-100%資產(chǎn)210%20%30%40%50%60%70%80%90%100%自融資組合在這兩個(gè)資產(chǎn)上的投資份額分別為如下10中情形:計(jì)算這10個(gè)組合的期望收益率與方差，并且將這10個(gè)資產(chǎn)組合的期望收益率和方差畫(huà)在2 % E %平面上，再根據(jù)圖像理解自融資組合的含義。解答:E % wi E % W2 E %2 % w2 12 w2 12 2w1W2 1 2隨著權(quán)重的變動(dòng)，E %增加的同時(shí)， 2 %也在增加7.已知3只股票的期望收益率向量為:深發(fā)展星源深振業(yè)0.00970.0157-0.0008這3只股票的協(xié)方差矩陣為:深

32、發(fā)展星源深振業(yè)深發(fā)展0.00160.00030.0006星源0.00030.00090.0009深振業(yè)0.00060.00090.0020試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算 Markowitz最優(yōu)資產(chǎn)組合中的 4個(gè)參數(shù)A、B、C、D，并且根據(jù)這 些參數(shù)，計(jì)算前沿組合期望收益率分別為0.01、0.05、0.10和0.30時(shí)的組合方差。解答：(略)8.當(dāng)假設(shè)單個(gè)資產(chǎn)收益率服從學(xué)生t-分布t(n)時(shí)，計(jì)算置信水平下的 VaR和C-VaR。當(dāng)組合中每個(gè)資產(chǎn)收益率都服從學(xué)生t-分布t(n)時(shí)，且組合在每個(gè)資產(chǎn)上的投資權(quán)重為Wi，試計(jì)算組合置信水平下的VaR 和 C-VaR。解答:同例343易知，VaRt (n),其中t

33、 (n)是t-分布的下分位數(shù);VaR1,21,21,2z1,2同例3412可知,C VaR (L) EL | LVaR % 1 % VaR 1VaRS ft(n)(S)dS其中ft(n)(s)是學(xué)生t-分布t(n)的概率密度函數(shù)，上述積分沒(méi)有顯式解，不過(guò)可以用數(shù)值積分計(jì)算得到。對(duì)于一系列學(xué)生t-分布t(n)收益率資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合，由于t-分布不具備可加性,VaR和C-VaR沒(méi)有顯式解，不過(guò)可以通過(guò)Monte Carlo方法估計(jì)。9. 已知深發(fā)展和萬(wàn)科的收益率數(shù)據(jù)如下表， 根據(jù)這組數(shù)據(jù)計(jì)算深發(fā)展和萬(wàn)科在1%、若假設(shè)這兩只股票的收益率服從正態(tài)分布，2.5%、5%和10%置信度下的 VaR和C-V

34、aR。日期深發(fā)展萬(wàn)科日期深發(fā)展萬(wàn)科5-Ja n-07-0.0744-0.040730-Jan-070.0501-0.06278-Ja n-070.02370.029631-Ja n-07-0.0501-0.09419-Ja n-070.03220.02031-Feb-07-0.03500.022210-Ja n-070.02030.10002-Feb-07-0.0498-0.078611-Ja n-070.0497-0.04255-Feb-07-0.04850.019412-Ja n-070.0501-0.02016-Feb-070.0497-0.007515-Ja n-070.05030.1

35、0007-Feb-070.05020.052816-Ja n-070.04420.08418-Feb-070.0380-0.002617-Ja n-070.0000-0.10009-Feb-07-0.0372-0.018318-Ja n-07-0.0494-0.017912-Feb-070.05000.057819-Ja n-070.04760.013013-Feb-070.01810.020722-Ja n-070.04780.006414-Feb-070.04530.046823-Ja n-070.0191-0.021415-Feb-07-0.00190.014724-Ja n-07-0.

36、02150.059116-Feb-070.0141-0.034825-Ja n-07-0.0175-0.015626-Feb-07-0.0284-0.048626-Ja n-070.05000.052727-Feb-07-0.0500-0.099729-Ja n-070.0498-0.029628-Feb-07-0.00780.0337解答：記深發(fā)展和萬(wàn)科的股票分別為股票1和股票2,則由上面數(shù)據(jù)可以估計(jì)出其均值和波動(dòng)率1,2和1,2其次，在不同置信水平下計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)Z ；最后，利用上面數(shù)據(jù)可以計(jì)算:10.C VaR1,21,21,2 .2Z2/21 V 若股票收益率不服從正態(tài)分布，則請(qǐng)根

37、據(jù)經(jīng)驗(yàn)1%、2.5%、5%和 10%置信度下的 VaR 和 C-VaR。首先，將每只34個(gè)收益率1,2Ik34數(shù)據(jù)從小到大排序，記為k 1X234I?' k 1，滿(mǎn)足:?42其次，為計(jì)算 10%置信度下的VaR，只要找到第 34 10%3個(gè)收益率次序統(tǒng)計(jì)量?'，則 VaR1 10%；為計(jì)算10%置信度下的VaR，只要找到前34 10%3個(gè)收益率次序統(tǒng)計(jì)量?，2,?，2,?，2，則 C VaR 10%?，2 ?，2 ?，234已知深發(fā)展和萬(wàn)科的收益率數(shù)據(jù)如上表, 分布函數(shù)計(jì)算這兩只股票在 解答：2其他置信度下的 VaR和C-VaR可以類(lèi)似計(jì)算;11.利用第10題中深發(fā)展和萬(wàn)科的歷

38、史收益率數(shù)據(jù)，計(jì)算最小方差投資組合 mvp的投資權(quán)重Wmvp以及自融資組合的投資權(quán)重W*,并且據(jù)此理解“自融資”的含義;計(jì)算Vp和的歷史收益率向量，并據(jù)此計(jì)算%Vp和的均值和方差;1, 0.5,0,0.5,1分別計(jì)算組合P的收益率均值E I%和標(biāo)準(zhǔn)差%，并將其畫(huà)在1%平面上。（本題可以直接利用本章公式計(jì)算）12.利用第10題的數(shù)據(jù)，以及第11題計(jì)算的l%vp和組合投資權(quán)重，計(jì)算1%的期望收益率以及l(fā)%（p）的期望收益率，其中組合WpT1-。另外，假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為1%，并構(gòu)造組合Wq 1,2 。首先,q 3 3請(qǐng)直接計(jì)算E I%，然后利用“零-資本資產(chǎn)模型”(3.2.14)計(jì)算 E 1% 。5

39、.在二次效用假設(shè)下，均值-方差模型等價(jià)于期望效用理論。取p,為非mvp的前沿組合,解答:首先，直接計(jì)算E %Wp1 Wp,22其次，計(jì)算E % 和E %，從而可以利用E % Ei%VpP E %計(jì)算p ;再利用pzc( p)1計(jì)算Dzc(p)，從而 E %(p)E %Vpzc(p) E %再次，方法一：E %Wq,11Wq,22最后，方法二：先計(jì)算pq竺半，從而Er% pqE %1pq rf第四章 資本資產(chǎn)和套利定價(jià)模型2. CAPM屬于均衡定價(jià)模型范疇，它從投資個(gè)體的效用出發(fā)，著眼于個(gè)體效用最大化，從 而研究市場(chǎng)均衡時(shí)的定價(jià)，并給出資產(chǎn)組合的“絕對(duì)定價(jià)”。而APT屬于無(wú)套利定價(jià)模型范疇，它基于市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)的假設(shè)，尋找不同資產(chǎn)價(jià)格間存在的關(guān)系，并且將所研究資產(chǎn)組合的價(jià)格用其他一些較為基礎(chǔ)的資產(chǎn)的已知價(jià)格表示，也就是給出資產(chǎn)組合的 “相對(duì)定價(jià)”。從結(jié)論上看，CAPM與APT在形式上有相似之處，但是其中解釋因子的選取不同，模型所代表的經(jīng)濟(jì)含義也不同。此外，這兩個(gè)模型在實(shí)證中所獲得的支持也不相同。具體內(nèi)容可參考445節(jié)。3. CAPM與APT共同的假設(shè)包括無(wú)摩擦假設(shè)、存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)假設(shè)，以及市場(chǎng)個(gè)體的同質(zhì) 性假設(shè)。無(wú)摩擦假設(shè)與存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)假